关于复数域上某型多项式不等式的Newman猜测

吴牮

【摘要】对某种代数多项式，在n很大时得到其积分平均值的一个上界估计，从而部分地解答了D.J.Newman的一个相关猜测.

【关键词】代数多项式;积分平均值;不等式

D.J.Newman在[1]中曾给出一个涉及复平面上多项式的不等式，设多项式P（z）=zn±zn-1±…±1，其中z=eiθ，n>0，则有不等式

12π∫2π0|P（eiθ）|dθ

随后Newman指出：“要证明n很大时，

12π∫2π0|P（eiθ）|dθ

需要寻找一种全新的途径，甚至可以猜测

12π∫2π0|P（eiθ）|dθ

但我们离此结果尚远.”

以下给出上述Newman猜测（3）的部分解答.

定理 对多项式P（z）=∑nk=0zk，当n→∞时，有

12π∫2π0|P（eiθ）|dθ

其中C=2e<0.735 758+.

为得到定理的证明，先给出几个命题.

命题1[2] 对a>0，x>0，则

logx≤aeax.（5）

等号当且仅当a=1，x=e时成立.

命题2[2] 当θ∈（0，π2）时，不等式

θ>sinθ≥2πθ成立.（6）

命题3 当θ∈[π2，π]时，不等式

sinθ≥-2πθ+2成立.（7）

等式当θ=π2或θ=π时成立.

命题2即周知的Jordan不等式.命题3的结论是显明的，令F（θ）=sinθ+2πθ-2，显然F″（θ）<0在π2，π中恒成立，又因为Fπ2=F（π）=0，故F（θ）≥0在闭区间π2，π上成立，由此（7）式成立.

[定理的证明]

由已知，z=cosθ+isinθ，则

|P（eiθ）|=1+∑nk=1coskθ+i∑nk=1sinkθ

=1+sinnθ2cosn+12θsinθ2+isinnθ2sinn+12θsinθ2

=1+sinnθ2cosn+12θsinθ22+sinnθ2sinn+12θsinθ2212

=sin（n+1）θ2sinθ2.（8）

另设I=12π∫2π0|P（eiθ）|dθ

=12π∫2π01+∑nk=1coskθ2+∑nk=1sinkθ212dθ

=1+n2π∫2π01+ψ（sinθ，cosθ）1+n12dθ

=σ1+n.（9）

由（8）式及命题2、命题3可得

2πI≤∫2π0dθsinθ2=∫π202dαsinα+∫ππ22dαsinα

<∫π21πdαα+∫10πdαα+∫ππ22dα-πα2+2

=∫π21πdαα+2π∫10dXX

=πlogπ2+2πlog1X+ο（1），X→0.（10）

由（10）式及命题1得

I<12logπ2+2e1X+ο（1），X→0.（11）

由（9）（11）式，當n→∞时，有

σ<2e1X（1+n）=2e<0.735 758+.

[证毕]

值得注意的是，如令F（a）=aeax，则F（a）关于a为减函数，当x→∞时，对有限的a，logx≤aeax<2ex成立，在这种意义下，基于上述定理的证明实际上还可以得到更强的结论

12π∫2π0|P（eiθ）|dθ

其中K<∞，a>2.

【参考文献】

[1]D J Newman.Norm of polynomials[J].Amer.Math.Monthly，1960（3）：778-779.

[2]D S Mitrinovic，P M Vasic.分析不等式[M].赵汉宾，译.南宁：广西人民出版社，1986.

[3]潘承洞，于秀源.阶的估计[M].济南：山东科学技术出版社，1983.