第二个重要极限公式的实质及推广应用

刘宪升

（滨州学院理学院 山东·滨州 256600）

众所周知，第二重要极限公式是高等数学中极限内容的重点和难点，也是各类考试的必考内容。然而，由于抓不住其实质，故学生纵使解了大量的练习题，考试遇到这类问题还不得不机械的重复解题过程，并不能快速给出答案。其实，若认识透公式的特点及其蕴含的规律，就是这类考研或竞赛题也可一眼看出答案。下面，从公式的特征出发，先揭示其实质并推广之，然后举例说明其应用。

1 重要极限基本形式的特征及其实质和推广

1.1 重要极限基本形式的特征及其实质

为方便讨论,我们给出重要极限公式。

无论是课本、参考书，还是教师教学，都指出并强调公式的以下特征。首先，公式中幂的底数中，括号内必须是1加上一个无穷小量；其次，幂的指数是一个无穷大量，且与底数中的无穷小量互为倒数。总之，是属于 型未定式的极限形式。可以说，正是对这些特征的过分强调，束缚了学生的思维，使其认识不到公式的实质。其实，上述对公式特征的分析还不到位，拿公式（1）来说，还有以下特征。

1.2 公式的推广

为方便应用，先给出两个简单形式。

由推广和原公式可见，这种类型问题的极限只与幂底数中作为无穷小量分式中分子与分母中关于 的多项式的最高次项系数及指数中多项式的最高次项系数有关，而与常数项、无关，这是对公式实质的进一步认识。据此并结合上述特征一、二，将公式（1）中，幂的底数括号内的无穷小量推广至更一般的分式形式，将指数的多项式推广至一般的多项式。

证明：推广式中分式的分母、分子及指数分别为：

1.3 公式的推广

2 推广的应用

结合重要极限的实质及上述推广公式，再结合等价无穷小和灵活应用，便可以快速的解决这类问题。

2.1 快速解决选择题

2.2 快速解决填空题

2.3 验证解答题的正确性

诸如上面求极限值的题目在课本或考试题中也经常出现.由于我们根据推广能快速的看出答案，故计算的结果若与看出的答案不符就说明解题过程存在问题，进而进行检查改正（不再赘述）。

综上可见，在用第二个重要极限来计算极限时，其实经常用的是其推广形式。如能熟练掌握和灵活运用这些推广形式，一眼就可看出题目的答案，秒杀考试中的填空和选择题。这对于考场上分秒必争的学生，既可赢得时间解决难度大的题，还可稳定心态，促进发挥，获得更好的成绩。