临近概念：优化初中数学概念教学

缪爱红

[摘  要] 概念是初中数学教学的基石. 但学生在初中数学学习实践中，经常会产生一些接近本质、非标准的“临近概念”. 对于学生的“临近概念”，教学中教师要尊重、理解和包容，并对之加以积极引导，将学生非正式、非正规的“临近概念”发展、提升为科学化的“数学概念”.

[关键词] 临近概念;概念教学;概念本质

概念是初中数学教学的基石，精准把握概念的内涵和外延是初中数学学习的必然要求. 但在教学实践中，笔者发现，一些学生理解了概念的内涵和外延，但对概念的描述却是日常化的、个性化的，没有上升到科学概念表达的层次. 对此，教师不必苛求，而应对学生的“临近概念”表达尊重、理解、包容，并对之积极转化、发展和提升，让学生的“临近概念”逐步逼近“科学概念”，这是一个渐进的过程，不可能一蹴而就. 那么，学生的“临近概念”有哪些特征，怎样发展、提升学生的“临近概念”？笔者在教学中进行了积极探索. 本文旨在抛砖引玉，以求教于大方之家.

“临近概念”是一个数学表达术语，意在表达学生“前概念”和“科学概念”转化的过程状态. “临近概念”既不同于“前概念”，也不同于“科学概念”. 首先，“临近概念”不是完全基于学生的生活实践经验的，临近概念是学生学习新知后所形成的“个体化概念”，从这个意义上说，“临近概念”是“准科学的”. 其次，“临近概念”不同于“科学概念”，科学概念是完全数学化、标准化的，而“临近概念”夹杂着个体的理解，因而可能是模糊的、不清晰的，有时甚至夹杂着错误因子. 因此，在初中数学教学中，教师要关注学生临近概念，促进学生“临近概念”向“科学概念”的积极转化.

1. 接近性

应该说，“临近概念”是很接近科学的数学概念的. 有时候，由于学生的理解差异，对概念的表达也是不尽相同的. 例如人教版八年级的“因式分解”，科学化的定义是：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫作把这个多项式因式分解. 教学中，有学生认为将一个多项式化成积的形式，有学生认为将一个多项式分成多个整式乘积，还有学生认为，将一个多项式写成和它相等的积的形式……应该说，学生的“临近概念”都是“部分真理”，但却都不严格、不严谨，都有待提炼、发展和提升.

2. 发展性

学生的数学概念学习是一个不断发展的过程，有时，教师需要“在下一个路口等学生”. 学生的数学概念学习，常见的有两种方式：一是数学概念的同化，二是数学概念的顺应. 同化即学生数学概念结构的自然扩张，是一种“量”的累积;顺应即学生数学概念结构质的改变、发展. 这个过程伴随着学生的认知冲突、认知失衡. 例如人教版七年级引入“垂线”，学生的理解是“垂直就是两条直线相交成直角”. 人教版八年级、九年级继续深化学生的“临近概念”，学生运用两条直线互相垂直的定义进行推理，深刻理解垂直定义的判断、性质等多方面的功能. 在不断的学习中，学生零散化的临近概念理解逐步发展提升为系统化的数学概念理解.

3. 直觉性

尽管初中生的抽象逻辑思维能力已经得到了较大程度的发展，但很多时候，尤其是不能清晰界定数学概念的情况下，还是善于运用“直观”“直觉”等进行思考、描述. 例如对于人教版八年级的“全等三角形”，有学生对于怎样判断三角形全等经常把握不准，他们于是借助笔在草稿纸上画图，从而把握三角形全等的条件，如“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”等. 有时候，由于学生的直觉思维，在解决相关的数学问题时，不能通盘考虑，从而造成思维卡壳、思维短路.

“临近概念”是基于学生经验的，学生的许多“临近概念”是不登“大雅之堂”的，但在学生的数学学习中却发挥着重要的作用. 教学中，教师一方面要呵护学生的“临近概念”，另一方面却要对学生的“临近概念”进行引导，促进学生将“临近概念”转化、提升为科学的数学概念.

1. 问题情境：让学生触摸数学概念的内核

学生的“临近概念”不仅表现在对概念本质把握的个性化，更体现为学生对科学的数学概念没有真正地感受、体验、感悟. 學生所获得的对概念的认知是文字式的，比如学生无法想象这样的情境：用一根直径比地球赤道长2米的铁丝将地球围起来，地球和铁丝之间的间隔有多大？对于这样的问题，需要在情境中用数据说话，才能让学生获得真正的知识理解和感悟.

例如教学人教版七年级数学“有理数的乘方”，有学生尽管能够记忆乘方的概念，但对乘方的内涵却缺乏必要的体验. 应该说，这样的概念掌握是有缺失、有缺陷的，也应该属于“临近概念”. 数学概念不仅仅是把握概念的形，更为重要的是把握概念的神. 为此，在讲解有理数的乘方时，笔者引入了这样的经典故事：从前，有一个智慧的大臣，把自己发明的国际象棋献给了国王. 国际象棋让国王乐此不疲，扬言只要大臣提出条件，国王一定满足他. 大臣于是让国王在棋盘上放置米粒，第一格放置二的一次方也就是二粒米，第二格放置二的二次方也就是四粒米，第三格放置二的三次方也就是八粒米……国王说，这有什么难的呢？大臣笑道，恐怕陛下没有这么多米粒吧？这样的问题情境，对于学生认识乘方有着重要的意义. 学生对于数学知识不再是无动于衷，而是在知识情感的基础上多了一份知识理性.

基于情境的教学让学生干瘪的数学“临近概念”更加饱满. 知识不再游离于学生之外，而是切入学生的经验系统、情感系统，让其多了一份真切的体验和感受. 如此，学生不仅从文字表面理解了数学概念，而且理解了概念的本质内涵、深层意蕴.

2. 多向辨析：让学生逼近概念的内核

某些数学概念，其内涵是十分丰富的，从不同的视角看，基于不同的场景，具有不同的意蕴和内涵. 教学中，教师要引领学生思辨、辨析，不断逼近概念的本质内核. 有时候，教师还需要将单个的概念放置于概念结构、概念体系中才能获得全面而深刻的理解. 俗话说，有比较才有鉴别，概念通常的定义方法是“属加种差”式的，对相关概念进行比较，寻找概念之间的联系与区别，同样能够将学生的“临近概念”发展、提升为科学化的数学概念.

例如人教版八年级的“矩形、菱形和正方形”，除了基本的定义外，还需要学生自觉地将这些概念进行比较. 通过比较，凸显概念的本质内涵，从而突破自我临近概念的局限. 就拿内涵最深刻、外延最窄的正方形来说，和菱形比较，可以发现有一个角是直角的菱形是正方形;和矩形比较，可以发现有一组邻边相等的矩形是正方形;再和平行四边形进行比较，可以发现有一个角是直角、一组邻边相等的平行四边形是正方形等等. 在不同的比较中，正方形显示出不同的内涵，表现为不同的外延，也正是在比较中，学生能够突破自我的认识局限，超越自我的临近概念，逐步逼近概念的本质内核.

在初中数学学习中，学生对数学概念的理解是缓慢的，建构是渐进的. 某种意义上，学生的“临近概念”是一种“模糊性的精确”，是源于学生自我认知的[1].

3. 缓冲建构：引导学生抵达概念的本质

学生对数学概念的认知与把握不是一次性到位的，其间可能要经过一个漫长的、曲折的过程. 教学中，教师不能要求教学的一帆风顺，不能企望教学的一蹴而就，而应允许学生的缓冲理解. 学生的这种缓冲理解可能只是学生的一种体验、一种意会，可能只是学生一种懵懂的表达，但其中却闪现着数学本质的光辉，蕴含着数学知识本质的种子.

例如教学“三角函数”，其定义经历了几个不断深化、循序渐进的过程. 首先，是让学生理解直角三角形边长的比来刻画锐角三角函数，这是三角函数最为基本的定义;其次，是用点的坐标来表示三角函数定义;再次是三角函数的图像和性质、三角函数线、三角函数值在各个象限的符号、同角三角函数的基本关系式等等. 对于三角函数概念的深度发掘，能够让学生理解三角函数的内涵和外延. 在初中数学教学中，学生对数学概念的理解有时不是一步到位的，正如三角函数概念的建立. 但是，学生数学理解、数学认识的不周全，恰恰为教师的丰富性教学提供了可能. 正是由于对数学概念的分层建构，才让学生真正感受、体验到数学的严谨、嚴密，体验到数学概念高度的抽象性、普适性.

俗话说，“磨刀不误砍柴工”. 三角函数的概念是整个三角函数部分的奠基石，贯穿于与三角函数有关的各个部分内容之中并发挥着关键性的作用. 教师重视概念教学，有助于让学生理解概念的内涵与外延. 教学中，要让学生反复体会、螺旋上升、逐步理解，从而能够灵活运用.

学生数学概念的形成过程是一个渐进化的过程，“临近概念”是学生数学概念形成的一个重要阶段. 教学中，教师不能急功近利，不能急躁浮躁，奢望一蹴而就，而应从学生的“临近概念”出发，引领启发学生，让学生从对数学概念的临近理解发展、提升为数学化的理解. 如此，学生对概念的认知才能从模糊走向清晰、从模糊走向精准.

参考文献：

[1]赵庭标. 基于学科核心素养的章始概念课教学实践与探索 [J]. 中学数学教学参考，2017 （32）：2-5.