明确方向 分步求解

洪汪宝

摘 要：从一道三角形的最值问题出发，引导学生分析问题条件，明确方向，既可转化为三角函数，也可建立三角形边之间的等量关系，从而达到分步求解.

关键词：解三角形;最值;不等式;一题多解

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0019-03

题目 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为.

本题是2018年高考数学江苏卷填空题第13题，题干条件简洁，题意清楚，目标明确，主要考查解三角形，将解三角形与不等式巧妙地结合起来，考查学生分析问题和解决问题的能力，对学生的综合能力要求较高.因为条件中已知三角形的一个内角大小及其内角平分线长，三角形并不能唯一确定，所以等量关系中蕴藏不等关系.对于这样的解三角形问题，通常有两个方向，一是将边转化为角的三角函数;二是建立边之间的等量关系.下面让我们一起来按两个不同方向分步求解本题.

一、转化为角的三角函数

由条件知A+C=π3，而且π3是个特殊角，可以考虑在△BDC和△BDA中分别运用正弦定理，将边转化为角的三角函数.

第一步：将边转化为角的三角函数

在△BDC中，由正弦定理得asinC+π3=1sinC，

整理得a=sinC+π3sinC=12+32tanC，

同理c=12+32tanA，

于是4a+c=52+324tanC+1tanA.第二步：求有关三角函数的最小值

又tanC=tanπ3-A=3-tanA1+3tanA，

设tanA=x，则0<x<3，t=4tanC+1tanA=43x2+3x+3-x2+3x，

整理得43+tx2+3-3tx+3=0.其判别式Δ=3-3t2-4343+t≥0，解得t≥133.所以4a+c=52+324tanC+1tanA≥52+32×133=9，

当且仅当tanA=35，tanC=32，4a+c的最小值为9.

点评 因A+C=π3利用正弦定理将目标式4a+c转化为关于tanA的代数式，通过换元，得到关于x的二次方程43+tx2+3-3tx+3=0，该方程在0，3上有解，得到其判别式非负，建立不等关系，另外要注意取到最值时成立的条件，千万不可少.虽然这种思路比较自然，但在高考过程中由于时间的关系，大部分同学会放弃这种解法，因为这种解法对学生的运算求解能力要求极高.

二、建立边之间的等量关系

鉴于上面转化为角的三角函数的解法过程非常繁琐，势必影响我们思考能否先建立边a，c的等量关系，再来求4a+c的最小值，整个过程分成两大步，明确了解题方向，下面我们来分步求解.

第一步：建立等量关系a+c=ac

1.坐标法

方法1 以点B为原点，以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则Ca，0，A-12c，32c，D12，32，于是CA=-12c-a，32c，CD=12-a，32.由CA与CD共线知32-12c-a=32c12-a，整理得a+c=ac.

方法2 同法1得直线AC的方程为y=3c2-12c-ax-a，化为y=-3cc+2ax-a.将D12，32代入直线方程整理得a+c=ac.

2.利用内角平分线的性质

方法3 在△BDC中，CD=a2+1-2acosπ3=a2+1-a，同理AD=c2+1-c.根据内角平分线性质定理知CDAD=BCAB，即a2+1-ac2+1-c=ac，两边平方，并利用比例性质得1-a1-c=a2c2，整理得a-ca+c-ac=0，所以a=c或a+c=ac.当a=c时，可解得a=c=2，4a+c=10.

方法4 由内角平分线性质定理知ADCD=ABBC，于是ACCD=AB+BCBC=a+ca.

在△BCD中，利用正弦定理得1sinC=CDsinπ3 ①，

在△ABC中，利用正弦定理得csinC=ACsin2π3 ②.

①÷②得，1c=CDAC=aa+c，整理得a+c=ac.

3.向量法

方法5 由条件可设BD=λBCBC+BABA，其中λ>0，两边同时平方得1=λ21+1+2cos120°，解得λ=1，于是BD=BCa+BAc.根据A，C，D三点共线得1a+1c=1.

方法6 由内角平分线的性质得CD=acDA，于是BD-BC=acBA-BD，

整理得BD=aa+cBA+ca+cBC.

将两边平方得1=aca+c2+aca+c2+2×a2a+c·c2a+ccos2π3=aca+c2，解得a+c=ac.

4.面积法

方法7 因S△ABD+S△CBD=S△ABC，即12c×sinπ3+12a×sinπ3=12acsin2π3，整理得a+c=ac.

5.平面几何法

方法8 过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E，于是∠E=∠CBD=π3=∠ABD，△ABE是边长为c的等边三角形，DE=c-1.又△BCD∽△EAD，所以BDDE=BCAE，即1c-1=ac，整理得a+c=ac.

方法9 过点D作DE∥BC交AB于点E，于是∠BDE=∠CBD=π3=∠ABD，△DBE是边长为1的等边三角形，AE=c-1.又△ADE∽△ACB，所以DEBC=AEAB，即1a=c-1c，整理得a+c=ac.

点评 上面从多个不同角度来挖掘边a与c之间的等量关系，其中比较而言，利用面积法最简单，虽然S△ABD+S△CBD=S△ABC是非常明显的结论，但不易被学生发现;作平行线构造等边三角形和相似三角形这种平面几何法，其运算过程也相对比较简单.

第二步：求4a+c的最小值

1.利用均值不等式

方法1 由a+c=ac得c=aa-1，a>1，所以4a+c=4a+aa-1=4a-1+1a-1+5≥24+5=9，当且仅当4a-1=1a-1，即a=32，c=3时，4a+c的最小值为9.

方法2 由a+c=ac，得1a+1c=1，所以4a+c=4a+c1a+1c=5+4ac+ca≥5+24=9，当且僅当c=2a，a=32，c=3时，4a+c的最小值为9.

2.利用柯西不等式

方法3 由a+c=ac，得1a+1c=1，根据柯西不等式得4a+c=4a+c1a+1c≥2a·1a+c·1c2=9，c=2a，a=32，c=3时，4a+c的最小值为9.

3.利用判别式法

方法4 设4a+c=t，则c=t-4a，将其代入a+c=ac，整理得4a2-3+ta+t=0.此关于a的方程有实数解，于是其判别式Δ=3+t2-16t≥0，解得t≥9，所以当a=32，c=3时，4a+c的最小值为9.

点评 用重要不等式求最值关键在于配凑，法1先消元，再配凑运用均值不等式;法2直接利用“1”的代换，整体配凑;法3运用柯西不等式时也要凑形式;法4运用判别式来求解，体现了方程思想，不过要注意等号成立的条件.

通过以上解法的探究，启示我们在平时的学习中要认真研究高考真题，要学会将复杂的问题进行分解，化整为零，学会从多个角度对同一问题进行分析，做到一题多解，提高思维的发散性，弄清问题的本质和问题解决的关键所在，学会突破解题瓶颈.只要我们解题时做到心中有目标，就可以分步求解，各个击破.

参考文献：

[1]曹得鹏，张银香，马秀兰.从一道最值问题说起[J].中学生数理化（教与学），2018（12）：89.

[责任编辑：李 璟]