初中生数学运算错误资源有效利用的研究

徐益峰

[摘  要] 敏锐地发现学生的错，并使之变成错误资源而加以利用，是数学教师的基本功. 教师要有动态生成的意识，发现同一个错误症状背后的不同原因，可以使错误资源的利用价值发挥得更加充分.

[关键词] 初中生;数学运算;错误资源;有效利用

错误是资源，这一点已经是初中数学教学界公认的认识了. 从错误中汲取智慧，原本也是“失败乃成功之母”的内在意义，这一理解就算放到核心素养的背景下，仍然是具有生命力的. 核心素养强调培养学生的“关键能力”，那么什么是关键能力呢？笔者以为发现错误，从资源利用的角度认识并研究错误，就是一种能力. 学生在终身发展与社会发展中，不出错误是不可能的，出了错误之后如何生成新的认识，这是关键的，而这显然需要关键能力作为支撑. 从这个角度讲，在初中数学教学中发现并利用错误资源，就是一个重要的教学方向. 文章以初中数学中的数学运算为例，谈谈笔者的一些看法.

数学运算中的错误资源的利用价值

错误对于每个人来说都是无法避免的，在初中数学教学过程中，学生同样会出现各种各样的错误，但我们要意识到错误并不是毫无价值的，它们同样可以当作一种错误资源运用到数学教学当中[1]. 如同上面所说，学生在数学学习中出现错误是正常的，而数学运算，作为学生在数学学习过程中经历时间最长的学习环节，更加容易出现错误，那么这些错误如何变成错误资源并加以利用呢？这里可能要思考两个关键问题.

第一个问题：数学运算中的错误如何变成错误资源？

错误并不是天然资源，因而并不是所有的错误都具有利用价值. 要将错误变成错误资源，前提是教师要能够发现学生在数学运算中出现的错误具有资源价值. 比如说，在初中数学乘法公式的运用中，对于基本的乘法公式，如平方差公式或者完全平方公式，学生容易出现的错误有哪些呢？实践表明有这样几种：一是学生对乘法公式本身的记忆有困难，容易出错，如将完全平方公式中的2ab遗忘了，或者将前面的符号搞反了等. 这种错误虽然不常见，但是却能反映初中生在学习数学的时候，遇到的一个基本问题，那就是这些学生在面对用符号表示公式时，思维“加工厂”容易出现困难. 事实上，这也是学困生转化的一个重要内容，从某种程度上讲，它就是一个面向学困生的错误资源. 当然还有更为广泛的，比如幂的运算性质，好多学生在记忆aman=am+n的时候，容易将这个式子记成aman=amn. 在面对学生的这些错误的时候，也要认识到，其实可以将其转化为错误资源，因为这种错误的背后反映的是学生的认知习惯——“两个幂相乘被误认为幂本身相乘”，之所以在这里加上括号，就是因为笔者在教学中发现，一旦学生能够做出这样的表述时，他们实际上就发现了自己的错误，矫正起来就比较容易了.

第二个问题：数学运算中的错误资源如何得到有效利用？

所谓错误资源的利用，实际上就是通过对错误资源的分析与理解，发现自己学习中的缺陷，并且能够有效地弥补缺陷，从而在数学概念或者规律的理解上，在解题方法的理解上，变得更完善一些. 最终体现为学生在表述数学概念或者规律的时候，数学语言的运用比较流畅;在解决数学问题的时候，方法的选择与使用不容易出岔.

错误资源得到有效利用的本质，包括三个环节：发现错误，改正错误，正确运用. 通常情况下，学生之所以能够发现自己的错误，往往是在教师的评价中完成的，最直接的就是给学生一个叉，他们自然就会发现有错误. 但是发现有错误，并不意味着学生已经知道错在哪里，因此还要引导学生进行分析. 比如上面所指的幂的运算性质的例子，一个很有效的方法是：用具体的数据代入公式，让学生发现等号的左右两边并不相等. 而这个发现其实意味着学生的认知失衡，他们自然会寻找原因，从而改正错误. 但要在学生改正错误之后，再给学生一个变式训练，他们才能完成正确的求解过程.

这样的教学过程中，教师所起的只是隐性的引导作用，错误变成错误资源，并且得到有效的利用，都是在学生的自主探究的过程中完成的，学生在正确的建构数学知识的同时，实际上也在逐步地掌握数学学习方法，因而价值是多元的.

利用错误资源须有动态生成意识

需要指出的是，在初中数学运算过程中的错误资源利用，教师要有显性的动态生成意识. 什么意思呢？很简单，那就是教师不要抱着一成不变的思路去看待学生在数学运算过程中出现的错误，否则就是一种刻舟求剑的思想，当同一个错误的背后学生的思路已经发生变化时，教师不能抱着原来的纠正错误的思路去进行教学. 从这个角度来讲，用动态生成的观点看待学生数学学习中出现的错误，并将其转化为有用的课程和教学资源，可以使学生的错误认知成为生成新知、增进学习、发挥潜能的有效资源[2].

笔者在观察学生的数学运算时，有一个纵向积累的经验，也就是在每一届的教学过程中，笔者都会教学生把数学运算过程中出现的错误以及原因进行分类归档，其中有一个重要的发现，下面仍然通过幂的运算性质来说明.

同样一个错误aman=amn，除了上面提到的原因之外，还陆陆续续发现学生有这样的原因：

错误原因分析一：笔（失）误. 好多人都认为笔误不是错误，因为笔误只是学生在会的情况下写错了而已. 事实真是如此吗？笔者通过研究发现，事实并非如此. 同一个错误，在进行了一两次矫正之后，他们还会犯第三次. 问他们原因的时候，他们都说是笔误，或者说是失误. 一个共同的特点是，这个错误一旦只是轻轻地指出来，他们就会有一种恍然大悟、自责的感觉. 但是他们自己都奇怪：为什么会一而再，再而三地犯同樣一个错误呢？这实际上就是在数学运算错误中发掘原因并进行有效利用的过程，而利用的结果是：由于第一次出错的印象太深刻，以至于在学生的大脑中已经形成了根深蒂固的习惯，这个习惯在不注意、有意克制的情况下，就会变成错误显现出来.

错误原因分析二：心是手非. 其症状是心里想的与手里写的不一样，这在数学运算当中经常出现. 比如在做数学选择题的时候，经常出现心里想的“C”而手上写着“D”的情形. 在数学运算中，也会出现上面所举的例子的那种症状. 那么如果学生是这样一种错误原因，在矫正的时候就要选用另一种策略. 比如平常在学生进行数学运算的时候，可以让他们在不影响周围同学的情形下，嘴巴里面有声地说出自己所写的内容：事实证明，这是一种很好的矫正策略.

同样的数学运算的错误，背后有着不同的原因. 这一认识，是初中数学运算错误中资源有效利用的前提，同时也是一个重要的策略. 本着动态生成的思路，不以僵化的视角看学生的数学运算错误，往往可以有助于数学教师更准确、更全面地发现学生在运算错误背后的原因.

利用错误资源促进思维定式突破

當学生发现自己的运算出现错误时，他们往往会自我寻找原因，而最常见的说法之一，就是“我有思维定式”. 学生的这一原因分析，很大程度上是受教师的影响，当教师再给出一个变式性质的数学运算而学生出错时，就会评价他们思维定式. 久而久之，学生也会如此模仿并进行自我分析.

思维定式并不可怕，关键的是要寻找突破思维定式的方法. 而利用数学运算中的错误资源，就可以实现思维定式的突破. 有研究者指出，当一些关键性的、有普遍意义的错误被教师及时捕捉并经提炼成为学生新的学习资源，使它在课堂上被有效利用时，就能帮助学生突破思维定式，使学生的认识更加深刻，而且能有效激发学生的探究兴趣[3].

一个简单的例子是，在二元一次方程组的解题中，有效运算的策略之一就是“消元”，而消元有加减消元法与相除消元法等. 当学生在初学过程中，通过成功的相除消元而使得方程组变简单时，他们往往会喜欢并习惯这种消元方法. 而有一类二元一次方程组，其是有“陷阱”的，相除的一部分如果带有未知数如x-2且在分母上时，学生往往容易忽视x不可以等于2的情形. 因而学生在初遇这种题目的时候，运算是必然会出错的. 归根到底，这种错误的原因是，学生在数学运算的过程中，视野不够宽阔，该注意的条件或因素没有注意. 相应的，出现这种错误之后，就应该将其视作错误资源而加以利用，以培养学生的解题品质.

在课堂教学中，学生认知过程中的偏差或失误，教师应极大地发挥其教学功能，将它们真正转化为课堂教学的有效资源，使错误变得美丽，让课堂演绎精彩[4]. 数学运算是数学学科核心素养的重要组成部分，利用数学运算中出现的错误，并以资源加以利用，可以提高学生的数学运算能力，从而培育学生的数学学科核心素养.

参考文献：

[1]李玉波. 不曾预设的精彩——初中数学教学中错误资源的有效应用[J]. 数学教学通讯：2015（25）：15-16.

[2]钱卫江. 初中数学课堂教学“错误”资源的有效利用[J]. 数学教学通讯， 2016（2）：23-24.

[3]蒋柏孟. 例谈数学教学中错误资源的有效利用[J]. 上海中学数学， 2013（6）：29-31.

[4]林婷. “错误资源”的有效教学策略[J]. 数学通报，2010，49（11）：35-37.