基于“数学教学设计原理”的案例评析

陈小祥 张文海

[摘  要] 如何更好地推进核心素养的落地生根？如何进一步提升教育教学质量效益？文章从一节省级活动的同课异构的课堂教学以及评课等系列活动出发，剖析设计案例、感悟教育教学、深思相关理论，进而反思再教学与设计，拟提供落实核心素养于课堂教学环节的案例供同行参照.

[关键词] 教学设计;新授课;大单元教学

■基本情况

1. 背景简介

近期江苏省高中数学骨干教师研修活动在苏州顺利举行，期间在苏州某四星级高中举行了新授课同课异构的活动，在学科核心素养全面推进和江苏等省即将进入新一轮课改的背景下，我们将眼光重新投向了课堂教学. 众所周知，课堂教学很大程度上受限于教学设计，教师的一个重要工作就是进行教学设计与创新，教师的一个重要身份或许就是教学设计师，特别是新授课的设计与教学. 命题新授课是高中数学的一种基本课型，也是获取新知的主要途径之一. 本文试图通过以省骨干教师培训期间的同课异构活动中的一位优秀教师开设的一节公式新授课的设计、教学、专家评议等活动为载体，通过笔者的观察与反思，为高中数学命题新授课的设计、教学的研究提供示例.

2. 教学对象

上课对象为江苏省苏州市某四星级高中二年级某班，学生基础好，思维活跃，有相当的类比、联想、推理和运算能力，绝大部分学生有着较高的数学学习热情，能够积极主动地参与课堂教学的各个环节.

3. 学情分析

学生已经完成了苏教版必修5数列的概念、等差数列、等差数列的前n项和以及等比数列的概念的学习，对数列的概念、等差数列的一些知识方法和技能以及基本思想、活动经验等有了初步的认识和感受，并且对高中数学新授课特别是等差数列部分的学习的方式有了一定的了解.

4. 教材分析

“等比数列的前n项和”是苏教版必修5中2.3.3节的内容，本节内容既是对初中相应内容的拓展扩充，也是高中继等差数列章节后重要的后续课程，是等差数列前n项和以及等比数列通项后的一个自然延续;其公式及其推导蕴含了特殊到一般、类比和归纳等思想方法，是高中数学教学中一个重要的衍生性主题内容，同时也为数列章节后续的应用打下了不可或缺的知识方法的基础.

5. 教学目标设置

较为自然地引导学生想到公式并推导应用;重点是公式推导，难点是怎样想到证明方法. （授课张老师自述语）

■教学过程实录

1. 创设情境，问题引入

师：上节课我们学习了等比数列的哪些内容？

生（集体）叙述：定义、通项公式等内容.

师：依照等差数列学习的内容安排，今天我们学习等比数列的（停顿）和.

问题情境1：（细菌分裂）细菌通过分裂增殖，一个细菌繁殖10代可以产生多少个细菌？

问题情境2：（产值问题）某厂去年的产值记为100万元，若计划在今后的5年内的产值每一年比上一年增长10%，则从今年起到第5年，这个厂的生产总值为多少万元？

师：上述2个问题所涉及的分别是什么数学问题？

生1：求项以及求和的问题（师板书相应的代数式）.

问题情境3：（借贷问题）故事情境：富人借钱给穷人，第1天1万，以后每天比前一天多1万，30天截止;穷人第1天还1分，以后每天还的钱是前一天的2倍，30天截止. 问：穷人是否可以接受这种借还方式？

师：问题3中涉及的两个数列求和式子是（师生互动，师板书式子）：1+2+3+…+30（万元），1+2+22+…+229（分）.

2. 师生互动，探究问题

师：穷人是否可以接受这种借还方式，可以转化为一个怎样的数学问题？

生2：比较两个式子和的大小，第一个式子可以利用前面所学的等差数列的求和公式求解，问题是如何求第二个式子的和.

师：这个同学的回答直击问题的核心，下面我们就来研究如何求第二个式子的和. 想一下，如果让你来求，你怎么算？（停顿）

师：这样，我们先来考虑1+2+22+…+210怎么算.

生众：硬算，一个一个地加（学生笑）.

师：项数较多时，一个一个地加就显得不方便了，能不能类似等差数列的求和公式，找到一个求这一类问题的一般公式呢？比如求1+2+22+…+2n的和？（停顿）

生3：先算几个n比较小的看看.

师：很好，缩小指数算算看，一起来.

（师生互动，师写n=1，2，3，4时的式子及和）

师：结果与n的关系能不能猜一猜？

生4：Sn=2n-1.

师：这一结果从哪儿得到的？

生4：观察前几项后猜想的.

师：研究一般问题先从特殊的情况入手考虑是一个不错的办法，如果公比不是2而是3呢？公式类似吗？公比为q呢？

师：公比为3，4，5，6的情形，请同学们分组探究一下1+q+q2+…+qn的和. （小组活動）

几分钟后，各小组汇报自己探究的结果：■，■，■，■.

师：公比为q呢？

生5：■.

师：有没有什么疑问？

生6：q≠1.？摇

师：为什么？

生6：分母不能为0.

师：若q=1，怎么办？

生6：常数列.？摇

师：好，如何证明这个结论？不翻书，同学们思考思考. （停顿2分钟）

生7：（学生们思考议论）等式两边乘q.

师：为什么要乘q？

生7：乘q之后，一列数中有很多项是相同的，可以消去.

师：大家说他讲得好不好？一定要乘q吗？还有没有其他办法？

生8：还可以除以q.

师：除以q，相当于乘■（师写出过程）. 除了乘■，还可以乘其他的数吗？

生8：还可以乘q2.

師：乘q，■，q2等都与何有关？

生众：与q有关.

师：对比一下，哪个更好？乘q的目的，抓住了等比数列前后项之间的特征.乘q达到了什么目的？

生8：消项，变成了2项.

师：这种化无限为有限的方法之前遇到过吗？等差数列前n项和怎么求的？它的本质是什么？

生9：倒序相加法，抓住等差数列a■+an=a2+an-1=…的特征，实现了化无限为有限.

师：回答得很好，这两种求和方法虽然不同，但其数学思想方法却是统一的. 类比等差数列求和的倒序相加法，你能给这个方法取一个名字吗？

生众：（结合过程，详述程序，并描述关键步骤）错位相减法，数学上方法的名称，很多时候，能够反映其内涵.

师：若改成一般的等比数列{an}，其前n项和a1+a2+…+an=？

生10：Sn=■.

师：还有没有其他情况？

生11：当q=1时，Sn=na1.

师：我们考虑问题一定要严谨，只要使用求和公式，就要考虑q=1的特殊情况（师板书并强调公式整体），求和公式关注了哪几个量？

生众：a■，q，n.

师：想一想，求等差数列前n项和有几个公式？第二个公式是如何得到的？求等比数列前n项和会不会也有两个公式？公式能不能类比得到？（试一试）

生12：结合通项公式an=a1qn-1，可得Sn=■（q≠1）.

师：重新认识等比数列前n项和的公式的推导方法：名称，实施步骤（①②③），与等差数列前n项和公式相比其相同点是什么（①②③）？

师：大家思考一下，推导求和公式时，在等式Sn=1+q+q2+…+qn-1两边同时乘q这一妙招，刚才那位同学是根据等比数列各项之间的特征直接观察得到的. 我们可否从要证明的猜想S■=■（q≠1）的结构分析而得到？（停顿片刻）

生13：要证Sn=■，只要证（1-q）·Sn=1-qn，即证S■-qS■=1-qn，从这里也可以发现同乘公比q的妙招.

师：这个同学回答得太精彩了，他告诉了我们一种证明恒等式的方法，就是分析法，其本质就是执果索因. 实际上，历史上关于这个问题的探究有几种精妙的证法，大家不妨一起来了解和欣赏一下.

3. 历史名题，证法欣赏

教师出示两个历史命题：（1）公元前1650年埃及祭司的房屋、猫、老鼠、麦穗问题;（2）《孙子算经》卷下，九堤、九木、九枝、九巢、九禽、九雏、九毛、九色问题.

教师引导学生欣赏证法：（纸草书）提取因式法、（几何原本）比例证法等.

教师介绍方法、叙述历史.

师：了解并学习了等比数列的求和公式，接下来可以做什么呢？

生众：应用公式解决求和问题.

4. 公式运用，理解数学

师：请一位同学出一个与等比数列求和相关的问题，大家求解.

生14：a■=2×3n. （学生均能利用公式直接解答）

师：我来出一个题，大家解答一下：1+4+42+…+4n=？

生15：■=■.

师：大家同意吗？如果不同意，你觉得问题在哪里？

生16：应该是■=■，这里的项数应该是n+1项.

师：以后我们在利用公式求和时，一定要关注好a■，q，n，a■到底是多少，如果不知道q的值，一定要对q分q=1和q≠1进行讨论.

例题：在等比数列{a■}中，S■=■，S■=■，求通项公式a■.

生17：方法1（公式法，师补充公比的分析）.

生18：■=q3……

5. 总结反思，深化认识

师：让我们一起从知识层面和方法层面对今天所学的内容进行一个总结.

生：无限到有限，消元，特殊到一般，分类讨论……

师：（思维导图式）数学知识（求和公式、推导方法），数学思想（特殊与一般、归纳猜想证明、方程思想、分类讨论、化无限为有限）.

■专家点评

苏州市教育科学研究院原院长、著名特级教师祁建新教授，苏州高新区教育发展中心主任、省特级教师张必华教授，苏州教科院高中数学研究员、省特级教师吴锷主任，江苏省正高级教师、高考命题专家王第成教授在三位上课教师（特优、骨干和学员教师）介绍完教学设计意图以及教学感受后，进行了气氛热烈的点评交流：

张必华教授首先指出：三节课精心安排，代表了不同阶段、不同境界、不同层次的教师设计，彰显了各自的教学风格.新课程下的课堂有一些还是比较传统一些，但今天的三节课从不同的角度切入，让人眼前一亮，可以用前“苏式课堂”中的词形容此三节课：灵动、精致、开放、大气、扎实、生动、有效.

吴锷主任认为：张老师的课从情境（生活的、数学内部的）引入，开门见山、单刀直入，从等差到等比（过渡）;接下来的探究活动中，教师引导，师生互动，小组合作，从少项（入手，逐渐）到多项，从数列研究的常规思路（出发），归纳出q=2时的结果，又继续进行了q=3，4，5，6的分组实验，再得到一般结果;然后对公式进行有效证明，体现了“创新再发现”的理念，符合现代数学教学要求，也合乎弗赖登塔尔理论;重视数学家发现之路，再创造突出知识的形成过程，关注学生体验过程，过程中发现了一些结论，数学实验中有新的发现，抽象出了数学结论，体现了新课程理念，这个过程即是数学抽象，接下来的证明过程是逻辑推理，从而使核心素养落地生根，同时体现了问题解决意识，有限与无限的转化渗透着数学哲学观.

王弟成教授接着指出：一节好课的最基本的标准是，下课后学生能非常清楚本节课学到了什么.本节课教师能根据学生的问题进行引导，针对问题如何能够自然地不強加学生的引导使得学生不知不觉学会了. 课堂上伴随着问题的解决，（学生）创造了方法，体会了成功、自信，也感受到了自我发现;课堂教学中非常注重在解决问题的过程中，探寻问题解决思路，渗透数学思想方法，方程思想、消元思想、特殊化思想等自然流淌，（充分体现）素养导向下的以知识为载体、以能力立意的新课堂（标准）.

然后，与会专家和教师自身也阐述了一些改进建议：如例题完成稍显仓促，还有一些值得挖掘的地方;针对情境中引入的问题，课尾可予以解决回应，以形成完整结构，等等.

■教育论坛

本次活动后相比以前多了一个环节，颇具特色，即教育论坛，先是教育名家针对数学核心素养如何落地生根这个主题发表个人见解，再由与会教师和专家互动.

祁建新教授认为：课堂研究为进一步接近真理发现真理助力.

首先，要形成大观念. （教学设计体现相应的）精神、能力、数学美;教数学的人要学点哲学，数学实力一定程度上决定国家实力;要立德树人，借助研究形成大观念.

其次，强化大主题. 数学里的大主题，有些是隐性主题，如审美主题，跟着课标、高考考向、学科规律（去研究），形成特色，走向风格. （教学的）各阶段理解各有不同，数学史上是如何求和的？为什么要学习求和？必要性问题应讲清楚;审美上，追求简洁;教师艺术是，训练学生，怎么训练？运算如何（反对割裂素养的运算，算中有推）？如何悄悄地体现上去？等等，都需要思考研究.

第三，注重大单元.大单元，（要考虑）一节课在一个单元中的位置，一个单元（的整体）设计，设计的准确、清晰、连续性（的考量），即设计应与未来几节课有联系、有伏笔.

第四，教得有效.教得巧妙（是能力），教出特点，教出美感（是艺术）.

吴锷主任指出：课堂是提升核心素养的沃土，素养通过教育去改变，课堂实践大有可为，教育大有可为;靠研究，付出劳动，做中学，学中做. 从教育的初衷与理解上看（这几节课），也许并不能改变什么，但可以提供（教学）示范和（教育）思考.

王弟成教授认为：教学的着眼点是培养能力;思考的方法，素养的落地是一个切入点（平时多搜集素材，有一些较为深入的思考）.

互动环节，与会专家和参会教师就新课程理念下数学学习成绩与素养培养的关系进行了热烈的探讨，包括对练习量的程度等问题的看法进行了交换.

张必华教授最后总结：核心素养的课怎么上？五点以概之：①以问题为中心;②知识技能是载体，技能在问题中;③实验（数学）与活动是过程，过程以学生为主体;④以信息技术为手段（信息技术辅助、整合、融合于教学）;⑤以“四基四能”核心素养为目标.

■教学反思

1. 关于公式课的教学

在数学中，用来表示数学判断的陈述句或符号的组合叫作数学命题，它们揭示了从现实世界的空间形式和数量关系中抽象出来的一般规律，数学命题的教学主要指公理、定理、公式、法则的教学[1];而教学设计是运用系统方法分析教学问题和确定教学目标，建立解决教学问题的策略方案、试行方案、评价试行结果和对方案进行修改的过程，是教师理论素养和学科素养的综合体现[2].

教学方法：曹一鸣教授认为，数学教学中，应该启发学生，通过实验、观察、演算、分析、类比、归纳、作图等步骤，探索规律，建立猜想，发现命题.

教学原则与策略：（1）需要原则：通过有效问题激发动机、调动积极性，引起内在期望和认知需要. （2）过程性策略：教师在证明阶段，通过适当的教学方法，启发学生直接或间接地感受、体验数学知识的产生、发展、演变的动态过程，要求教师暴露学生的思维过程，揭示命题产生、推证过程，突出思想方法的提炼与应用过程，引导学生感受、体验“再创造”的过程. （3）变式策略：通过变式练习等多种方式，促进学生理解命题蕴含的思想方法的本质特征;（4）系统化策略：弄清命题在数学体系中的地位、作用，以及命题之间的关系，把握命题全貌;通过小结复习将知识整理成系统的知识体系，形成命题知识链;通过讨论公式的推广方法来表现命题知识的系统性.

本节课的教学，完全符合公式课的教学要求，以情境问题阐明必要性、以探究活动引发再创造、以多种证法揭示出本质、以数学史帮助学生拓展理解、以典例解决强化应用、以简明导图概括所学;从特殊到一般、从归纳到猜想、从多法到本质、从证法到思想、从应用到理解、从引导到放手再到回收，整个课堂自然顺畅、时紧时缓，不知不觉之间在对话、探究、深思、合作、应用中学生学了公式、懂了缘由、会了应用、深了理解，为命题课的课堂教学提供了一次极好的示范.

2. 关于教学设计

教学设计是一个系统化规划教学系统的过程，其根本目的是创设一个有效的教学系统. 通俗地讲，就是你要把学生带到哪里去？你怎样把学生带到那里去？你这样做能把学生带到那里去吗？

王尚志、张思明认为：现代教学设计理论上强调依据学习任务类型来选择教学策略;强调以问题为中心，营造一个能激活原有知识经验、有利于新知识构建的学习环境，帮助学生进行有效的数学学习. 进一步，他们认为教学设计需要考虑三条线索，关注三个维度：教学内容线索，教学内容应由简单到复杂;学生的认知线索，使得学生的学习行为由低级到高级发展，表现为“理解接受——联结应用——探究创造”;教学组织线索，教师的教学行为由显性向隐性发展，表现为“传授知识——训练技能——传承策略”.

涂荣豹教授构建的“数学教学设计原理”可以很好地剖析本节课，原理结构如图1：

如何教学生学会思考？用研究问题的一般方法：提出问题——构建概念——寻找方法——提出假设——验证猜想——语言表述. 张老师的设计和教学顺序与这一般线路基本契合.

提出什么样的问题？涂教授认为，用“问题结构推进教学原理”，包括每节课问题化、问题结构化、解题教学化. 本节课首先提出了目标问题“求等比数列前n项和”，由此产生了一系列的问题，最终引导学生得到了一般化的规律——公式.

问题从哪儿来？涂教授认为，办法是“创设情境——提出问题”. 如何创设情境？任旭、夏小刚认为，可以从“设计衍生性主题，把握数学教学内容的本质和转化数学关系明确问题结构”几个步骤进行. 本节课开始时创设的情境拉近了数学与学生的距离，激发了学生数学学习的兴趣和动机，再通过后续一系列围绕等比数列前n项和公式的探究设计的问题链构成的新问题情境，逐步明确了求和的数学本质——关于a■，q，n（a■）的代数式f（a■，n，q），通过消项，化无限为有限的问题. 教学的关键在于将等比数列前n项和的本质关系转化为学生可以“触摸”和探索的数学问题，从这个意义上说，“问题情境是一类具有现实性和思考性的数学问题”[3]，而不仅仅是一节课开始时的几个引入问题.

教师如何引导？用“启发性提示语引导原理”，即教师由远及近、由易到难地设计启发性问题，启发引导学生主动探究. 课堂教学中，张老师通过精炼的对话从特殊到一般，从简单到复杂，引导学生合作讨论、思考探究，教学过程中能感觉到那种行云流水的顺畅推进和张弛有序的思维活动节奏.

当然，还需要“反思性教学原理”，教会学生通过回顾、质疑、反诘、追问进行思考. 张老师的课堂上，随处可见“反思性教学”：回顾前节课所学知识而引出新知，质疑、归纳结果引出演绎，反诘、探究结论点引出易错点（q=1），适时追问将探究活动引向深入，最终教会学生思考这一节数学课的本质.

如何提升教师的教学设计能力？教师需主动学习，“研究、实践、反思缺一不可，研究新的教学理念和程式，关注设计的三个主线（知识线、认知线、组织线），研究不同课型的不同教法，注意一个意识和三个维度（整体单元意识，数学的、学生的、教学的维度）”[4].

总之，“教育不再是知识与技能的传授，而是培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力. 这一切变化都要求学校教育从‘教转向‘学.近20年来，数学课堂的变化无疑是一种信号：从‘五环节到‘多环节，再到‘无环节，课堂教学过程中的问题驱动、活动引导、任务驱动、项目学习、单元设计等，已經成为趋势. 课堂教学中，以学生为中心，关注学生动手实践、自主探究、合作交流、问题解决已经成为常态.”[5] 如果教师经常学习教学设计理论，加强教学设计研究，进行教学设计实践，坚持教学设计反思，那么数学课堂教学就能更接近甚至达到李善良博士所说的“诗化数学、诗意课堂、诗润心灵”的境地.

参考文献：

[1]  曹一鸣，张生春.数学教学论[M]. 北京：北京师范大学出版社，2010.

[2]  段志贵. 教学生学会思考是数学教学的根本[J]. 高中数学教与学（人大复印报刊资料），2019（06）.

[3]  任旭，夏小刚. 问题情境的创设：基于思维发展的理解[J]. 数学教育学报，2017（04）.

[4]  陈小祥，李慧. 例谈高中概念新授课的教学与设计——以《任意角》为例[J]. 数学通讯，2019（04）.

[5]  李善良. 教科书：从“教”材到“学”材——苏教版高中数学教科书编写思考[J]. 中学数学月刊，2019（08）.