一道模考压轴题引发的探究

摘 要：一些正规考试的压轴题是重要的教学素材，一题多变是用活用好这些素材的主要途径.一题多变可以帮助学生复习基础知识，巩固基本技能，形成应对创新试题的核心能力.

关键词：压轴题;一题多变;探究

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0013-02

一、题目呈现

（乌鲁木齐地区2020年高三第二质量监测理科数学第16题） 在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，BC边上的中线AD=19，则sinB=.

二、分析解答

分析 本题从表象看考查解斜三角形，一般综合需要应用正弦定理、余弦定理、面积公式、三角公式等知识作答.但是从考试统计数据发现此题得分率很低，仅0.12，是什么原因造成的呢？深入研究才发现，解答本题不能走套路，它必须以平面向量为背景的中线性质为突破口，否则解答难以推进.没有角B的对边AC的数据，正、余弦定理无法派上用场.

解答 因为AD是BC边上的中线，

所以AD=12（AB+AC），

平方得AD2=14（AB2+2AB·AC·cosA+AC2），

即19=14（36+6AC+AC2），

解得AC=4.

由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA，

即BC2=36+16-2×6×4×12，

解得BC=27.

在△ABC中，由正弦定理得BCsinA=ACsinB，

即27sin60°=4sinB，

解得sinB=217.

评注 本题在曾经的解斜三角形的高考题、模考题基础上进行了创新，巧妙地将平面向量融入题中，体现了平面向量的工具性.本题将正、余弦定理进行了灵活考查，具有很好的复习教学价值，深入探究可以巩固解斜三角形的方方面面知识，总结提升解题方法，形成解题技能，达到触类旁通的效果，避免题海战术给复习带来的繁重负担.

三、变式探究

解斜三角形作为每年高考必考的内容，非常重要，往往依托于三角形及其内部的一些边角关系，就三角函数、正弦定理、余弦定理、射影定理、面积、周长、相关圆的半径等进行考查，往往有一定的区分度，变式研究非常必要.

变式1在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，BC边上的中线AD=19，则sinC=.

参考答案：sinC=32114.

评注 本题与原题而言，本质是一样的，但是中线的向量性质应用更具有隐蔽性.学生思维受阻的可能性增加，必须等价转化为原题.

变式2 在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，BC边上的中线AD=19，则△ABC的面积为.

参考答案：S△ABC=243.

评注 求面积有较强的提示性，将问题等价转化为求边BC.培养学生解题的目标意识，以及公式的合理选择.

变式3 在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，BC边上的中线AD=19，则△ABC的内切圆半径r=.

参考答案：r=203-4213.

评注 求三角形内切圆半径须用到等积法，自然要寻找三边之长，同样能实现考查意图，主干知识得到检测.

变式4 在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，BC边上的中线AD=19，则△ABC的外接圆半径R=.

参考答案：R=2213.

评注 求三角形外接圆半径与原题的难度相当，仅需再向前一步，应用正弦定理中的比值常数作答.

变式5 在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，∠A平分线AD=3，则sinC=.

解 在△ABD中，

BD=AB2+AD2-2AB·AD·cos30°，

即BD=36+3-18=21.

在△ABD中，由正弦定理得BDsin30°=ADsinB，

即21sin30°=3sinB，

解得sinB=714.

進而cosB=1-sin2B=18914.

所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=7+9728.

（为节省篇幅，以下变式不再作答）

变式6 在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，∠A平分线AD=3，则AC=.

变式7 在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，∠A平分线AD=3，则△ABC的内切圆半径为.

变式8 在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，∠A平分线AD=3，则△ABC的外接圆半径为.

变式9 在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，高AD=19，则AC=.

变式10 在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，高AD=19，则△ABC的内切圆半径为.

变式11 在△ABC中，已知AB=6，∠A=60°，高AD=19，则△ABC的外接圆半径为.

评注 以上八种变式，借助三角形的角平分线或高线，复习了三角函数的定义式、正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、和差角公式、诱导公式、面积公式.考查的知识点没有变，但是问题显得新颖，能培养学生的创新意识，提高实战中的应变能力.

四、教学反思

1.梳理三角形中的一些重要向量关系

本题深刻反映了平面向量的工具性.平面向量能将代数和几何联系起来，通过向量运算还能反应几何位置关系，如：平行、垂直、中点等.关键问题是学生不明白三角形中平面向量关系式的几何含义，反之也不完全清楚如何用平面向量表达三角形中一些特殊位置关系.正如此题，学生不知道如何应用条件“中线AD”.鉴于此，我们有必要梳理一下三角形中的重要的知识.

O是三角形△ABC的重心OA+OB+OC=0;

O是三角形△ABC的垂心OA·OB=OB·OC=OC·OA;

O是三角形△ABC的内心aOA+bOB+cOC=0;

O是三角形△ABC的外心OA=OB=OC;

在△ABC中，AM是BC边上的中线，则AM=12（AB+AC）;

在△ABC中，AI是∠A的角平分线，则AI=ACAB+ACAB+ABAB+ACAC）;

在△ABC中，AH是BC边上的高线，则AH=AC2-AB·ACAB2+AC2-2AB·ACAB

+AB2-AB·ACAB2+AC2-2AB·ACAC.

2.深刻认识一题多变

一题多变重点在于对某个问题进行多层次、多角度、多方位的探索.一题多变對培养学生发散思维有极大地帮助，是培养学生创新思维的重要手段.当然，恰当与否的一题多变，在教学中当然起着不同的作用.

设计一题多变首先应该体现数学的递进性.对教材的题目进行了大胆的组合和拓广，由易到难，由数字到字母，由具体到抽象，这恰恰是学生应掌握的重点和难点.一题多变不仅锻炼了学生用类比的方法去思考和学习，而且促进学生对解决问题的思路理解得更为透彻.每一变都应体现层层递进，步步深入，环环相扣的密切联系.

数学中的一题多变设计还应体现知识的一定规律和一定的关联，便于学生解题时思维的连贯.用题目的相近性、相关性培养学生的观察能力，了解数学从简单到复杂，从一般到特殊的探索规律.再用不同的思路去分析，不仅使得学生对思考的问题由浅入深，而且极大的锻炼学生类推能力和梳理思路归纳的能力.设计时还应该注意尽可能不多给信息，不要让学生感觉到题目在堆砌拼凑.多用简单明了的符号或者图形，让学生可以从不同的角度去审题，找到自己认为有用的信息来解决问题.设计时还有很重要的一点，就是应该能够体现命题的前瞻性.

落实“一题多变”，可以对题目的“条件”“结论”“条件与结论”之间的关系进行联想、类比、推广，进而得到一系列新的题目，甚至得到一般性的结论.在这个过程中，学生会逐步把握题目的本质.这样可以起到“做好一题，带活一片”的效果.

参考文献：

[1]黄丽生.核心素养背景下一到高考压轴题的多角度探析[J].数学通讯，2018（12）：51-56.

[2]李昌成，朱勇.由2019年高考全国Ⅰ卷理科第12题引发的探究[J].理科考试研究，2020（2）：4-7.

[责任编辑：李 璟]