例析在解题教学中培养学生发散性思维的策略

卢红兰

[摘  要] 在解题教学中，教师不仅要关注到学生解题能力的培养，还需注重培养学生发散性思维，这应成为解题教学的主旨. 文章结合多个例题，探索了一题多解、一题多变和数形结合等培养学生发散思维的教学策略，努力使培养学生思维品质从理念走向行动.

[关键词] 解题教学;一题多解;一题多变;数形结合;发散性思维

新课改风向标下，数学课堂教学发生了翻天覆地的变化，不少传统教学模式受到了多重诟病，尤其是教师将解题探究方法与过程直接传递给学生的解题教学. 事实上，解题活动是具有创造性教学价值的一项课程资源，学生在问题探究的过程中，往往可以生成直观的体验，提高发散思维能力. 问题是，教师只有通过创新解题教学的设计途径，才能实现培养学生思维发散性的教学目标.

■发散性思维培养的意义

美国心理学家吉尔福特曾说：“正是在发散思维中，我们看到了创造思维最明显的标志.”据他的观点而言，发散性思维是一种想象、推测、发散和创造的思维过程，具有积极性、变通性、独特性和流畅性的特征. 素质教育的终极目标在于培养创新性人才，而创新性人才需善于多向思维，因此，我们需要重视学生发散性思维的培养，找寻到培养发散性思维的有效途径，并将这一培养任务贯穿于教学的始终，有目的、有意识地应用各种方法加以训练.

■发散思维培养的策略

1. 一题多解

一题多解是一种以丰富而扎实的基础知识为依托，多方向寻求解答路径，并通过多种解法优劣性的比较，来提升解题速度与质量的一种思维方法. 它可以有效提升学生对数学知识的认知，强化学生对数学知识的探究能力，进而加强学习内在驱动力，提升学生的数学探究能力和发散思维能力. 正因为一题多解多种效能，从而一直被普遍认为是拓展思维空间，发展智力，激发发散思维的有效途径.

例1：已知实数x，y满足x2+y2=3，则■的最大值是______，最小值是______.

分析：这道题是求解最值的问题，该如何构造思路呢？首先想到通过常规思路去利用不等式和配方法解题，但此处显然是不适用的. 要求学生深入题目内部分析，学生经过思考后将其视为一个代数问题搭建解题思路. 首先，令z=■，则此处即为求z的最值问题，进一步地，利用上式求得用x，z表示y的式子，再代入方程x2+y2=3，得出一个关于x的一元二次方程，最后利用判别式法去求解. 具体解题过程如下：

解法1：判别式法

令z=■，则有y=z（x-2），代入x2+y2=3，可得x2+[z（x-2）]2=3. 整理后，可得（z2+1）x2-4z2x+4z2-3=0. 又x∈R，所以Δ=16z4-4（z2+1）（4z2-3）=-4z2+12≥0，解得 -■≤z≤■，所以z■=-■，z■=■，此时x=■，y=■或x=■，y= -■.

问题解决到此处，可以结束了吗？若此时结束，自然无法将学生的思维引向深入，于是笔者抛出问题：“除了判别式法，本题可有其他解法？”学生自然而然地展开思考，但依然无果. 笔者进一步点拨：“数形结合思想是我们解决问题的重要思想方法，倘若从几何知识出发，是否能找到其他解决方法？”就这样，学生凭借教师的提示很快找寻到解决问题的思路，并得出以下解法.

解法2：几何法

如图1，■可理解为点P（2，0）与圆x2+y2=3上的一点M（x，y）的连线斜率. 观察图形不难得出，当PM与PM′为圆x2+y2=3的切线时，z=■可取得最值，易得k■=-■，k■=■，所以z■=■，z■=-■.

至此，问题已经基本解决，此题的“庐山真面目”也尽显眼前. 而此时一名学生提出本题还可以运用三角函数作答的想法，筆者立刻回应：“很有创意的思路！能具体说一说吗？”学生很快呈现以下解题过程.

解法3：三角代换法

设x=■cosα，y=■sinα，则z=■.

化简整理后，可得■sinα-z■·cosα=-2z，所以sin（α-β）=■，其中cosβ=■，sinβ=■.

又因为方程■sinα-z■cosα= -2z有解，所以■≤1，所以z2≤3，可得-■≤z≤■，所以z■=■，z■=-■.

在以上问题的解答中，逻辑思维贯穿其中，形象思维和抽象思维相互交融，数形结合的思想方法成为主角，这些都是学生思维发散的体现. 因此，在教学中唯有教师将一题多解作为发散点，让学生大胆猜想、勇于创新，将发散性思维运用到解题教学中去，才能以此来锻炼和培养学生思维的发散性.

2. 一题多变

“题海战术”在解题教学中只能起到单向性引导的作用，而高效合理的解题教学应当是“少而精”的教学形式. 采用“一题多变”的方式进行解题教学，就是变换已知条件中的部分问题，去求解问题的结果;或是变化题目中的部分条件，同样去求解问题的结果;又或是加深题目难度或背景，训练学生发散思维能力. 采用变式教学的方式，让学生多角度、多背景、多层次、多方位进行求解或研究，领悟命题人的意图，从而生成深刻的理解和认识，同时达到培养观察、归纳、想象、运算和反思等多种关键性能力的目的，更好地培养学生的发散性思维和解题能力.

例2：已知函数f（x）=■，若对于任意x∈[1，+∞），f（x）>0恒成立，则实数a的取值范围为______.

分析：本题是以函数为载体，以参数范围的求解为思路，渗透转化思想的问题. 深入分析，将区间[1，+∞）上的f（x）=■的恒成立问题转化为x2+2x+a>0恒成立的问题，进一步地，再转化成a>-x2-2x恒成立的问题，最终转变成求y=-x2-2x在区间[1，+∞）的最大值问题.

当学生深入分析并找寻到解题路径与方法后，教师抛出以下问题：请大家试着将以上题目变一变并解答. 此时，学生的兴趣自然而来，展开了火热的讨论，视野和思维逐步打开了，在对以上问题实行“再创造”的过程中，逐步看到了这一类题的“全貌”，生成多样性的变式问题.

变式1：请试着作出函数f（x）=■的图像;

变式2：试求出函数f（x）=■的单调递增区间;

变式3：试求出函数f（x）=log■■的单调递增区间;

变式4：设函数f（x）=■的反函数图像的对称中心为（-1，3），试求出实数a的值;

变式5：已知函数f（x）=■的图像关于y=x对称，试求出实数a的值;

变式6：设（a，b）和（c，d）均为函数f（x）的单调区间，x■，x■∈（a，b）∪（c，d）且x■

A.  f（x■）>f（x■） B. f（x■）

C. f（x■）=f（x■）  D. 无法确定

变式7：讨论并说一说函数f（x）=■（a≠■）在（-2，+∞）上的单调性.

通过这一例题的拓展和延伸，不仅使得学生对函数最值问题的解析方法有了更进一步的明确，同时也培养了学生的探究和钻研精神. 不能“教”学生创造性地解题，就不可能“教”给学生思维，更不可能“教”给学生能力. 其实，以变式教学引领学生一次又一次地“再创造”的过程就是经历一个又一个思维创造的过程，就是发散学生思维的过程.

3. 数形结合

数形结合是重要的数学思想之一，也是数学教学中的一种重要方法. 倘若在解题教学中合理运用数形结合，一方面可以与学生的认知规律相切合，激发探究兴趣，提升解题能力;另一方面可以让学生积极思考，启发多向思维，培养发散性思维能力. 因此，教师需鼓励学生多用数形结合的方法去解题，以“神”换“形”，以“形”索“神”，使学生的思维得到充分发散.

例3：已知集合A={（x，y）y≥■x-2}，B={（x，y）y≤-x+b}，A∩B≠■ .

（1）試求出b的取值范围;

（2）若（x，y）∈A∩B，x+2y的最大值是9，试求出b的值.

画出图2后，易生成以下解题思路.

解析：（1）如图2所示，函数y=■x-2和y=-x+b的图像为两条射线，观察图2易得b∈[1，+∞）.

（2）当b≥1时，A∩B≠■，据线性规划的有关知识，可得b=■.

上例中通过形的参与，让本题的解析过程简捷而完善. 由此可见数形结合是开启解题宝库的金钥匙. 因此，在解题中，教师需无时无刻地渗透数形结合的思想，为解题穿上华丽的外衣，优化学生的思维品质.

总而言之，作为高中数学教师，我们不仅要让学生掌握多种解题策略，更重要的是通过解题让学生掌握灵活多变的解题思维，并借助一题多解、一题多变和数形结合等教学策略，优化学生思维品质，激活学生创新意识，深化学生发散性思维.