浅谈高中数学概念课的有效教学

张啸

[摘  要] 概念教学是数学教学中最重要的一环，只有将学生的概念教学引向深入，才是有效的数学概念教学. 文章以“函数的单调性”的教学过程为例，提出以下新课程改革理念下的高中数学概念教学策略：以情境促感知;以直观促生成;以训练促巩固;以体验促深化.

[关键词] 概念教学;函数的单调性;创设情境;生成

长期以来，由于受到应试教育的影响，一些数学教师轻概念、重解题，从而造成数学概念与解题严重脱节的后果. 新的《高中数学课程标准》指出：教学中应加强基本概念和基本思想的理解，一些核心概念和基本思想需贯穿于教学的始终，帮助学生加深理解. 由此可见，概念教学是数学教学中最重要的一环，只有将学生的概念教学引向深入，才是有效的数学概念教学. 笔者近期观摩了青年数学教师优秀课评比活动，其中一位教师执教的“函数的单调性”一课给了笔者较大的启发，下面将结合教学片段谈谈对概念教学的一点拙见.

■教学片段实录与分析

教学片段1：创设情境——导入概念

问题1：试着作出以下函数的图像，并指出图像的变化趋势：

（1）y=x+1;

（2）y=-2x+2;

（3）y=x2;

（4）y=■.

（学生独立思考，很快完成作图，并正确指出其变化趋势）

问题2：请清晰阐释“图像呈现逐渐上升趋势”的意思. 此时的x与函数值y是如何相互影响的？

生：随着x值的增大，y值也随之增大，图像呈现上升的趋势;随着x值的增大，y值反而减小，则图像呈現下降的趋势.

师：这种形式是多种函数都具有的，今天这节课我们就以此为主题，对这种性质做更进一步的探究和讨论. （PPT揭示课题：函数的单调性）

评析：以学生的认知发展和已有知识经验为背景，设计教学情境，点燃学生的求知欲. “作图，并正确指出变化趋势”以及“阐释‘图像呈现逐渐上升趋势的意思”这两个主问题，不仅为进一步的学习搭建了“脚手架”，逐步揭示了本节课的课题. 同时又具有一定的开放性，激发学生主动探究的愿望，让学生运用已学数学知识，通过思考、观察、探究、分析、猜测和归纳等过程，唤醒旧知，明确探究方向，具有一定的创新性. 同时使学生体会到数学的应用价值，感受到数学是有用的.

教学片段2：抽象概括——生成概念

师：请大家思考并讨论下列问题：对于某函数，若在区间（0，+∞）上，

（1）当x=1时，有y=1;当x=2时，有y=3，则“在区间（0，+∞）上，y随着x的增大而增大”是否正确？

（2）当x=1，2，3，4时，相应地，y=1，3， 4，6，则“在区间（0，+∞）上，y随着x的增大而增大”是否正确？

（3）若有x■

（学生思考后展开火热的讨论，并很快得出结论）

生：不能，且均可以通过举例的方法加以说明.

问题3：谁能以数学语言来表述一个函数为增函数呢？现在能出示准确定义吗？请试着用自己的语言表述，并以小组为单位互相交流，待生成集体意见后进行展示. （学生展开讨论）

师：下面请小组代表展示.

生：第一步：当x■

第二步：当x■

第三步：借助个别数值说明单调性：如函数y=x2（x∈R），当x=-1，2，3，4，…，对应地，y=1，4，9，16，…，是否可说y随着x的增大而增大？

对于区间I上有限个或无限个自变量，均满足x■

第四步：x■，x■“任意”中也有“不任意”，由于单调性描述的是函数的基本性质，还需链接其区间，着重强调定义中的x■，x■∈I. 对于区间I内的任意x■，x■，当x■

最后得出函数单调性的定义......

评析：引导学生亲历数学概念的建构过程，并通过以下两个关键性过程来实现建构：①通过自然语言去描述函数图像的特征，进而建构函数单调性的意义. 教师以函数图像为指引，引导学生去观察、去发现，初步建立函数单调性的意义. 学生有多次图像观察的经验，此过程对于学生来说相对简单. ②以数学符号表示意义，此过程相对抽象，学生建构难度较大. 片段中教师找寻学生思维的“最近发展区”，通过多个循序渐进的问题串的呈现，触及概念的底部与本质，有效突破了“用符号语言刻画动态数学对象”这一难点，提升了学生的理性思维. 而“以数学语言来表述一个函数为增函数”，不仅打开了学生的思维宽度，也为定义的落地进行了铺垫，整个建构过程流畅而自然，一气呵成.

教学片段3：学以致用——深化概念

问题4：判断：以下说法是否正确，并说明理由（举例或画图），

（1）设函数y=f（x）的定义域为[a，+∞），若对于任意x>a，都有f（x）>f（a），则y=f（x）在区间[a，+∞）上递增;

（2）设函数y=f（x）的定义域为R，若对于任意x■，x■∈[a，+∞），且x■>x■，都有f（x■）>f（x■），则y=f（x）是递增的;

（3）反比例函数f（x）=■的单调递减区间为（-∞，0）∪（0，+∞）.

问题5：判断并证明函数f（x）=0.001x+1的单调性.

问题6：证明函数f（x）=x+■（x>0）的单调性，

（1）在（0，1）上递减;（2）在（1，+∞）上递增.

问题7：物理学中的玻意耳定律P=■（k为正常数）中，有对于一定量的气体，当体积V减小时，压强P增大，试着用函数单调性予以证明.

评析：教师通过对教材具有深度的理解设计，引导学生站在较高的角度探究概念本质，在内化中进一步优化认知结构. 问题7联系其他学科的数学知识，逐步培养学生应用数学的意识和能力，有了之前一系列问题作为铺垫，学生比较顺利地解决了这个具有一定难度的应用问题. 在这个过程中，教师没有轻易放过任何一个完善对函数单调性理解的机会，珍惜每一个引导学生深度思考的机会，深化对概念本质的理解.

■概念教学的策略

1. 以情境促感知

数学概念的形成是由具体到抽象的过程，一些较难理解的数学概念，在教学时，切不可生硬地抛出，让学生去记、去背. 而应从学生的具体实际出发，有针对性地创设教学情境，提出问题，以直观性较强、具有一定关联性的例子，去帮助学生感知概念，促进感性认识的形成[1]■.

2. 以直观促生成

在概念学习中，学生不仅需通过多感官去感知，还需反复观察文字符号，去听取教师的言语说明，去实践操作，更进一步地进行初步概括，形成表象. 这一过程，为理解和掌握概念提供了较好的感性基础. 因此，教师需运用好教具、多媒体等强化直观教学，并用直观的图像让抽象的概念变得直观和形象，成为“看得见、摸得着”的事物. 例如，以上教学过程中，为使学生深度掌握概念本质，引导学生以图像和符号去描述，有助于学生的理解和认识.

3. 以训练促巩固

概念教学的最高层次就是实现应用，在应用中使得理解和巩固的概念得以发展和深化，也是将抽象知识化为行动的动态过程. 以上案例中，教师从发展的角度设计练习，以一些情境复杂的问题促使学生提炼和概括，进一步培养学生思维的广阔性和深刻性，使学生从本质上认识所学概念[2]■.

4. 以体验促深化

张奠宙先生曾说：“数学教学的有效性在于对数学本质的把握、揭示和体验. ”因此，在教学系统化概念的过程中，需引导学生感悟隐含于概念形成过程中的思想方法，需在应用与推广中自然而然地渗透思想方法，这才是促进概念深化的核心■[3].

总之，提高概念教学水平是一项艰巨而复杂的工程，同时也是每个数学教学工作者必须深思的问题，我们只有加强研究与交流，融合理论与实践，才是可行之道. 我们需要转型教学方式，从知识的重现转变为知识的重演，促进学生的有效建构，将数学学科素养教育落到实处，真正实现素养教育. 当然，概念教学的探究之路漫长而又艰巨，需要广大数学教师持之以恒地研究下去、行走下去，这个话题永远不老！

参考文献：

[1]  吴敏，何嘉驹. 基于深度学习的高中数学概念课教学探析——以人教版必修二《直线的倾斜角与斜率》为例[J]. 中学数学研究（华南师范大学版），2018（20）.

[2]  匡继昌. 如何理解和掌握數学概念的教学实践与研究[J]. 数学教育学报，2013，22（6）.

[3]  卢娟，孙道斌. 在深度对话中让数学概念课教学走向本真——“§5.1定义与命题”教学实录与点评[J]. 中学数学杂志，2017（10）.