利用拉普拉斯定理计算行列式

马佳奇

【摘要】拉普拉斯定理是行列式按行按列展开定理的推广，可用于简洁快速地解决某些高阶行列式的计算和证明.本文首先介绍了拉普拉斯定理的内容，然后介绍了拉普拉斯定理在证明分块矩阵乘法方面的应用，最后利用拉普拉斯定理计算某些高阶的行列式.

【关键词】行列式;拉普拉斯;子式;代数余子式

高等代数在行列式这一章中介绍了行列式按行（列）展开定理和拉普拉斯定理，前者每次展开只能降低一阶，对计算某些高阶行列式而言使用效果不佳;而拉普拉斯定理降阶速度快，对计算某些高阶行列式来说十分方便，所以为了推广这种方法，本文归纳了拉普拉斯定理，并给出了该定理在行列式计算中的应用.

一、拉普拉斯定理

（一）拉普拉斯定理

定理1[1] 设在行列式D中任意取定了k（1≤k≤n-1）行，由这k行元素所组成的一切k级子式为M1，M2，…，Mt（t=Ckn），它所对应的代数余子式为A1，A2，…，Ai，则D=M1A1+M2A2+…+MtAi=∑ti=1MiAi.

（二）拉普拉斯定理求行列式的两个重要结论

定理2[2] （1）m+n阶行列式

Am×m0Bn×mCn×n=|An×m||Cn×n|;

（2）m+n阶行列式

0Am×mCn×nBn×m=（-1）mn|Am×m||Cn×n|.

（二）拉普拉斯定理的应用

1.利用拉普拉斯定理证明相关命题

定理3[3] 设A，B是n阶方阵，则|AB|=|A||B|.

定理4 A10000A200000000As=|A1||A2|…|As|，其中Ai是ni阶方阵，i=1，2，…，s.

定理4由定理2易得.

2.利用拉普拉斯定理計算行列式

例1 计算行列式D=a00b0cd00ef0g00h.

解 由于D的第一、四行中只有一个2阶子式不为零，因此，取这两行，然后根据拉普拉斯定理展开得

D=abgh（-1）（1+4）+（1+4）cdef=acfh-adeh+bedg-bcgh.

例2 设A=34004-30000200022，求|A8|及A4.

解 若记AA100A2，其中A1=344-3，A2=2022，则A成为一个分块对角矩阵.于是

|A8|=|A|8=（|A1||A2|）8=|A1|8|A2|8=1016;

A4=A4100A42.

因为，A21=250025，所以A41=54E;A2=21041.代入即得

A4=540000540000240002624 .

三、结束语

利用拉普拉斯定理对某些高阶行列式计算和证明，可以对高阶行列式更快地降阶，并且简单易操作，因而，学习者应重视拉普拉斯定理的学习应用.

【参考文献】

[1]王文省.高等代数[M].济南：山东大学出版社，2004.

[2]朱亚茹，牛泽钊.谈拉普拉斯定理及其应用[J].科技信息，2009（31）：498-499.

[3]蓝以中.高等代数学习指南[M].北京：北京大学出版社，2008.

[4]肖马成，周概容.线性代数、概率论与数理统计证明题500例解析[M].北京：高等教育出版社，2008.