课堂教学因精心设计而精彩

杨青

[摘  要] 抛物线课堂教学的精心设计，在教师的引导之下，充分发挥学生的主观能动性，让学生感悟和享受数学思考的乐趣.

[关键词] 抛物线;课堂教学;教学设计

■问题提出

抛物线作为重要的圆锥曲线之一，在高考中占有重要的地位，同时它还具有丰富的文化和实用价值.但在实际教学中，教材和教师对抛物线的概念的处理相当简洁，学生未能感受到知识的形成过程，特别是焦点和准线，学生不知这两个量从何而来;另外学生对抛物线在实际生活中的应用认知之甚少，不能产生足够的学习动机.

如何突破以上问题？本节课从学生认知的实际出发，尊重教材，但不拘泥于教材. 通过设计“问题串”，创设良好的思维环境，让学生经历观察猜想、动手实验、分析讨论、抽象概念、推出方程、探索規律等环节，充分发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.

■教学分析

1. 教材分析

“抛物线及其标准方程”是普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学选修2-1第二章第四节第一课时的内容. 本节课主要探究抛物线的定义、四种标准方程及简单应用.

抛物线作为教材中学习的最后一种圆锥曲线，本节课具有“统前”功能：把前面各种思想和方法统一起来，在抛物线定义的生成及标准方程的建立过程中，深刻体会运用类比和数形结合思想解决问题的基本策略.同时，本节课又具有“启后”的意义：通过抛物线的定义及其标准方程的学习，为用代数方法研究抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等做好准备.

2. 学情分析

此前学生学习了椭圆、双曲线的定义及其标准方程和几何性质，已经总结了一些研究圆锥曲线的方法和经验，真正体会到了用代数方法研究几何图形的科学之处，这为学习抛物线奠定了基础. “数形结合”思想一直贯穿于我们的数学学习当中，正在学习的圆锥曲线更是这一重要数学思想的精彩再现和升华，这样的教学安排符合新教材对学生认知培养螺旋上升的要求.在学习的过程中，我们要重点培养学生自主学习和研究的能力.

3. 重难点分析

本节课的教学重点是抛物线概念的形成、抛物线标准方程的建立、标准方程与图形的对应关系. 本节课的教学难点是抛物线定义的生成、坐标系的建立以及标准方程的推导.

“教学做合一”是我国著名的教育实践家陶行知的“生活教育”理论的核心部分.本节课坚持在“做”上下功夫，为突出学生在课堂教学中的主体地位，采用体验启发、自主探究、合作交流等多种教学方法. 类比圆和中垂线的定义，引导学生发现新的曲线——抛物线. 通过设计“问题串”，创设良好的思维环境，让学生经历观察猜想、动手实验、分析讨论、抽象概念、推出方程、探索规律等环节，充分发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.

4. 教学目标

（1）掌握抛物线的四种标准方程及其图形、焦点坐标、准线方程.

（2）①类比圆和中垂线的定义，引导学生发现新的曲线——抛物线;然后通过动手操作，教师的几何画板演示，来探索新的曲线的几何特征，生成抛物线的定义，提高学生的动手能力、分析能力及抽象概括能力.②通过抛物线标准方程的建立，进一步巩固用“数”表示“形”的解析几何的思想.

（3）①通过本节探究过程，感受数学理性之精神——真！②通过抛物线在实际生活中的应用，感受数学应用之真谛——善！③通过抛物线几何形状、标准方程的形式感受数学形式之和谐——美！

■教学过程

1. 类比引入

教师提问1：平面内，到定点的距离相等的点的轨迹是什么？

教师提问2：平面内，到两个定点的距离相等的点的轨迹又是什么？

教师提问3：平面内，到一条定直线与该直线外一定点的距离相等的点的轨迹，你知道是什么吗？

（注：学生回忆在平面内到两个定点的距离相等的点的轨迹时，容易因定义掌握不扎实，误认为是椭圆，此时需要根据具体情况引导学生.）

学生探究1：回忆圆的定义.

学生探究2：回忆中垂线的定义.

学生探究3：类比圆和中垂线的定义，引发学生的好奇心，探索新的曲线是什么.

设计意图：①从学生熟悉的定义出发，类比引入，层层递进.平面内到一个定点的距离相等的点的轨迹是圆，到两个定点的距离相等的点的轨迹是中垂线，最后再引导学生思考：把其中一个点变成一条直线，去探索新的曲线是什么. ②前面所学的知识与本节课的学习与探究紧密联系，是继续学习的认知起点和知识附着点;通过对圆与中垂线定义的类比，发现新的曲线是抛物线.引导学生在已有的知识和方法的基础上，从数学内部提出新问题，积极思考，使学生的知识结构日臻完善，而不是支离破碎.③中垂线定义的复习，为抛物线的画法打下基础.

2. 亲身体验——感受新知

教师提问4：在平面内给定一条直线l和直线外一点F，试作出到它们距离相等的点的轨迹.

学生探究4：学生在学案上尝试根据题意找出满足条件的点，再用描点法作出它的轨迹.

学生在探究过程中，教师抽取学生展示作图方案，并指导学生不断完善作图方法.

学生探究5：探究出好的方法，确定到定点与定直线的距离相等的点的准确位置.

注：学生很容易找出已知点F到直线l的垂线段的中点M■是定点与定直线的距离相等的点，但容易将H■F，H■F，…的中点M■，M■，…认为也是这样的点，此时教师可以引导学生猜想：点M■，M■，…是不是满足到直线l与点F的距离相等的点？追问：若M■满足条件，则其与直线H■F有怎样的关系？学生便很容易发现点M■在直线H■F的中垂线上，从而引导学生归纳出正确的作图方法.

教师在展示了学生成果后，用几何画板动态展示曲线的形成过程，并指出这种曲线就是抛物线.

教师提问5：刚才我们用几何画板画出的曲线上的点满足什么几何特征？

学生探究6：抛物线上的点满足的几何特征.

设计意图：课本是用几何画板直接演示得出抛物线图形的，本节课的设计意图是通过学生探究合适的作图方法，亲自通过描点法画出图形，让其在动手操作的过程中感知抛物线的产生过程，加深对所画图形的认识与理解，初步感知图形的几何特征.通过几何画板演示抛物线的形成，加深了学生对抛物线几何特征的准确认识.其设计思路是尊重教材、敬畏教材，但又不拘泥于教材.

3. 引导探究——获得新知

（1）获得定义.

教师提问6：同学们，能给抛物线下一个定义吗？

学生探究7：（预设）到点F的距离与到直线l的距離相等的点的轨迹叫作抛物线.

教师提问7：如果点F在定直线l上呢？

借助几何画板，将点F放在定直线l上，让学生直观观察出此时的轨迹.

学生探究8：（预设）哦，点F在定直线l上，轨迹就变成了一条过点F且与定直线l垂直的直线.

教师板书：（预案）重新定义如下：平面内到一定点F和到一条不过此点的定直线l的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.如图4. 其中定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线.

教师用强调的声调并加上肢体语言形象地表示出抛物线的焦点、准线与抛物线的位置关系：抛物线“口含”焦点，“背向”准线.

设计意图：使学生加深对定义的理解，让学生经历知识的形成过程，对抛物线的认识由感性认识上升到理性认识，并适时进行数学语言教学.

（2）合理建系，引导推导抛物线的标准方程.

教师提问8：请同学们回忆求曲线方程的步骤.

学生探究9：整理求曲线方程的步骤.

教师给学生短暂的思考时间后，引导学生作答;然后展示一个抛物线：设抛物线的焦点F到准线l的距离为KF，记KF=p（p>0）.

教师提问9：如何建立恰当的坐标系，才能使所建立的抛物线的方程最简单？请同学们独立思考，并在学案上完成建系.

学生探究10：独立完成建系，并求出相应的坐标.

教师巡视课堂，指导学生在学案上完成建系，并收集学生建系的方式.

预案一：（只有方案三）引导学生说出方案三这样建系的好处，并求出方程.

预案二：（只有方案一和方案二）通过引导K，F的对称性引出方案三，并只求方案三的方程.

预案三：（有三种方案）学生不知道该如何选择，将学生分成三大组分别求出相应的方程，并进行展示.

采用“小先生”方式，每组选一个学生的成果进行展示. 教师分组，让学生在对应的坐标系下求出对应的抛物线方程.

学生探究11：学生在对应的坐标系下求出对应的抛物线方程.

解：如图5所示建系，设M（x，y），F（p，0），H（0，y）. 因为{MMF=MH}，所以■=x，所以x2+p2-2px+y2=x2，即y2=2px-p2.

如图6所示建系，设M（x，y），F（0，0），H（-p，y）. 因为{MMF=MH}，所以■=■，所以x2+y2=x2+p2+2px，即y2=2px+p2.

如图7所示建系，设M（x，y），F■，0，H-■，y. 因为{MMF=MH}，所以■=■，所以x2+■-px+y2=x2+■+px，即y2=2px.

教师提问10：哪种坐标系下求出的方程最简洁？

教师引导学生，指出y2=2px（p>0）对称且简洁大方，它体现了数学的对称美、简洁美！我们把y2=2px（p>0）叫作焦点在x轴正半轴的抛物线的标准方程. 其中记抛物线的焦点F到准线l的距离为KF，记KF=p（p>0），焦点F■，0，准线方程x=-■.

教师提问11：标准方程y2=2px（p>0）次数特征是怎样的？（左二右一）

设计意图：①经历从建系的选择到方程的化简的每一个环节，强化数学运算、数学建模的能力，同时前后联系鉴赏抛物线标准方程的对称美和简洁美. 实行“小先生”制，可以激发学生自主学习的动力，培养学生自主学习的能力.②引导学生如何观察、总结开口向右的抛物线的图形、标准方程，以及它的焦点坐标和准线方程，也为总结其他形式的抛物线方程奠定了基础.

（3）抛物线标准方程的四个形式以及抛物线的图形、焦点位置、开口方向与标准方程的关系.

教师提问12：抛物线的标准方程还有其他形式吗？

教师提问13：请同学们根据抛物线的图形，尝试完成其他几种形式的抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.

教师引导学生自愿起来回答完成其他三个方向的抛物线的标准方程.

教师提问14：如何根据抛物线的标准方程来确定它的焦点位置？将同学们分组讨论.

学生探究12：学生分组思考如何根据抛物线的标准方程来确定它的焦点位置.

教师到每个学习小组指导学习，和学生一起讨论并得出结论：①一次定焦，正负定向. ②一次项的变量如为x（或y），焦点就在x轴（或y轴）上. ③一次项为正，焦点在正半轴，反之亦然.

教师提问15：结合PPT，教师继续追问：抛物线的标准方程的一次项系数与焦点坐标中的非零坐标有怎样的关系？

教师引导学生得到如下结论：

①一次项的变量如为x（或y），焦点就在x轴（或y轴）上. 一次项为正，焦点在正半轴，反之亦然.

②抛物线的标准方程的一次项系数与焦点坐标的非零坐标存在4倍数量关系.有了焦点坐标，根据焦点与准线的关系，就可以得到抛物线的准线方程.