基于多元表征的数学概念课教学设计——以函数的奇偶性教学设计为例

江苏省江阴市山观高级中学 (214437) 孙 彬

数学概念课是数学课型中一种常见的课型，是体现教师教学基本功的良好素材，更是培养学生数学抽象能力的重要平台.概念是思维的单元和细胞，由概念组成命题，命题形成判断，数学方法和数学思想是数学知识在更高层次上的抽象和概括.也正是如此，概念教学是数学教学中一项十分重要的内容.对于教师来说，提升概念教学水平，最切实的是选取学生熟悉的典型实例，提供丰富的学习素材，引导学生在活动体验中熟悉数学抽象的过程，而这正与多元表征的教学理念契合.多元表征概念的“心理表征”(mentalrepresentation)，也称“内在表征”(internalrepresentation)早已获得了数学学习心理学家的高度关注，这方面的研究工作经历了由“外”到“内”、由“一”到“多”、由主要集中于“了解学生”到“努力促进学生的发展”的重要转变.本文以苏教版第二章函数的奇偶性这节课为例，从表征的符号差异、思维的发展水平、表征在学习中的交流认知作用、数学教学、数学表征的抽象水平出发，谈谈多元表征在教学设计中的应用.这里说明一下，根据函数概念形成从一般到具体、具体到抽象的发展过程，从数学概念教学的角度，本文将函数概念的多种表征形式分为一般表征，具体表征和抽象表征.一般表征主要是有丰富现实背景的情境表征，具体表征包括图像表征、列表表征、解析表征，抽象表征包括函数概念的书面语言表征(定义)、符号表征.因此对多元表征的研究主要是基于名词意义上的多元外在表征，即对数学概念的多种外在表征形式进行运用.

一、创设情境、激发兴趣

(情境表征)情境：请同学们观看葡萄酒杯和风车折纸的纵截面图片(图1)，感受酒杯和折纸艺术的对称美.

师：这种对称美在我们数学学习中，也有所体现，你能说说这两张图片分别对应我们数学中学过的哪两种对称关系吗？

生：葡萄酒杯是轴对称，风车是中心对称.

师补充：不错，葡萄酒杯的纵截面是一个轴对称图形，风车折纸的纵截面是一个中心对称图形.

图1

师追问：那么我们学过的哪些函数图像也具有类似的对称性呢？请大家举例.

生：老师，还有函数f(x)=|x|的图像关于y轴对称，函数函数f(x)=x的图像关于原点对称.

设计意图：《普通高中数学课程标准(2017年版)》中指出：“基于核心素养的教学，要特别重视情境的创设和问题的提出.核心素养是在特定情境中表现出来的知识、能力和态度，只有通过合适的情境才有利于学生感悟和形成.”如此采用生活中的实例进行教学设计不仅增加了教师与学生的距离感，还激发了学生对知识的探求欲.通过视觉化的冲击和若干问题将函数奇偶性的情境表征、和图形表征融入教学设计，启发学生观察和思考，为后续学生抽象出函数奇偶性的概念提供感性材料.

二、引导探究、建构概念

师：同学们，你知道如何用数量关系来刻画投影上面这两个函数图像的对称关系吗？

生沉默……

(列表表征)师：我们先来做一个数学实验，请大家观察函数y=x2的图像，并完成下面的函数值表.

x-3-2-10123y=x2

(解析表征)师：同学们能否从函数值对应表中观察自变量和函数值有什么特点？

生：f(-3)=9=f(3)，f(-2)=4=f(2)，

f(-1)=1=f(1).

(语言表征)师：同学们能尝试用数学语言来描述上述表格中的这种对称特征吗？

生：在表中，我发现互为相反数的两个实数的函数值相等.

师追问：对其它任意一组相反数，它们的函数值也具有这样的关系吗？

生：是的，对任意一组相反数，它们的函数值也相等.

师：同学们能否用数学符号语言来描述这种现象？

(符号表征)沉默一会之后，生：对每一个实数x，f(-x)=x2=f(x).

师微笑，并补充：很好，实际上，对于函数f(x)=x2定义域R内任意一个x，f(-x)=x2=f(x).这时，我们就称函数f(x)=x2是定义域R上的偶函数.(教师板书本节课课题：函数的奇偶性)

设计意图:在这个教学设计环节中，预设了多个数学问题，循序渐进地引导学生进行自主探究，并结合多种表征方式不断加深学生对函数奇偶性概念内涵的理解.李冬梅，刘瑶等人在《基于多元表征理论的数学教学设计》一文中提到了具体表征与定义表征之间的关系(如图2).通过这张图表，我们可以看出多元表征理论更加强调概念表征不同方面的相互渗透与必要互补，这也帮助学生更好地理解函数奇偶性的内涵.正如课程标准中所说，提升学生数学素养的最终目标是引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.

图2

三、揭示本质、深化概念

学生议论纷纷……

生：我觉得它不是偶函数，因为定义域里面没有-3.

师反问：为什么定义域里面没有-3它就不是偶函数？

生：哦，我知道了，因为刚才的偶函数定义里面要满足定义域中任意一个实数x，都有f(-x)=f(x)，理应有f(3)=f(-3)，但是定义域里面没有-3，不符合偶函数定义，所以它不是偶函数.

教师投以赞许的目光：很好，你发现了特殊的数不符合定义，也就是说在我们在研究数学问题的过程中，可以利用特殊法进行否定.

(图像表征)生举手：老师，我画了一张图，很快就发现了它不是偶函数.

实物投影展示草图……

师惊喜：那你来说说你是怎么想的？

生：我发现偶函数图像关于y轴对称，奇函数图像关于原点对称，所以y轴左右两边的图像应该一样长.

师疑问：一样长？你能用数学语言来描述吗？

生思考，下面的学生也展开了讨论……，教师提示可以从刚才的数学实验列表得到信息.

生得到帮助后继续回答：我发现奇函数和偶函数的定义域要关于原点对称.

教师给予赞许，并带领全班同学热烈鼓掌.

师：很好，刚刚两位同学分别利用特殊值和函数图像发现函数f(x)=|x|，x∈[-2,3]不是偶函数，这充分说明我们在研究函数的奇偶性时首先应该观察定义域是否关于原点对称，另外，大家刚刚也发现了偶函数图像关于y轴对称，奇函数图像必须关于原点对称，所以我们把这节课的研究成果总结如下：

(1)定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A，都有f(-x)=f(x)，那么称函数y=f(x)是偶函数;如果对于任意的x∈A，都有f(-x)=-f(x)，那么称函数y=f(x)是奇函数.

(2)性质：偶函数图像必须关于y轴对称，奇函数图像必须关于原点对称.

图3

设计意图：多元表征理论指出：概念教学时，应以“理解数学，理解学生，理解教学”作为教学设计的基本点，把握数学表征能力的四个层次：复现式的表征能力、转述式的表征能力、分析式的表征能力和概括式的表征能力，有计划，有目的地进行问题表征的训练活动，发展学生直觉思维能力和数学语言转换能力，从而深化学生数学概念表征能力的培养.美国学者莱许等就曾借助图3说明数学概念的发展过程：“实物操作只是数学概念发展的一个方面，其他的表述方式——如图像，书面语言、符号语言、现实情景等——同样也发挥了十分重要的作用.”这就给我们教学者一个极大的启示：教学中不应唯一地强调这几种表征中的某一方面，而应重视这几个方面之间的联结，并应帮助学生逐渐地学会能够依据实际的问题情境在这些成分之间灵活地转换.

四、学以致用、巩固概念

例1 判断下列函数是否为偶函数或奇函数：

图4

例2 已知函数y=f(x)在y轴右边的图像如图4所示.

(1)若y=f(x)是偶函数，试画出函数y=f(x)在y轴左边的图像;

(2)若y=f(x)是奇函数，试画出函数y=f(x)在y轴左边的图像.

设计意图：学习金字塔理论也告诉我们：保持学习效果的最佳方式是：“做中学或马上运用”，可见教师在课堂上安排一定的习题训练是非常必要的，有利于教师评价学生的学习状况，形成教学反馈，从而帮助教师为后续教学安排提供参考.另外，解题也是巩固知识、熟练技能、训练思维、发展技能、优化心理和磨砺意志的需要，更是发展学生的应用意识和数学素养的需要.例1的第(2)问学生容易忽视定义域关于原点对称的验证，教师应该把握好这个教学契机，帮助学生准确理解函数奇偶性定义的内涵.例2的两问主要考察学生是否能准确把握奇函数和偶函数图像的性质，教学时仍然可以引导学生抓住图像的关键点解决问题.

五、总结反思、能力提升

师：通过今天的学习，你对函数的奇偶性有了什么认识？我们是通过什么方法得到函数奇偶性概念的？本节课我们用到了哪些数学技能？如果现在给你一个函数，你可以从哪些角度进行研究？(单调性、奇偶性)……引导学生完成下面的知识网络结构图(图5).

图5

设计意图：本节课虽然只是一节概念课，但是仍然值得我们思考应该如何指导学生在新情境中获得研究问题的方法，让学生明白虽然在今后的生活中不一定会使用数学课上所讲到的数学知识，但是研究数学问题的方法以及最终解决问题的思维方式一定会影响到今后的学习和生活.于是设计课堂小结环节是帮助学生对自我认知的评价过程，也是学生展示其学习能力和学习成果的舞台.设计采用思维导图的方式便于让学生在课堂总结的过程中从多个角度进行总结，也方便让学生能够进一步理解函数奇偶性概念的内涵和外延.

本节概念课的教学设计从实际生活引入数学情境，按照由一般到特殊的研究思路，教学时充分地运用了图像表征、列表表征、解析表征、语言表征(定义)和符号表征等多种手段引导学生自主探究和小组合作得到结论，达到了预设的教学效果.值得一提的是，虽然概念课教学非常适合使用多元表征理论进行教学设计，但是根据广西师范大学唐剑岚教授的研究发现：教学设计方式对概念运用的影响没有显著差异，而对概念理解的影响存在非常显著的差异.这或许也正是某些教师感觉花了心思精心设计但总是感觉即时的教学效果不明显的主要原因，当然也不排除有其它原因的存在.不过值得肯定的是，根据唐剑岚教授的研究数据，从长远来看，只要我们教师能够长期坚持下去，不仅可以提高自己的课堂教学水平，还可以提升学生的数学专业素养，从而真正落实新课标提倡的立德树人的根本教育任务.