鞅极大算子的一类四权弱型不等式

任颜波 张二鑫 王静

(河南科技大学数学与统计学院，洛阳，471023)

1 引言

Muckenhoupt[1]证明了Hardy-Littlewood极大函数的两权弱(p,p)型不等式成立当且仅当权满足Αp条件(1

在鞅论中, 与Hardy-Littlewood极大函数对应的是鞅Doob极大算子, 它们之间存在诸多类似的性质. 鞅极大算子的加权理论伴随着Hardy-Littlewood极大函数加权理论的发展而发展, 如今已成为鞅论的重要组成部分. 这里仅介绍与本文相关的部分工作. 1986年，龙瑞麟和彭立中研究了关于鞅极大算子的两权弱(p,q)型不等式, 得到其成立的充分必要条件[13]. 2003年, Kikuchi研究了鞅极大算子的两权弱(Φ,Φ)型不等式[9], 鞅极大算子的两权弱(Φ1,Φ2)型不等式分别在[10]和[11]中被研究. 最近, 任颜波研究了鞅极大算子的四权弱(Φ1,Φ2)型不等式, 得到其成立的一些充分必要条件[16].

本文进一步研究加权不等式

(1.1)

在本文中, 我们充分利用条件期望的性质和Young不等式, 给出加权不等式(1.1)成立的一些新的充要条件. 特别地，我们得到它对偶形式的加权不等式, 从而推广已有的相关结果.

全文由三部分组成. 在下一节中将给出本文所需要的一些基本知识. 在第三节中将给出主要结果以及它们的证明.

2 预备知识

(ii) 0

φ的右连续逆定义为ψ(t)=inf{s∈(0,∞):φ(s)≥t},t∈(0,∞). 称

为函数Φ的补函数. Ψ为N-函数当且仅当Φ为N-函数，它们满足Young不等式

st≤Φ(s)+Ψ(t).

若(Φ,Ψ)为一对互补的N-函数, 则有

(2.1)

有关鞅理论和Orlicz空间理论的更多详细知识, 读者可参考[16,17,20].

在本文中, 权意指几乎处处为正的可积随机变量. 我们分别用和表示非负整数的集合和整数的集合. 用C和C1等来表示正的常数, 允许在不同的地方取不同的值.

3 主要结果及证明

引理1设(Φ1,Ψ1)和(Φ2,Ψ2)是两对互补的N-函数,ωi(i=1,2,3,4)为权, 则以下三条等价:

(i)存在与f=(fn)n≥0∈M无关的常数C1>0, 使得

(3.1)

(ii)存在与f=(fn)n≥0∈M无关的常数C2>0, 使得

(iii)存在与f=(fn)n≥0∈M无关的常数C3>0, 使得

证明下面证明(i)⟹(ii)⟹(iii)⟹(i).

(i)⟹(ii). 设(fn)n≥0∈M. 对于任意的A∈Fn和λ∈(0,∞), 由(3.1)式有

其中上式中的χ(A)表示集合A的特征函数, 从而有

对于任意的k∈, 令Bk={2k<|fn|≤2k+1}⊆{2k<|fn|}, 则对于任意的B∈Fn, 有

从而有

(ii)⟹(iii). 显然.

(iii)⟹(i). 对λ∈(0,∞), 定义τ=inf{n∈:|fn|>λ}∈T, infØ=∞. 则{τ<∞}={f*>λ}， 且在{τ<∞}上有|fτ|>λ. 由(iii)可以得到

≤C3

引理证毕.

引理2设A为F的一个子σ-代数, (Φ1,Ψ1)和(Φ2,Ψ2)是两对互补的N-函数,ωi(i=1,2,3,4)为权, 则以下两条等价:

(i)存在常数C>0, 对任意正的随机变量x, 有

(3.2)

(ii)存在常数C1>0, 对任意正的随机变量x, 有

(3.3)

证明(i)⟹(ii). 对任意k∈， 令由Young不等式, (3.2)式和(2.1)式, 得

再令k→∞， 便可得到(3.3).

(ii)⟹(i)与(i)⟹(ii)类似, 这里不再赘述.

引理证毕.

引理3[16]设(Φ1,Ψ1)和(Φ2,Ψ2)是两对互补的N-函数,ωi(i=1,2,3,4)为权, 则以下诸条等价:

(i)存在与f=(fn)n≥0∈M无关的常数C1>0, 使得

(ii)存在与f=(fn)n≥0∈M无关的常数C2>0, 使得

(Φ1(|fn|ω1)ω2|Fn)≤C2(Φ2(C2|f∞|ω3)ω4|Fn)a.e. ∀n∈；

(iii)存在与f=(fn)n≥0∈M无关的常数C3>0, 使得

(Φ1(|fτ|ω1)ω2|Fτ)≤C3(Φ2(C3|f∞|ω3)ω4|Fτ)a.e. ∀τ∈T；

(iv)存在常数C4>0和ε>0, 使得对任意正的Fn-可测的随机变量λ, 有

(v)存在常数C5>0和ε1>0, 使得对任意正的Fn-可测的随机变量λ, 有

∀n∈.

由引理1-3, 我们可得到如下定理:

定理1设(Φ1,Ψ1)和(Φ2,Ψ2)是两对互补的N-函数,ωi(i=1,2,3,4)为权, 则以下诸条等价:

(i)存在与f=(fn)n≥0∈M无关的常数C1>0, 使得

(ii) 存在与f=(fn)n≥0∈M无关的常数C2>0, 使得

(iii)存在与f=(fn)n≥0∈M无关的常数C3>0, 使得

(iv)存在与f=(fn)n≥0∈M无关的常数C4>0, 使得

(v)存在与f=(fn)n≥0∈M无关的常数C5>0, 使得

(Φ1(|fn|ω1)ω2|Fn)≤C5(Φ2(C5|f∞|ω3)ω4|Fn)a.e. ∀n∈；

(vi)存在与f=(fn)n≥0∈无关的常数C6>0, 使得

(Φ1(|fτ|ω1)ω2|Fτ)≤C6(Φ2(C6|f∞|ω3)ω4|Fτ)a.e. ∀τ∈T；

(vii)存在常数C7>0和ε>0, 使得对任意正的Fn-可测的随机变量λ, 有

(viii)存在常数C8>0和ε1>0, 使得对任意正的Fn-可测的随机变量λ, 有

∀n∈.