二次函数实际应用题说题设计

张祖兰

【摘要】《义务教育数学课程标准》中指出，二次函数是描述现实世界中变化规律的数学模型.学生从实际问题出发，抽象出二次函数的数学知识，建立数学模型，可以加強学生的建模素养，深刻体会到数学与实际生活密不可分.因此，二次函数的实际问题也是数学中考考查的重点，但是不少的学生因为审题不当，理解错题意而失分.为了突破此重难点，教师应当更加深入地钻研此类题型的思知识水平要求与思想方法的运用，而说题正能体现教师的这一本领.笔者有幸参加了南宁市东盟开发区初中数学的说题解题比赛，并获得一等奖.

【关键词】数学建模，二次函数，实际应用，中考

一、原题呈现

要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，水管应多长？

本道题出自人民教育出版社出版的数学九年级上册第二十二章“二次函数”第36页例4，取材于较为常见的生活情境——喷泉问题，而且是教材中二次函数实际应用的第一道例题.

【题目立意】

本道题中所蕴含的知识点有：

1.根据题目的情境，建立直角坐标系，表示点的坐标，

2.运用待定系数法求解抛物线解析，

3.求解给定条件下自变量或者函数的值.

本道题考查数学建模这一数学方法，在解决问题的过程中需要学生观察分析图形，数形结合，并且运用转化的思想将实际问题转化为数学问题，并建立模型，运用方程的思想，最终解决问题.

二次函数是描述现实世界中变化规律的重要数学模型.学生从实际问题出发，抽象出数学模型和相关知识，可以让学生体会数学的价值和建模的意义.课程标准对二次函数这一章节的要求如下：

希望通过对本道题的教学，使学生体会到二次函数的意义，在这个过程中恰当运用二次函数的表达式，解决简单的实际问题.

二、教法指导

（一）学情分析

本节课的授课对象是九年级的学生.在此之前学生已经学习过二次函数的定义，并且学习了二次函数的图像和一般性质，掌握了二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k（a≠0），具备一定的运算能力，会用待定系数法求解二次函数解析式，并且学习了一元一次方程、一元一次不等式、一元二次方程、一次函数的应用，具备将实际问题转化为数学问题的知识经验，但是同时学生还不太懂得分析数学问题构建数学模型，以及选取什么数学模型适合解决问题也是学生的薄弱点.

（二）重点与难点

基于上述对教材知识与学情的双向分析，笔者确定本节课的重点有两个：

1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义，

2.构建二次函数模型，解决实际问题.

在解决问题的过程中，预设学生会碰见两个难点：

1.将实际问题转化为二次函数问题，

2.选择恰当的建系方法，构建二次函数模型.

为了有效地突出重点、突破难点，笔者在说题过程中综合运用自主学习、合作探究、讲练结合等教学方法.

（三）分析题意、抽象模型

请学生阅读教材第36页例4，分析题意，此时引导学生将文字条件转化为图形模型：水管是一段线段，抛物线形水柱是抛物线.

【设计意图】此时，将立体的实际问题转化为平面的二次函数抛物线问题.

将抛物线抽象出来后，询问学生本道题中已知条件是什么？未知结论是什么呢？请将题目的已知条件与要求的未知结论在图上标出，并引入适当的记号.

题目的未知结论是线段BD的长度，联系我们已有的知识，线段问题可以转化成什么？（点的坐标问题）

并且进一步地询问学生在学习用坐标表示点的位置时，我们借助了什么工具呢？（平面直角坐标系）那现在没有平面直角坐标系，我们应该怎么做呢？（学生自然想到要建立一个平面直角坐标系）此时提醒学生建立了直角坐标系后就能得到所有点的坐标吗？（不一定，如点D的坐标还不清楚），我们来看D点在哪儿？（抛物线上）因此，我们需要先求这个抛物线的解析式，再求D点的坐标.

【设计意图】此时，就把题目中的文字条件、数据条件等显性条件转化为在平面直角坐标系中研究抛物线上点的坐标等隐性条件.因此，现在解决问题的关键就是一一建立平面直角坐标系.

（四）建系讨论、解释模型

如何建立直角坐标系才能求解出抛物线的解析式呢？请学生在备用图上独立尝试，并思考以下几个问题：

1.怎样在原图中建立平面直角坐标系？

2.建系后能找到哪些点的坐标？请标在图中.

3.现在可以求出抛物线的解析式吗？

再四人一小组合作探究，交流以下内容：

1.小组同学共有几种建系方法？

2.所有思路都可以求出抛物线的解析式吗？都是如何求解的？

并且选择小组上台展示建立直角坐标系的方法以及求解析式的思路，底下同学负责倾听、点评.学生讲解过程中，教师注意追问以下几个问题：

1.以哪个点为原点建系？

2.建系后能找到哪些点的坐标？怎么得到的？

3.如何求抛物线解析式？设成什么表达式？

同时，笔者会提醒学生注意答题格式的规范.

【设计意图】鼓励学生独立思考，选择不同的建立直角坐标系的方法并结合题意建立抛物线的解析式的模型，互相合作，交流学习，可以让学生体会到不同解法的优劣性，取长补短.

三、解法探究

（一）解法呈现

在这里分享四种较为自然和常见的建系方式：

解法一 如图所示，以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.

【设计意图】鼓励学生自我探究，结合题目条件选择不同建立直角坐標系的方法，可以体会到不同解法之间的联系——二次函数的图像平移规律，并且在解决问题的过程中计算量等的不同，学生体会不同解法的优劣性，从而自我生成建立直角坐标系的方法.

（二）归纳总结、学有所获

当所有的解法展示完毕之后，笔者会提问：你认为这几种方法中哪一种更简单？

从而归纳出在建立直角坐标系时，需要遵循让点的坐标简单或者解析式简单的原则，通常来讲：

1.尽可能多地使图形上的点（或已知点），落在坐标轴上，

2.充分利用图形本身的对称性

3.有利于求出题目的结果.

至此，学生已经经历了一个运用二次函数知识解决实际问题的过程，此时师生共同小结归纳解决实际问题的一般步骤：

1.要审题，审出已知、未知，2.建系、建模，3.再把已知线段长转化成点的坐标，这时要注意坐标的正负数，求出解析式，4.从而求得点的坐标，5.解决实际问题.

【设计意图】为了检验本节课的学习效果，笔者将链接中考，变式探究，加深学生运用二次函数解决实际问题的意识，同时进一步强化学生解决二次函数实际应用题的策略意识.

五、反思不足

在本次准备说题的过程中，有三点体会特别深刻：

1.平时教学应当注意结合实际生活，使学生感受到数学无处不在的，数学是源于生活的，又服务于生活的，坚定加强学生的建模意识，

2.在解决实际问题时，学生常常需要阅读大量的文字，不少学生因为审题不当、理解错题意而失分，因此，在平常教学中应该注意加强学生的审题训练，

3.最后，在课堂中如何高效地开展小组合作，这也是笔者一直疑惑的地方.

【参考文献】

[1]丁媛.谈数学问题与实际生活的结合[J].小学教学参考，2018（36）：31-32.

[2]邹君君.数学意识及数学应用习惯的培养研究[C]∥十三五规划科研成果汇编（第三卷）.十三五规划科研管理办公室，2018：5.

[3]汤俭.新课程标准下提高初中数学自主探究能力的一些尝试——“实际问题和一元二次方程（3）”两次教学设计对比分析[J].中学数学教学参考，2018（Z3）：33-34.