常数

b]上可积,存在常数γ和Γ(γ＜Γ),使得对于任意t∈[a,b],有γ≤f＇(t)≤Γ,则对于任意λ∈[0,2]和任意x∈[a,b],有其中证明先考虑x≠a的情形．将P表示为利用式(2)得γ(x-a)2-Γ(b-x)2≤P≤Γ(x-a)2-γ(b-x)2,于是有 -(2 -λ)τ(Γ-γ)≤U≤λτ(Γ-γ),从而在式(3)中取ε=ε1,则式(1)的右边不等式得证.再考虑x=a的情形．记对任意常数,由引理1 得推论1设条件同定理2,则对任意λ∈ [0,2]

式,α(z)为非常数整函数。若方程p(z)f(z)3+q(z)f″(z)=-sinα(z)有整函数解,则α(z)=3az+b，其中:a,b为常数,p和q为常数,且满足27p=4q3a6，f(z)=c1eiaz+c2e-iaz，其中常数c1和c2满足c13=-e2bic23，2ipc13=-ebi，3pc1c2=qa2。本文，我们进一步推广定理B，得到了如下结果。定理1设p,q,r和s为非零多项式,α为非常数整函数。如果p或者r为常数,且pf3+qf″=re

,还可以通过构造常数列去解决数列求通项求和问题.非零常数列身兼等差数列和等比数列两大特性,在一些数列求通项求和问题中,若能适时地构造常数列,则可避免复杂的累加、累乘或迭代等过程,从而使数列求通项求和一步到位,达到事半功倍的效果.下面以2021年八省市联考第17 题为例,通过构造常数法的解答与分析,并进行探究与推广,总结出构造常数法巧解数列的通项公式与数列的前n项和的几种题型.一、试题展示与解法探究题目(2021年八省市联考第17 题)已知各项都为正数的数列

，k)为可计算的常数。本文基于上述文献，利用初等及解析的方法，证明了如下定理:定理设k≥2是给定的正整数，则对任意的实数x≥2，有渐近公式其中di(i=1，2，…，k)为可计算的常数，ζ(n)为Riemann Zeta-函数。1 相关引理引理1[8，9]对任意的素数p≥3即k∈N,z(pk)=pk-1。当p=2时，则有z(2k)=2k+1-1。若n为任意合数时，z(n)=max{z(m):m|n}。引理2[10]对于任意素数p，有sl(pk)=pk。引理3

可微函数，且存在常数γ和Γ使得对于任意t∈[a,b]，有γ≤tf′(t)≤Γ，则有(6)证明由引理1得即式(6)得证。(7)类似可证故式(7)成立。推论1 设f是[a，b]上的可微函数，且存在常数γ和Γ使得对于任意t∈[a,b]，有γ≤tf′(t)≤Γ，则有式(7)成立。(8)证明因为f是[a，b]上的GA凸函数，故对于任意x,y∈[a,b]，x≠y，有根据定理2则式(8)的右边不等式得证。即式(8)的左边不等式得证。定理3 设f是[a，b]上的可微函数，

象经过的象限确定常数k，b的正负性解析：常数k，b决定一次函数y = kx + b的图象所经过的象限;反过来，一次函数y = kx + b的图象所经过的象限决定k，b的正负性. 根据题意画出图象，如图2，由一次函数y=kx + b的图象经过第一、第三象限可知k > 0. 由一次函数y=kx + b的图象与y轴的负半軸相交可知b < 0. 所以kb<0. 故选B.

1]中笔者从构造常数列的角度另辟蹊径，为该类问题的求解提供了一个新思路，本文分别从构造常数列和等比数列的角度，又探索出了两种求和方法，现将其介绍如下：一、方法介绍不失一般性，设等差乘等比型数列{an}的通项公式为an=(kn+b)qn，(其中k,b,q均为常数，且q≠1)，其前n项和记为Sn.方法1：构造常数列{Sn+(xn+y)qn}.对数列{an}，由an=(kn+b)qn(q≠1)得an+1=[k(n+1)+b]qn+1，由an与Sn的关系，可得关于

解为其中C为任意常数.定理1Riccati微分方程（1）存在形如证明为证明方便，设必要性. 设方程（1）的通解为式（2），则将式（2）代入式（1）得整理得即显然，y=-ke-x是方程（3）的解.设z=y+ke-x，则方程（3）可变为由引理1得，即y=-ke-x+为任意常数.类似可得下面定理.定理2Riccati 微分方程（1）存在形如的通解充要条件为其中：k为常数，C为任意常数.根据定理1和定理2，我们可得下列2个推论.推论1若Q(x)=2kP(x)e-x

极大单调映射，对常数 ρ＞0，定义映射 JG:H→H 为:JG(u)=(1+ρG)-1(u)，u∈H 称为 G 的预解算子，其中 I是H上的恒等映射。2.5. REPAIR systemBoth CBE and ABE base editors were developed for targeted single-base substitutions at the DNA level. To enable gene correction at the RN

C1等来表示正的常数, 允许在不同的地方取不同的值.3 主要结果及证明引理1设(Φ1,Ψ1)和(Φ2,Ψ2)是两对互补的N-函数,ωi(i=1,2,3,4)为权, 则以下三条等价:(i)存在与f=(fn)n≥0∈M无关的常数C1>0, 使得(3.1)(ii)存在与f=(fn)n≥0∈M无关的常数C2>0, 使得(iii)存在与f=(fn)n≥0∈M无关的常数C3>0, 使得证明下面证明(i)⟹(ii)⟹(iii)⟹(i).(i)⟹(ii). 设(fn)n≥

结论.【关键词】常数变易法常数变易法是微分方程中解线性微分方程的方法，就是将齐次线性微分方程通解中的常数c变换为待定函数u（x）.不仅如此，它在高中数学中也有着广泛的应用，用变量来表示一个常数，可以巧妙地解决问题.下面列举几种题型加以阐述.一、在解方程中的应用二、在不等式中的应用三、在三角中的应用四、在向量中的应用【参考文献】[1]崔士襄.“常数变易法”来历的探讨[J].邯郸农业高等专科学校学报，1998（5）：40-41.[2]胡宜寒.常数变易法在高等数

级教师)已知基本常数:难溶电解质的Ksp、弱电解质的电离平衡常数(弱酸的Ka及弱碱的Kb)、水的Kw，如何求整个化学反应的平衡常数K?对于简单的化学反应来说,常用变换相关物质基本常数幂与相关离子浓度幂乘除的方法,找出K与相关物质基本常数幂的关系,然后求解．但对于复杂的化学反应来说,用变换法找出上述关系相当困难．现总结归纳出简单的方法,则很容易得出K与相关物质基本常数的幂的关系．方法是:平衡常数K等于反应物中有基本常数物质常数幂的乘积与生成物中有基本常数物质

那么它一定是非零常数列.其实，以下两个与常数列相关的结论，看似简单明了，解题中如果巧妙运用，常可以另辟蹊径.结论1 设A、B是已知常数，若无穷等差数列{an}满足：A结论2 设A、B是已知正常数，若无穷正项等比数列{an}满足：A例1 (2016年江苏省竞赛初赛题)已知数列{an}的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列，且对任意n∈N*，都有an解析依题意，a2n-1=a1+(n-1)d1,a2n=a2+(n-1)d2,a

纳。技巧一：加减常数例1求函数的值域。解：(1)当x＞1时,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立,此时y的最小值为3。(2)当x＜1时,所以1-x＞0=(x-1)++1=+1≤+1=-1,当且仅当1-x=,即x=0时,等号成立,此时y的最大值为-1,综上,y的值域为(-∞,-1]∪[3,+∞)。点评：当各项符号不确定时,必须分类讨论,要保证代数式中的各项均为正数。技巧二：巧变常数例2已知,求函数y=x(1-2x)的最大值。解：因为0＜x＜,所以x＞0。y

黄书虹非零常数列即是等差数列，又是等比数列，简单明了，但是常常被忽视。在一些数列的题目中，如果适当地利用构造常数列，可避免复杂的累加、累乘或迭代，使数列问题简单化。利用常数列求通项公式例1：已知数列满足，， 求通项公式解析：因式分解得：方法一：（累乘法）方法二：（构造常数列）是常数列本题中，两种方法难度差不多，计算量也差不多。变式：已知数列满足， 求通项公式。解析：方法一：（累乘法）方法二：（构造常数列）两边都乘以n，得：， 是常数列本题中，累乘法在消项过

们发现大纲对平衡常数的考查加大了难度.化学平衡常数、电离平衡常数、溶度积要求“能进行相关的计算”.人教版高中化学选修四从第二章出现化学平衡常数后，一发不可收拾，第三章依次出现了弱电解质的电离常数、水的离子积常数、盐的水解常数，难溶电解质的溶度积.我们注意到一方面，后四大常数是对前面内容的补充与深化；另一方面，也渗透了化学平衡常数在后面内容中的应用，体现了知识的相互联系，同时也不难看得出，后四大常数彼此之間也互相联系，而且难度越来越大.endprint

所关注的数列——常数列的思考，探寻常数列在解多种题型中的巧妙应用，感受其优美.例1 数列{an}满足an=n·3n，求数列{an}的前n项和Sn.解法1 由Sn=1·3+2·32+3·33+…+n·3n,知3Sn=1·32+2·33+3·34+…+n·3n+1.2个式子相减可得-2Sn=1·3+1·32+1·33+…+1·3n-n·3n+1,从而解法2 因为an=n·3n，所以Sn-Sn-1=n·3n，经配凑可得故解法1是我们常用的一种方法——错位相减法，

1000)例说常数数列法巧求两类数列的通项公式闫西宝(江苏省徐州市第七中学，221000)在数列问题中,求通项公式最常见的两种类型是：已知首项a1,且满足an+1=an+f(n)或者an+1=anf(n),其所用的方法是累加法和累乘法．在教学实践中,笔者发现解决这两类问题,和可用同一种简洁的方法,即构造常数数列法，下面举例说明．一、an+1=an+f(n)型对于此类型的数列,可设g(n+1)-g(n)=f(n),则有an+1-g(n+1)=an-g(n)

)次领头阶低能常数的改进*蒋绍周，蒋杰臣(广西大学物理学院，广西大学-国家天文台天体物理和空间科学研究中心，广西南宁530004)【目的】通过合适的处理，减少低能赝标介子手征微扰理论中出现的输入参数，得到符合实验的低能常数理论值，提高理论的预言性。【方法】将已有方法中出现的Schwinger-proper time方法引入的Λ趋于无穷，并通过在介子质量770 MeV处对领头阶的低能常数进行重整化。借助Schwinger-Dyson方程，得到所有的次领头阶

n（c，d，λ为常数且c≠0，1，λ≠0，1）、an+1=can+dn+λ（c，d，λ为常数且c≠0，1）的数列的通项问题，高考参考答案直接给出了变形构造的结果，却没有给出变形构造的方法及过程，看了仍不知其所以然， 笔者就此问题进行探究，进一步推广得到形如：an+1=Can+D·λn+An+B（A，B，C，D，λ为常数且C≠0，1，λ≠0，1）这一类数列的通项的求法，总结如下，以飨读者。1.形如an+1=can+d（c，d为常数且c≠0，1）的数列的通项公

B，C，D，λ为常数且C≠0，1，λ≠0，1）的数列通项公式的求法杨文庆徐晓燕 （宁夏石嘴山市光明中学）近年高考中常出现形如an+1=can+d·λn（c，d，λ为常数且c≠0，1，λ≠0，1）、an+1=can+dn+λ（c，d，λ为常数且c≠0，1）的数列的通项问题，高考参考答案直接给出了变形构造的结果，却没有给出变形构造的方法及过程，看了仍不知其所以然， 笔者就此问题进行探究，进一步推广得到形如：an+1=Can+D·λn+An+B（A，B，C，D，

据离子反应的平衡常数进行判断。本文介绍一种确定离子反应平衡常数的方法以及离子反应平衡常数与弱电解质的电离常数、水的离子积常数、盐类的水解常数、沉淀的溶度积常数等的关系，解决高中化学中常见复杂离子反应方向的判断问题，供高中化学教师、学生参考。endprint