关于GA凸函数Hermite-Hadamard型不等式的差值估计

时统业，董芳芳

(海军指挥学院，江苏 南京 211800)

0 引言和引理

定义1[1]设f是定义在区间I⊆(0，+∞)上的函数，如果对于任意x，y∈I和t∈(0，1)，有

f(xty1-t)≤tf(x)+(1-t)f(y)，

则称f是区间I上的GA凸函数。

文献[2-4]分别建立了[a，b]上的GA凸函数的Hermite-Hadamard型不等式(1)、(2)、(3)。

(1)

(2)

f(aλb1-λ)≤K≤λf(a)+(1-λ)f(b)，

(3)

其中，f是[a，b]上的GA凸函数，λ∈(0,1)，

文[5-7]研究了由式(1)右边不等式生成的差值的估计。文[8]建立了GA凸函数的Fejér型不等式

并研究了由此生成的差值的估计，在特殊情况下得到由式(2)生成的差值的估计。

借助GA凸函数与通常凸函数的关系，应用关于通常凸函数的已有结果可以得到关于GA凸函数的结果。例如，文[9]利用文[10]建立的凸函数的Hermite-Hadamard型不等式，给出了式(3)左边不等式生成的差值的估计：

0≤K-f(aλb1-λ)≤λ(1-λ)(lnb-lna)M，

(4)

其中λ∈(0,1)，f是[a，b]上的可微GA凸函数，

(5)

本文将主要研究由式(1)的左边和式(3)生成的差值的估计，这是前述工作的继续。

引理1 设0

|λf(p)+(1-λ)f(q)-f(pλq1-λ)|≤

λ(1-λ)(lnq-lnp)(Γ-γ)。

证明考虑函数g(s)=f(psq1-s)，对g(s)分别在[λ,1]和[0,λ]上使用微分中值定理，存在

ξ∈(λ,1)，η∈(0,λ)，使得

f(p)-f(pλq1-λ)=

(1-λ)(lnp-lnq)pξq1-ξf′(pξq1-ξ)，

f(q)-f(pλq1-λ)=

λ(lnq-lnp)pηq1-ηf′(pηq1-η)，

于是

λf(p)+(1-λ)f(q)-f(pλq1-λ)=

λ[f(p)-f(pλq1-λ)]+

(1-λ)[f(q)-f(pλq1-λ)]=

λ(1-λ)(lnq-lnp)×

[pηq1-ηf′(pηq1-η)-pξq1-ξf′(pξq1-ξ)]，

|λf(p)+(1-λ)f(q)-f(pλq1-λ)|=

λ(1-λ)(lnq-lnp)×

|pηq1-ηf′(pηq1-η)-pξq1-ξf′(pξq1-ξ)|≤

λ(1-λ)(lnq-lnp)(Γ-γ)。

|λf(p)+(1-λ)f(q)-

λf(px1-λ)-(1-λ)f(qx-λ)|≤

λ(1-λ)(Γ-γ)lnx。

证明类似于引理1的证明，这里略去。

1 主要结果

定理1 设f是[a，b]上的可微函数，且存在常数γ和Γ使得对于任意t∈[a,b]，有γ≤tf′(t)≤Γ，则有

(6)

证明由引理1得

即式(6)得证。

(7)

类似可证

故式(7)成立。

推论1 设f是[a，b]上的可微函数，且存在常数γ和Γ使得对于任意t∈[a,b]，有γ≤tf′(t)≤Γ，则有式(7)成立。

(8)

证明因为f是[a，b]上的GA凸函数，故对于任意x,y∈[a,b]，x≠y，有

根据定理2则式(8)的右边不等式得证。

即式(8)的左边不等式得证。

定理3 设f是[a，b]上的可微函数，且存在常数m和M使得对于任意x,y∈[a,b]，x≠y，有

则有

(9)

式(9)的右边不等式得证。类似可证式(9)的左边不等式。

推论3 设f是[a，b]上的二阶可微函数，且存在常数m和M使得对于任意x∈[a,b]有

m≤xf′(x)+x2f″(x)≤M，

则有式(8)成立。

推论4 设f是[a，b]上的二阶可微的GA凸函数，且存在常数M使得对于任意x∈[a,b]有xf′(x)+x2f″(x)≤M，则有

(10)

其中

故式(10)得证。

定理5 设f是[a，b]上的GA凸函数，则有

(11)

证明由GA凸函数定义，当x∈[a,I]时，有

类似地，当x∈[I,b]时，有

故有

(12)

证明K-f(aλb1-λ)=

类似可证

故式(12)得证。

定理7 设f是[a，b]上的可微函数，

(i) 若存在常数γ和Γ使得对于任意t∈[a,b]，有γ≤tf′(t)≤Γ，则对任意λ∈(0,1)，有

(ii) 若存在常数m和M使得对于任意x,y∈[a,b]，x≠y，有

则对任意λ∈(0,1)，有

证明(i) 可作为定理6的推论。也可用积分变量代换得

(1-λ)f(xλb1-λ)-f(aλb1-λ)

]dx，

利用引理1，有

|K-f(aλb1-λ)|≤

(1-λ)f(xλb1-λ)-f(aλb1-λ)

|dx≤

(ii) 由分部积分法得

类似可证

0≤K-f(aλb1-λ)≤

推论7 设f是[a，b]上的二阶可微的GA凸函数，且存在常数M使得对于任意x∈[a,b]有xf′(x)+x2f″(x)≤M，则对任意λ∈(0,1)，有

|λf(a)+(1-λ)f(b)-K|≤

(13)

证明λf(a)+(1-λ)f(b)-K=

类似可证

λf(a)+(1-λ)f(b)-K≥

故式(13)得证。

定理9 设f是[a，b]上的可微函数。

(i)若存在常数γ和Γ使得对于任意t∈[a,b]，γ≤tf′(t)≤Γ，则对任意λ∈(0,1)，有

|λf(a)+(1-λ)f(b)-K|≤

(ii)若存在常数m和M使得对于任意x,y∈[a,b]，x≠y，有

则对任意λ∈(0,1)，有

λf(a)+(1-λ)f(b)-K≤

证明(i)可作为定理8的推论。也可利用积分变量代换得

λf(a)+(1-λ)f(b)-K=

利用引理2，有

|λf(a)+(1-λ)f(b)-K|≤

(ii)由分部积分法得

λf(a)+(1-λ)f(b)-K=

类似可证

λf(a)+(1-λ)f(b)-K。

|λf(a)+(1-λ)f(b)-K|≤

λ(1-λ)(lnb-lna)M。

0≤λf(a)+(1-λ)f(b)-K≤

(14)

推论10 设f是[a，b]上的二阶可微的GA凸函数，且存在常数M使得对于任意x∈[a,b]有xf′(x)+x2f″(x)≤M，则对任意λ∈(0,1)，有

0≤λf(a)+(1-λ)f(b)-K≤

2 应用

例1 设f是[a，b]上的二阶可微函数，且存在常数M使得对于任意x∈[a,b]有xf′(x)+x2f″(x)≤M，则有

(15)

xg′(x)+x2g″(x)=M-xf′(x)-x2f″(x)≥0，

故g(x)是GA凸函数，应用定理5经简单计算整理则式(15)得证。

例2 设f是[a，b]上的二阶可微函数，且存在常数m使得对于任意x∈[a,b]有xf′(x)+x2f″(x)≥m，则有

(16)

xg′(x)+x2g″(x)=xf′(x)+x2f″(x)-m≥0，

故g(x)是GA凸函数，应用定理5经简单计算整理则式(16)得证。

例3 设f是[a，b]上的二阶可微函数，且存在常数m使得对于任意x∈[a,b]有xf′(x)+x2f″(x)≥m，则对任意λ∈(0,1)，有

λf(a)+(1-λ)f(b)-K≤

(17)

xg′(x)+x2g″(x)=xf′(x)+x2f″(x)-m≥0，

故g(x)是GA凸函数，应用推论8经简单计算整理则式(17)得证。

注2 当f是[a，b]上的二阶可微的GA凸函数，且存在正的常数m使得对于任意x∈[a,b]有xf′(x)+x2f″(x)≥m时，显然，式(16)是式(11)的加强，式(17)是式(14)的加强。