递推数列类型分析

周燕平

∴an=2n2+n2

一般地anan-1=g（n）型递推公式，可通过累乘求通项.

三、an=kan-1+b型

例3在数列{an}中，已知a1=1，an=2an-1+3 （n≥2） 求an.

解：设an+c=2（an-1+c），得c=3.

∴an+3是首项为4公比为2的等比数列.

∴an+3= 2n+1.

∴an=2n+1-3.

一般地，an=kan-1+b（k≠0且k≠1，b≠0）型递推公式，可通过待定系数法构造公比为k的等比数列求通项.

四、an=pan-1qan-1+r型

例4在数列{an}中，已知a1=1，an=an-12an-1+1 （n≥2） 求an.

解：两边取倒数得1an=1an-1+2.

∴1an 是以一为1首项2为公差的等差数列.

∴ 1an=2n-1.

∴ an=12n-1.

五、an=pan-1+qrn型

例5在数列{an}中，已知a1=1，an=2an-1+3n（n≥2），求an.

解：an2n=an-12n-1+（32）n.

记bn=an2n，则bn-bn-1=（32）n（n≥2）.

由累加法，得bn=3n-12n-4.

∴an=3n+1-2n+2.

一般地，an=pan-1+qrn型递推公式，可通过等式两边同除以pn或qn转化为类型一或类型三求通项，或用待定系数法构造等比数列an+krn=p（an-1+krn-1）求通项.

六、an=pan-1+qrn+r型

例6在数列an中，已知a1=2，an=2an-1+3n-1（n≥2），求an.

解：设an+p=2（an-1+p）+3n，得p=-1.

令bn=an-1.则bn=2bn-1+3n（n≥2）.

由例5得bn=3n+1-2n+2.

∴ an=3n+1-2n+2+1.

一般地，an=pan-1+qrn+r型可先转化an=pan-1+qrn型再求解.