常数列不平常

黄书虹

非零常数列即是等差数列，又是等比数列，简单明了，但是常常被忽视。在一些数列的题目中，如果适当地利用构造常数列，可避免复杂的累加、累乘或迭代，使数列问题简单化。

利用常数列求通项公式

例1：已知数列满足，

， 求通项公式

解析：因式分解得：

方法一：（累乘法）

方法二：（构造常数列）

是常数列

本题中，两种方法难度差不多，计算量也差不多。

变式：已知数列满足， 求通项公式。

解析：

方法一：（累乘法）

方法二：（构造常数列）

两边都乘以n，得：

， 是常数列

本题中，累乘法在消项过程中，很容易出错；而利用构造常数列就显得比较容易，也有利于学生理解数列的前后项的关系。

例2：已知数列满足， 求通项公式。

解析：方法一：（累加法）

方法二：（构造常数列）

是常数列

例3：已知数列的前n项和满足， ，求通项公式。

方法一：当 时 ， ，

即

整理得： ，这里可以用累乘法来求通项公式。

方法二：当 时 ，

是常数列

得：

这题选择构造常数列，会显得比较容易，先求，再求。

利用常数列来求和（錯位相减法的另一种处理方法）

例5：，求前n项和。

解析：本题的通项形式，是等差数列与等比数列的乘积形式，显然考虑用错位相减法求和。

方法一：（错位相减法求和）

可得

但是，在上述解题过程中，等比数列求和部分，项数很容易出错，而且后面的化简也相对困难，学生很容易出错，花的时间多，准确率不高。因此，下面介绍另一种解法。

方法二：（构造常数列）

整理得： 解得：

是常数列

本题利用构造常数列，对学生指数运算的要求较高，但是相对于错位相减法计算明显简单不繁琐。

在实际的解题中，要根据实际情况来选择最佳方法（累加法、累乘法或构造常数列法），不能一味追求常数列来解题，有些题目运用累加法，累乘法会更简单，视情况进行甄别。其中蕴含的数学思想方法有，转化与化归的思想、方程的思想、待定系数法等，对数列的理解和解题有很大的帮助。