理清解答困难 提升思维品质

郑良

摘 要：给出三道平面向量试题一题多解，示范探寻解题的切入点，给出解法的合理性分析，比较解法的差异.

关键词：平面向量;一题多解;数形结合;理性思维

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0038-03

解题时，若审题不够深入，只看到问题的表面现象，就会出现用运算代替思维（低效）甚至问题不可解（无效）的情况.这就提示我们要积累必要的知识、思想、方法（模型），通过审题，将摄入的信息经过梳理、比对、分解、调整、加工、整合的过程，思维贯通后以合理的形式输出.

平面向量是高中数学的重要内容，也是高考的热点之一.平面向量兼顾“数”与“形”的两重性，形成了其独特的知识体系与思想方法体系.平面向量往往与三角、解析几何、函数、不等式等知识交汇，从而呈现出表示方法多、联系知识广、解题思路灵活等特征.学生在解题时常常会遭遇困惑：是从形的角度还是从数的角度入手较好？ 如何找到比较简捷的方法等等.本文通过对三道平面向量试题的一题多解，示范探寻解题的切入点，给出解法的合理性分析，比较解法的差异，期待能对大家的解题分析能力的提高及理性思维的提升有所帮助.为节省篇幅，本文以解答和点评的形式给出.

例1 已知平面向量a=1，2，b=4，2，c=ma+b（m∈R），且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m=.

解法1 由题意，得c=m+4，2m+2，a=5，b=25.

设c与a的夹角为α，c与b的夹角为β，那么有cosα=c·aca，cosβ=c·bcb.

由题意c·aca=c·bc·b，

得c·aa=c·bb，即5m+85=8m+2025.

解得m=2.

解法2 由题意，得a=5，b=25，因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所

以c=ma+b=λaa+bb=5λa5+5λb10.由平面向量基本定理，可得m=5λ5，5λ10=1，得λ=25，m=2.

解法3如圖1，作OA=a，OB=b，过点B作直线l∥OA，过点O作∠AOB的平分线交直线l于点C，则

OC即为满足条件的c.因为OC平分∠AOB，所以有

∠AOC=∠BOC.因为l∥OA，所以∠AOC=∠OCB，所以∠BOC=∠OCB，得△BOC为等腰三角形.因为b=25，所以BC=25，所以m=2.

解法4 由题意，c=m+4，2m+2，a=5，b=25.

作OA=a，OB=b，连接AB，AB=3，作∠AOB的平分线交AB于点P，如图1所示.由三角形角平分线定理，得OAOB=APPB=12，所以P（2，2），故向量OP=（2，2），故OP与c共线，由22m+2-2m+4=0，得m=2.

点评向量的夹角是一个几何图形，它的大小的取值范围是[0，π].根据余弦函数y=cosx在[0，π]上的单调性，结合向量的数量积运算，可利用cosθ（θ为两个向量的夹角）来刻画.解法1正是这种思想方法的体现，向量夹角的余弦表示为分式，若两个的模运算倍数关系不特殊，运算量会加大;解法2根据“菱形的对角线平分一组内角 ”构造单位向量的加法，并利用向量共线定理与平面向量基本定理求解;解法3从几何角度作出c，转化为解三角形问题，其中解法2与解法3都是基于向量加法的几何意义;解法4联想三角形的角平分线，通过点P确定向量OP，利用OP与c共线求解.本题也可先确定△ABC的内心I，再利用OI与c共线，即“c与a的夹角等于c与b的夹角”确定向量c的方向，再利用“c=ma+b”（b的系数为常数）确定相对位置（实数m）的值.总体来说，解法2与解法3较好.

例2若向量a=k，3，b=1，4，c=2，1，已知2a-3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是.

解法1 因为2a-3b与c的夹角为钝角，又2a-3b=2k-3，-6，c=2，1，所以

2k-3×2-6×1<0，2k-3×1--6×2≠0，

所以k<3且k≠-92.

故实数k的取值范围是-SymboleB@

，-92∪-92，3.

解法2 2a-3b=2k-3，-6，c=2，1，记2a-3b与c的夹角为θ，故

cosθ=2a-3b·c2a-3bc=4k-125×（2k-3）2+36.

由题意θ为钝角，所以cosθ∈-1，0，

由cosθ<0，得k<3.①

由cosθ>0，得4k-125×（2k-3）2+36>-1，

即12-4k<5×（2k-3）2+36.

在①的前提下两边平方整理得4k2+36k+81>0，即2k+92>0，得

k≠-92.②

综上所述，实数k的取值范围是-SymboleB@

，-92∪-92，3.

点评 如何用数来刻画钝角？可用cosθ∈-1，0，其中θ为两个向量的夹角，由于cosθ需要用分式表示，使得不等式“cosθ>-1”的求解相对麻烦.考虑余弦函数的有界性，只需在cosθ<0的基础上去掉“cosθ=-1”，而“cosθ=-1”等价于两个向量方向相反，而两个向量方向相反是两个向量共线的一种情况，对于两个向量的共线关系可用向量共线定理来解决，通过差集就可以把该问题转化为整式运算.这就是解法1优于解法2的原因.归纳一下两个向量的夹角为锐角或钝角的求解方式：①a与b的夹角为锐角a·b>0且a与b不共线;②a与b的夹角为钝角a·b<0且a与b不共线.

例3 设a，b，c是单位向量，且a·b=0，则a-c·b-c的最小值为（）.

A.-2B.2-2C.-1D.1-2

解法1 因为a，b是单位向量，且a·b=0，在平面直角坐标系中取a=1，0，b=0，1，又c是单位向量，设c=cosθ，sinθ，θ∈0，2π.

a-c=1-cosθ，-sinθ，

b-c=-cosθ，1-sinθ，

a-cb-c

=1-cosθ，-sinθ·-cosθ，1-sinθ

=-cosθ1-cosθ-sinθ1-sinθ

=1-sinθ+cosθ=1-2sinθ+π4.

由θ+π4∈π4，9π4，当θ+π4=π2，即θ=π4时，a-cb-c取得最小值为1-2.

解法2 由题意a+b=a+b2=a2+b2+2a·b=2.

a-c·b-c=c2-a+b·c+a·b=1-a+b·c=1-a+bccos〈a+b，c〉=1-2cos〈a+b，c〉≥1-2，当且仅当cos〈a+b，c〉=1，即a+b與c同向时等号成立.

所以a-cb-c的最小值为1-2.

解法3 因为a，b是单位向量，且a·b=0，在平面直角坐标系中取a=OA=1，0，b=OB=0，1，c=OC，又c

是单位向量，所以点C在单位圆O上，如图2所示，取AB的中点为M，则a-c=OA-OC=CA，b-c=OB-OC=CB，所以a-c·b-c=CA·CB=14[CA+CB2-CA-CB2]=142CM2-BA2=CM2-12.

延长OM交圆O于点P，点Q是圆O上异于点P的一点，

则有QM>OQ-OM=OP-OM=MP，即当点C与点P重合时，CM最小，此时CM=MP=1-22，CM2-12=1-2，所以a-c·b-c的最小值为1-2.

点评 如何求一个研究对象的最值或取值范围，一般可建立该对象关于某自变量的函数，从而转化为求函数的值域问题.对于多动点问题，尽可能将部分点相对固定或转化为静态问题，从而实现化归.解法1将目标函数转化为角θ的函数，利用三角函数的有界性可求出其最小值（及取值范围）.这样设元的好处为通过一个变量将c的横坐标与纵坐标联系起来，若设c=x，y，得到a-c·b-c=1-x+y，再根据x2+y2=1，利用x2+y2≥x+y22求解;解法2将目标式展开后重新整合，构建关于角〈a+b，c〉的余弦型函数;解法3通过向量的极化公式（a·b=14a+b2-a-b2），已静制动（原目标函数中向量a-c，b-c都在变化，而转化后只有CM在变化）.如何求CM2的最小值呢？不能仅靠直觉，必须推理论证.方法很多，如（1）设出点C的坐标，利用两点间的距离公式转化到解法1;（2）CM2=OM-OC2=OM2+OC2-2OM·OC=32-2cos∠MOC，可知当点C与点P重合时，CM2最小;（3）可通过判断（以点M为圆心，以MP为半径的）圆M与圆O具有内切关系来说明当点C与点P重合时，CM2最小等.而解法3运用“三角形中，两边之差小于第三边”，从几何角度切入，颇具新意.以上三种方法均为通性通法，此处解法2更加简捷.

参考文献：

[1]田祖荣.例谈高考向量试题的解法[J].中学数学，2018（23）：80-81.

[责任编辑：李 璟]