凸显四要素 助力培素养

陈之领

[摘  要] 文章通过“基本不等式”一节课四个环节的教学设计，例谈了如何在培养数学学科核心素养视角下的教学设计凸显适切情境、思维活动、数学本质、实践应用等课堂教学四要素.

[关键词] 数学学科核心素养;适切情境;思维活动;数学本质;实践应用

《普通高中数学课程标准（2017版）》（以下简称《标准》）指出：高中数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析. 特别强调数学学科核心素养既相对独立，又相互交融，是一个有机的整体. 《标准》自颁布以来，如何培养高中数学学科核心素养日益成为数学课堂教学中的热点问题. 基于数学学科核心素养培养视角下的课堂教学设计要凸显哪些要素是值得思考的一个问题. 笔者以为适切情境、思维活动、数学本质、实践应用等四要素是值得追求的. 下文以“基本不等式”这节课的教学设计为例，浅谈自己粗浅的感受.

■情境——创设适切情境，渗透数学文化

课堂教学的任务就是把科学形态的数学变成教育形态的数学、文化形态的数学. 学生学习新的知识，要讲究效率，更要经历知识发生、发展的过程，因此情境的创设就显得尤为重要.

情境创设有很多种类型，如生活情境、游戏情境、科学情境等. 适切的情境有助于引起学生的学习兴趣，有利于知识更好更快地呈现，有利于学生更好地理解知识产生的源头或必要，有利于学生核心素养的形成与提高.

三国时期赵爽创制了一张弦图，直观而绝妙地证明了勾股定理. 在设计本节课教学情境时，笔者借鉴赵爽弦图直观简洁的特点，仿制了这样一个折纸活动教学情境：

第一步：每位同学用两张面积分别为a，b（如图1）的正方形纸片，沿对角线对折成如图2所示的图形，然后将对折后的等腰直角三角形纸片沿斜边重合.

第二步：小三角形上沿延长至大三角形的直角边，整个拼图就变成了一个矩形和一个更小的等腰直角三角形，如图3.

问题1：整个拼图的面积和矩形的面积分别是多少？

问题2：显然拼图的面积（整体）大于矩形的面积（局部），你能用数学符号语言来表达这一结论吗？

问题3：问题2中的结论描述了一种不等关系，那么满足什么条件时两者的面积相等？

学生很快就得到了这三个问题的答案：

问题1的答案：■与■;

问题2的答案：■>■;

问题3的答案：等号成立的条件是a=b.

从学生的反应来看，上述折纸活动简单易做，结论简洁明了. 与教材中的“用制造的不精确的天平测两次同一物体的质量”相比，折纸活动的情境创设源头来自赵爽弦图，进行合理的迁移，直观而简洁，学生易于接受而又感兴趣，凸显了数学文化的韵味. 学生从具体的折纸活动抽象到代数式的生成是一个理性思维形成的过程，既是数学抽象的过程，又是归纳整理的过程，为数学建模提供了有效方案和解决经验.

■活动——鼓励活动探究，提升批判思维

折纸活动中，学生虽然感知了基本不等式公式的形式，但对其深刻的内涵还没有剖析和领悟，为了进一步引导学生自主探索和理解基本不等式的“基本”含义，定理形成的抽象过程以及逻辑上的正确，在给出算术平均数和几何平均数两个概念之后，笔者又设计了以下活动.

针对以下几个“问题串”，请同学们思考并讨论：

问题4：有没有可能出现■<■呢？如果不能，为什么？如何证明你的结论？

问题5：结论可以合写为■≥■吗？那么结论中的a，b有什么范围？如果脱离纸片这个载体，结论中的a，b的范围可否再扩大？能否用文字语言表达这一结论？

问题6：在证明结论过程中，你发现■≥■其实和哪个知识是等价的？

对于问题4，学生通过自己独立的思考和相互交流之后认为不可能出现■<■，理由是图形整体的面积不可能比局部面积小，但是具体如何证明有难度，经过笔者点拨后顺利地用差比法证明了■≥■一定成立.

对于问题5，学生认为a，b的范围可以从大于零扩展为非负数，即a=0，b=0亦适用，但对于文字表述存在困难，绝大多数的学生还在表述中存在具体的字母a，b而没有抽象为任意两个非负数，经指出后认识到其一般性：两个非负数的算术平均数不小于几何平均数.

对于问题6，学生一致给出了想法：实数平方非负，因为证明到最后，其实是利用了（a-b）2≥0，而（a-b）2≥0反映了实数的基本性质，正是源于实数的这一基本性质，我们把其称为基本不等式.

设计这个活动是为了让学生在对自己感知的结论进行批判性反思的基础上，进行一般性的抽象，上升为理性的数学成果. 学生运用数学语言进行表达和交流，通过推理完善知识的构成，辨析运算中的字母优化数学思维，进而形成数学核心素养.

■本质——淡化数学形式，注重本质理解

学生在经历了6个问题以后，得到了完整的基本不等式定理，也理解了“基本”的含义，理解了基本不等式是两个平均数的比较，但对其深刻的内涵还没有充分挖掘. 《标准》对这一知识点的要求是“掌握”. 掌握意味着要能分析、推导、证明、运用、解決等. 为了让学生进一步理解定理的本质，达成课程目标，笔者设计了如下活动.

问题7：a，b既然是任意非负数，如果把■当成b，会得到什么样的结论？

问题8：求函数y=x+■（x>0）的最小值.

问题9：求函数y=x+■（x>-2）的最小值.

问题10：函数y=sinx+■，x∈（0，■）有最小值吗？

“问题串”的设计从一个数变成一个式开始（本质上代数式运算的结果还是一个数），逐渐过渡到右边结果为定值，再过渡到形式上的补数凑形，到最后关注等式成立的条件，使学生对定理在运用时的条件有了本质的把握. 问题解决过程中，学生时而能快速理解，时而一步不前，时而又联想顿悟. 对定理形式化表达和运用有了更准确的理解.

■应用——强化数学应用，拓展学生素养

《标准》指出：数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现……是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的. 数学的应用既有数学抽象体系内的运用，也有现实生活中的实践应用. 实践运用帮助学生从现实生活进行抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题.

问题11：汽车已经成为如今很多人出行的方式. 疫情期间，沙特、俄罗斯和美国产生石油矛盾，油价起伏较大，试以两次加油为例，说明定量加油和定金额加油哪种方式更划算？（定量加油是指每次加相同的油量，定金额加油是指每次加相同的金额）

事实上，如何理解“加油划算”是一道坎，用更少的钱加相同的油或用相同的金额加更多的油，本质都是考虑到两次加油后油价均价更低，所以需要抽象出“均价”这一概念. 如何表示每种方式两次加油后油价的均价又是一道坎，生活中，均价的概念是总价除以总量，需要学生有一定的生活体验. 如何比较两种均价高低涉及数学中比大小的方法，在证明基本不等式时差比法课堂上刚涉及，难度不是很大. 两种加油方式涉及的两次油价的均价分别对应了两个正数的算术平均数、调和平均数，判断两个正数的算术平均数与调和平均数的大小关系恰恰进一步深化了学生对基本不等式的理解. 在整个题目求解的过程中，学生对不等式的学习会有更深刻的理解.

高中数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，也是高中数学课堂教学改革追求的核心. 在以培养核心素养为目标的教学设计中，如果能创设适切的情境，组织形式多样的数学思维活动，不断突破数学的本质理解，加强数学知识的实践应用，一定能够助力学生提高数学学习的兴趣，增强学好数学的信心，提升数学学科核心素养.