静待思维花开，守望自然生成

冯俊

[摘  要] 对于数学课堂教学，老师不要吝啬给学生发现的时间，要充分体现以学生为本，要引导学生自主观察分析，自觉发现事物的本质属性和规律. 概念课的教学一定要强调4个“关注”：关注经验基础、关注质疑反思、关注拓展延伸、关注变式巩固，促进4个“实现”：实现抽象发现、实现概念生成、实现思维升华、实现衔接融通. 如果这样，我们的课堂一定会促使知识的“自然”生成，也能在平时教学中不断培养学生的数学核心素养.

[关键词] 数学课堂;4个关注;4个实现;自然生成

“为什么要学习××概念？”

“××概念是怎么来的？”

“学习××概念有什么用？”

“学习数学就是为了考试？真没劲！”

……

我们经常听到学生这样的吐槽，每当此时，老师都会感慨现在的学生这是怎么了？不就是学习吗，怎么会有这么多想法？久而久之，这样的课堂逐渐降低了学生对新知识的好奇心、削弱了学习数学的积极性和兴趣.如果老师借助于“同理心”，设身处地地以学生的参照标准来看事物，使得能够从学生的处境来体察他的思想行为，了解他因此而产生的独特感受. 我们就会发现，学生在课堂上长期经受了被动接受学习，导致他们觉得学习数学是件枯燥无味的事情，丧失学习数学的兴趣就不奇怪了.

那么，如何改变这种现状呢？怎么让我们的课堂更有吸引力呢？我们的课堂应当着重培养什么呢？“中国学生发展核心素养（征求意见稿）”透露，数学学习中应培养好数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养. 因而，提升学生的“数学核心素养”就成为当下数学课堂的主要任务，这也成为改变我们课堂现状的途径. 但面对纷繁复杂的核心素养体系，老师往往会感觉无所适从，这就需要我们找到一个打造切实有效的“灵动课堂”的抓手.

新课程改革伊始就在强调评价体系的变革，建构主义等理念得到一线教师的认同. 虽然历经近20年的教育改革，但老師们迫于考试压力、教学进度等影响，日常教学还是过于急躁，忽视了知识的螺旋上升，仍更注重“灌输”，缺乏“发现、创造”. 从认知学的角度来看，学生对一个学习对象认知的首印象很关键. 有很好的建构和认同，才会有完整的图式建构、表象表征. 叶澜教授指出“教学过程是师生、生生积极有效互动的动态生成过程，要改变原来中心辐射的状态，本质上转变成网络式沟通.”“每个学生以完整的生命个体状态存在于课堂生活中，他们不仅是教学的对象、学习的主体，而且是教育的资源，是课堂生活的共同创造者.”因此，我认为“加强过程性教学，注重知识的生成”的课堂可以激发学生的求知欲，提高学生课堂参与的积极性，这也是提升学生数学核心素养的诸多方法中比较容易落实的举措. “数学概念课”是实现该设想的一个切入口，也是老师们要终身研究的课题.

影响学生学习概念的因素有学生的知识经验、感性材料、学生的数学概括能力和语言表达能力. 这4个因素当中，最容易被老师忽视的是第2个，不注重培养的是后两个. 我们也常常感慨学生不会数学表达. 可能很多时候，这个“板子”应当打在老师头上. 没有感性材料的呈现和凸显个性的平台，何来培养之说？俗话说“时光不语、静待花开”，只有随着时间的推移，花朵才会逐渐绽放，展现它的绚丽. 知识的生成也不可能一蹴而就，它需要思维不断地碰撞，擦出创造的火花，照亮发现的道路，由此激发学生的求知欲. 因此，笔者认为概念课的教学一定要强调4个“关注”：关注经验基础、关注质疑反思、关注拓展延伸、关注变式巩固，促进4个“实现”：实现抽象发现、实现概念生成、实现思维升华、实现衔接融通. 相信这样的课堂一定会促使知识的“自然”生成，唯有这样也才能在平时教学中不断培养学生的数学核心素养.

苏州市教科院申报了省级课题“基于核心素养的高中数学教学研究与实践”，此课题的课堂教学观摩活动暨开题研讨会在笔者所在学校举行. 此次活动中，笔者执教了苏教版必修五《等差数列的概念及通项公式》这节课.江苏省中小学教学研究室数学教研员李善良教授，苏州市教科院数学教研员、特级教师吴锷老师，苏州工业园区教师发展中心数学教研员、苏州市名教师许平老师亲临现场，给予指导，并对本节课做了精彩的点评. 笔者收获很多，也让笔者对培养学生的核心素养有了更深的认识和理解. 下面笔者就将本节课的教学片段、专家点评和笔者自己的设计意图、思考整理如下.

■关注经验基础，实现抽象发现

学生在小学对等差数列就有直观的认识，储备了一定的知识经验，能够大致了解什么样的数列是等差数列，他们欠缺的就是如何用数学语言将它的定义表达出来. 现在，老师要做的就是搭建平台，逐步引导学生合理、充分表达自己所想、所思.

【教学片段1】

情境引入1：某钢材库新到200根相同的圆钢，要把它们堆放成正三角形垛，并使剩余的圆钢尽可能地少，那么将剩余多少根圆钢？

师：在这个题目中，你能找到“数列”吗？

生：圆钢个数从上往下构成数列1，2， 3，4，….

师：这个题目可以转化为一个数列的什么问题呢？

生：此数列前多少项和最接近200？比200少多少？

师：你能解决吗？

学生饶有兴致地思考，对这个数列，学生虽然感觉很熟悉，但要顺利得到答案，还是有难度的. 既然有困难，那学生就感觉有必要研究这个数列，他们也能“心甘情愿”地接受新知识. 为了能发现这类数列的规律，并给学生创造数学表达的机会，培养学生数学表达的意识和习惯，提高学生数学抽象的能力.笔者顺势叫学生举了几个类似的数列. 在看起来几乎“零难度”的举例中，学生学会的是如何尝试多角度抽象概括、类比研究新的事物，从数学层面去提出问题、解决问题.

师：现有知识解决以上问题不是很方便，我们先将它放一放，在后续学习中再解决. 今天接下来的学习过程中，让我们一起思考如下几个问题：①如何研究这样的数列？②这些数列有没有什么共同特征？③能不能给这样的数列一个统一定义？

此时，笔者给学生提供了一个研究数学问题的常用方法，即“从特殊到一般”，也明确了本节课的学习目标，将实际问题转化为数学问题，培养了直观想象能力和提出问题能力.

专家点评：数学课堂要强调数学来源于生活，服务于生活，学习数学的过程就是将实际问题转化为数学问题的过程. 所以，概念建构之前需要情境引入.数学课堂情境引入是一个“技术活”，实例引入时间过长，就会导致课堂缺乏“数学味”，没有实例引入，又会让学生觉得“去生活化”. 当学生在解决实际问题中遇到困难时，我们的课堂自然就过渡到要学习新的数学知识来解决问题，学习就成为一种必要. 教师选择由实例引出学习等差数列的必要性，这样的引入“合情合理”，悬而未解的数学问题也激发了学生的求知欲.

情境引入2：

师：以下是刚才同学们给出的两个数列，你们为什么认为它们和上述数列类似呢？

（1）4，7，10，13.

（2）7，12，17，22.

生：刚才的数列中有2-1=3-2=4-3=1，这两个数列也有这样的特征，7-4=10-7=13-10=3，12-7=17-12=22-17=5.所以，这些数列都是同一类数列.

师：你能用数学的语言概括出你发现的“规律”吗？

生：以上每个数列相邻两项的差相等.

师：先想一想4和7对应项的位置关系.再斟酌一下，看能不能更准确一点？

生：“后一项”减去“前一项”的差相等.

虽然等差数列特征的关键信息已经抽象出来了，但笔者认为，此时还不宜直接告知定义. 否则，首先会缺少知识的完整建构过程，也会导致对概念中的关键信息理解不到位. 小学课堂上经常会让学生就题目自己增加或减少条件，或根据给定话语选择几句进行组合，变成一道新数学问题. 这给笔者很大的启发，数学知识，抑或数学概念的“发现”在有可能的情况下要尽量让学生去主动完成.

专家点评：认识到7-4=10-7=13-10=3，这只是感性的，数学关系的抽象性、本质属性并没有得以体现. 教师引导学生发现7是4的“后一项”，4是7的“前一项”. 第一个数列的“后一项”与“前一项”的差等于3，第二个数列的“后一项”与“前一项”的差等于5.这样，“用数列中前、后项的关系”来描述这些数列的共同点就很自然了. 这个转变，充分体现了教师在“以学生为主体”上动了脑筋. 教师较好地引导学生去学会“数学地思维”，学会捕捉信息，建立数学概括和数学表达的基础，延伸了思维的深度和广度，培养了逻辑推理能力.

■关注质疑反思，实现概念生成

【教学片段2】

师：既然很多数列具有这样共同的特征，那我们就有研究它的必要，给这类数列取一个什么名称比较合适呢？

生：等差数列.

对于数学概念，如果我们像这样从生活中来，再回到生活，学生应当不会再有文始的抱怨了. 从感知到举例，从举例到理性思考，学生对“等差”已经不陌生.“等差数列”这个名称的生成就水到渠成，避免了“尴尬”的告知式教学.

师：怎么定义等差数列呢？

生：若一个数列的后一项减去它的前一项所得的差是常数，那么这个数列就是等差数列.

学生给的这个定义有瑕疵，有不够完善的地方，但不能带着居高临下的权威感和优越的批评感来聆听他们的讲话，而要提供给学生更多的解释和评价自己的思维结果的权利. 唯有这样，学生才能“刻骨铭心”，才能学会自行优化自己的所思、所想，才能逐渐提升批判性思维品质.

师：数列1，2，4，6，8是等差数列吗？

讨论之后，学生发现这个数列不是等差数列，原因在于，要强调“从第二项起”后一项与前一项的差是常数.

师：既然这个数列也不是等差数列，那么等差数列的定义可以怎么修正？

生：如果一个数列从第二项起，后一项减去它的前一项所得的差是常数，那么这个数列就是等差数列.

这个定义已经比较精确，但还是没有强调关键词“同一个常数”.笔者继续创造条件，留给学生自己发现和改正的机会.要解决这个问题，概念辨析题依然是不错的选择.

师：数列0，2，4，6，7，9，11是等差数列吗？

学生发现，从第二项起，有的差是2，有的差是1，虽然都是常数，但该数列不是等差数列.

师：思考它和刚才的数列的不同，怎么完善这个定义呢？

生：“差”要是同一个常数.

至此，等差数列的定义圆满生成：“如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就是等差数列，这个常数叫公差，通常用d表示.”

专家点评：“灵动”的课堂需要教师采用“启发式对话教学模式”，让学生放开自己的思维，大胆地去联想，去总结.教师可以询问学生已经了解了什么，而不是一味要求他按照你的思路进行. 否则，我们培养的学生的脑子“总是习惯了在别人的脑子走过的路上活动”，缺乏创造性. 教师将给“等差数列”下定义的主动权交给了学生，对学生的“犯错”采取了宽容态度，舍得花时间让学生“纠错”，充分保护了学生学习的积极性，这样的处理也能让学生很好地掌握概念中的关键词.

■关注拓展延伸，实现思维升华

数学的美在于抽象概括，这也就理所当然成为学习的难点. 数学学习中，学生经常遇到的是数、抽象的式子、字母等等. 所以，掌握数学概念，不仅仅要从文字语言来认识它，更要从数学本质上去洞悉它，数学概念的形式化要求就将概念学习提升到拓展阶段. 如果现在问“如何用数学的式子来表达定义”，会让学生感觉很唐突.他们會问“为什么要学习形式化定义？”学生只有不断地思维遇挫，才会有思维的升华，“生成”也才会“自然”.

【教学片段3】

师：以下数列{an}是等差数列吗？（1）an=n2，（2）an=4-2n，（3）an=3n+1.

学生刚刚感知的等差数列都是有限集，一旦遇到无限集，他们想到的还是从等差数列的定义着手去逐项研究它，化无限为有限.

生：对于第一个数列，a2-a1=3，a3-a2=5，所以它不是等差数列 .第二个数列，a■-a■=-2，a■-a■=-2，…，第三个数列，a■-a■=3，a■-a■=3，…，它们都满足等差数列的定义，所以后两个数列都是等差数列.

师：若一个数列的有限项满足等差数列定义，能说明它就是等差数列吗？

“是不是一定要逐项列举？”“能列举得尽吗？”“若列举不尽，那又该怎么处理呢？”笔者相信这些问题一定会萦绕在学生心头. 学生对后两个数列是等差数列很确定，但只是停留在特殊到一般的归纳推理上. 这一步能否得到论证和突破，某种程度上来说就是学生数学能力和数学素养的体现. 此刻，笔者的引导和平台的搭建对提高学生的数学素养就显得尤为关键. 稍不留神，会让培养学生数学抽象能力的机会从笔者眼前“划过”.

师：既然能发现a■-a■=-2，a■-a■=-2，…，我们又不能列出所有的“差”，你能用一个数学的式子来描述这样的运算吗？

架梯搭桥后，形式化定义的提出就事出有因了，学生容易接受.他们也自然会从“迷茫”到“柳暗花明”.很快，他们意识到，既然数列中通常用a■表示任一项，那么an-an-1就应当可以表示“每一项减去它的前一项”.

生：第1个数列，可从an-an-1=2n-1不是常数来说明它不是等差数列.第2个数列，an-an-1=（4-2n）-[4-2（n-1）]=-2;第3个数列，an-an-1=（3n+1）-[3（n-1）+1]=3，所以，后两个数列是等差数列.

师：由上面的分析和讨论，我们发现，满足“an-an-1=常数”的数列就是等差数列. 对照等差数列定义看看，这个式子的书写有什么要求？

短暂沉默后，有学生提出：“要加上n≥2，n∈N*”.

师：为什么要加呢？

生：加了以后才能保证“从第二项起”.

师：非常棒！还有其他写法吗？

生：还可以写成an+1-an=常数（n∈N*）.

利用三个具体的数列，我们就将一个难点顺利破解. 等差数列的形式化定义产生了：若一个数列，对于任意n≥2，n∈N*满足an-an-1=常数，则这个数列是等差数列.新概念的“生成”就是需要不断地“发现”，所以，有经验的老师都不会放过继续追问的机会，便于学生更深入地理解、掌握概念.

师：既然能用连续两项来描述这个概念，能用连续更多项来描述吗？

生：a■-a■=a■-a■=…=a■-a■=a■-a■=常数.

显然，这样的表达式没有达到笔者预期的目的. 它不够简洁，更不够概括.

师：“常数”两个字可以去掉吗？

生：可以.

师：还能再去掉一些式子吗？

学生迅速展开讨论，结果如下：去掉第一个式子和去掉前有限个式子效果一样.总感觉这样不满足定义中“从第二项起”. 但如果有“a■-a■=a■-a■”，考虑到n的任意性，它就可以从“式”的角度说明所有前后项的差是同一个常数.

生：可以写成a■-a■=a■-a■（n≥2，n∈N*）.

师：很好！将上式变为a■=■，称a■为a■，a■的等差中项.

引入等差中项后，我们就比较深入地研究了等差数列概念，同时为后续证明、判断一个数列是否为等差数列的第二个方法埋下伏笔.

专家点评：对学生来说，理解等差数列的形式化定义是有难度的.因为，刚刚接触文字语言的定义，就跳跃到数学符号语言，这个跨度太大.这需要师生经历从特殊到一般、具体到抽象的过程.本节课，教师循循善诱，设置的问题启发性强，目标指向明确，难度梯度分明，能力要求逐层推进.从有限到无限，令学生“愉快地”觉得形式化定义的学习是有必要的，这样的处理，符合学生的认知规律.学生的数学核心素养、数学能力在思维碰撞、屡次冲突中自然地被提高到更高层次要求，在“最近发展区”是可以实现的.“数学核心素养”的培养不是一蹴而就的，这样的课堂不应当是“昙花一现”，这不仅需要学生的毅力和勇气，更需要老师的思考和坚持.

■关注变式巩固，实现衔接融通

学习到一定程度就需要再“添把火”，否则只会“温热”，缺乏思维的长度.巩固练习不但会对本节课所学内容及时反馈，也往往是学生思维能力提升的源泉.

【教学片段4】

师：已知等差数列{a■}中，a■=3，a■=5，求d和a■.

生：d=2，a■=1.

此题的设计意图在于让学生发现a■是a■的后一项，则公差d就是a■-a■=2，且a■=a■-d=1，也让学生发现公差d是联系前后项关系的纽带.笔者觉得不能就题论题，还要想办法充分利用它的价值，将有限的课堂作用发挥到最大.因此，笔者将本题做了如下变式.

变式1：等差数列{a■}中，a■=2，a■=5，求d和a■.

变式2：等差数列{a■}中，a■=2，a■=5，求a■.

变式3：等差数列{a■}中，a■=2，a■=5，求a■.

变式题中的数据、项数都不是很大，目的是让学生学以致用，发现项与项之间靠d联系着. 我们知道，依赖“题海战术”取胜的课堂治标不治本，抑制了学生个性的展示，掩盖了思维广度的短板，学生只会循着老师的思维印迹去解决熟知的问题. 当学生能力不能提升，没有自己的思维时，他们在面对陌生问题时会束手无策. 这也是很多“高分”学生在高考中分数“直线下降”的本质原因.学习是一个创造与发现的过程，我们的课堂不能搞题海战术，对变式题要关注“题量”和“再利用”，实现前后知识间的融通.

师：通过以上题目的解答，你收获了什么？

生：在等差数列中，已知任意两项，可以求出该数列其他任何一项.

师：你能说出具体的解决方案吗？

生：根据给定两项的值，计算出公差，再求出首项，最后计算要求的项.

学生的回答是不是精确、规范，具有操作性，这已经不是此刻的主要问题.至少笔者认为，这3个变式训练让学生深切感受到可以用两个量来刻画等差数列，这为下一个知识点“等差数列的通项公式”铺路搭桥，做好了知识网络之间的有效预设.

专家点评：变式教学策略的重要性在于它为未来的变异做准备，由于未来具有更大的变异性和不确定性，因此我们只有通过体验现在的变异才能为未来的变异做准备. 本节课的变式训练中，师生共同创造了一个适当的变异空间，获得了探究性的有意义学习. 题目选择恰当，难度适中，不但起到了反馈的作用，还增强了学生学习的信心，最难能可贵的是为寻找“等差数列通项公式”的两个关键要素打下基础，真正实现了知识体系间的螺旋上升.

通过这样的4个“关注”和4个“实现”，我们就完成了等差数列概念的学习. 回顾整个教学过程，笔者始终在关注学生的“发现”，创造机会锻炼学生的思维. 课后的后测成绩非常好，这也佐证了这样的课堂需要老师长期坚持和维系，不断提升教与学的双重收益.

波利亚指出“学习最好的途径是自己去发现”. 特级教师孙双金也说“课堂应是放飞师生思想的天堂，教师应用自己思想的火种点燃学生思想的火花”.因此，对于数学概念的教学，乃至所有的课堂教学，需要我们不要吝啬给学生发现的课堂时间，要充分体现以学生为本，尊重学生主体地位的教学理念，促进学生学习方式的转变和优化;需要引导学生通过对具体事物的感知，自主观察分析、抽象概括，自觉发现事物的本质属性和规律，在思维碰撞中生成新的概念;需要通过概念辨析、变式训练来不断强化学生对概念的认识. 唯有这样，学生在获得概念的同時，才能提升数学抽象能力、数学表达能力和创新精神，也才能更热爱数学，渴望学习数学. 所以，作为一线教师，我们应当坚持走在“过程性教学”研究的路上，静待思维花开，守望自然生成.