初中数学建模思想在问题提出式课堂教学中的渗透

朱艺峰

摘要：数学建模思想是引导学生深入认知数学语言、数学逻辑思维的重要思想。在核心素养的背景下，对于初中数学教学的过程中渗透数学建模的思想，以培养学生对知识体系的建构能力、逻辑思维能力以及自主学习的能力显得尤为重要，而选择教学的方法，将复杂问题具体化更是我们作为一线教师关注的问题。本文通过问题提出的方式，对于学生在解决一次函数实际问题的过程中渗透数学建模思想的培养，激发学生学习能力和创造性，提升学生整体的学习能力。

关键词：数学建模;问题提出;一次函数

一、背景介绍

数学思想方法源于数学思维活动，在日常的教学中不能仅停留在教会学生解题上，而是应针对不同的学生、不同的知识内容，以及初中生的认知能力与特点，将数学思想充分融入数学教学的各环节中，采用合理的教学方法，有效的培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。

在实际的建模过程中，学生会遇到各种的问题，那么老师应采用合适的教学手段，结合教学内容，优选可以融入建模思想的素材，以帮助学生顺利的寻找建模的切入点与突破口，使学生体会到利用数学建模思想解决复杂、抽象问题的好处，进一步激发学生的学习兴趣。

本节课的作者通过问题提出的方式，让学生成为课堂的主人，在解决问题的过程中，融入建模思想，总结和归纳建模的方法，从而轻松、快速的解题，既容易被学生接受，也锻炼了学生的逻辑思维能力。

二、教学过程

（一）原题呈现：本题来源于一次函数的简单应用的作业题，难度较高，分层级别属于拓展探究类题目。

星期天，小强从学校步行去图书馆，同時，先到图书馆的小华骑车返校取忘带的学生卡，拿到卡返回图书馆途中遇到小强，小强坐小华的车来到图书馆，如图所示为两人距离图书馆的距离y（m）与出发时间x（min）之间的函数图象，根据图象信息解答问题：

（1）求小华返回图书馆时的速度.

（2）小强比步行提前多少分钟到图书馆？

（3）求小强与小华相距1000m的时间.

【设计意图】在上此课之前，学生的回家作业等同于课堂前测，批改作业后发现很多学生会解决第（1）题，但基本都用算数方法。这样的思想对于第（2）（3）题的解法是有负迁移作用，因为学生很难通过算数的方法，想到后面两小题，特别是第（3）题。

【学生解答】

这个学生的（1）（2）两小题，用的是算数方法，是大部分同学的选择的方法。而第（3）小题的解答方式是非常典型的方程思想解决问题，而且还结合了线段图，应该给予肯定，但是对于最后一题就会有考虑不到位的地方，与函数思想解决的差距就更显而易见。

在上此课之前，学生已经学会用图像和函数解决复杂的应用题，即在上完第2课时后，才进行了此课的教学。对于第二课时的课堂教学中，特别强调利用函数建立数学模型解决类似问题，使学生有了一定的数学建模思想，对于这节课的教学起到非常重要的铺垫作用。

（二）课堂呈现

1、实际应用——数学抽象

教师提问：这个问题的题目比较复杂，现在老师想把这个应用题简化下，把题目的背景全部去掉，只留下一个函数图像，你们可以从这个图像中得到一些什么信息？

学生1：我能看出X轴和Y轴分别表示时间与路程。

这个发现是非常重要的，让学生意识到解决这个问题中的两个变量时间与路程，至于具体代表的信息可以在后面进行分析，所以第一个同学就开了个非常好的头，教师给予鼓励和表扬。

学生2：我能看到几个点的坐标。

教师追问：哪几个点？

学生2：D、A、B、C，不对，B点只知道横坐标和纵坐标。

教师：那我们能求出B点坐标吗？

学生沉默，其他同学思考。

教师提问：同学们回忆下，如果知道一个点的横坐标，怎么求纵坐标？

学生：代入函数解析式。

教师追问：那么我们有函数解析式吗？

学生：没有。

学生3：我们可以求函数解析式。

教师：非常好，我们是不是已经学会根据图像求函数解析式，那么根据此函数图像，我们可以得到几个函数解析式？

学生3：两个人，应该是两个函数。

学生4：有个函数应该是分段函数（因为在平时的教学中，也涉及到分段的情况，所以有学生会提出分段函数这个概念）

教师：这个学生真的非常棒，分段是因为自变量的取值范围不同，所以我们也应该关注到图形中的自变量的取值。

给学生几分钟的时间，把可以得到的函数解析式求出来。

【学生解答】

教师：为什么我们不能直接求出BD这条直线？

学生1：因为只能确定一个点D的坐标，B的坐标不知道。

学生2：B点在AC这条直线上，所以只要把B的横坐标代入，就能求出B点的纵坐标。

因为学生对一次函数图像与性质的学习有了一定的积累，而函数应用第二课时中也有类似的问题遇到过，所以有些学生能够想到解决的办法。

教师：非常好，那么我们已经解决了之前学生2留下的问题。那么现在我们是不是可以得出直线BD的函数解析式？

学生4：老师，不是直线，是线段，因为自变量有一定的范围。

此时，教师真的想给这个学生鼓掌，很多老师想要提出的问题，学生都已经能够想到了。

学生4：前面OA和AC也是一条线段。

【设计意图】

把实际问题抽象成一个数学模型，意在让学生学会用函数图像来解决各类问题的一般方法。

2、数学抽象——实际应用

教师：我们已经能根据函数图像上的信息得到我们想要的解析式，那么我们回到这个题目，来看看是不是我们求出的函数解析式就能回答这几个题目？

给学生几分钟的思考时间，看学生能否通过函数的方法来解决题目中的几个小题。

【学生解答】

教师：第（1）题大部分学生都能看出，我们函数解析式中的K就是小华和小强的速度，所以返回图书馆的速度就是直线AC的解析式中的K的绝对值。那么我们还能知道哪些信息呢？

学生举一反三：还能知道回学校时的速度和小强的速度。

学生的回答，正好引出第二个问题的解决。

教师：老师正想问一个问题，小强在从学校到图书馆的过程中，速度是否发生了改变，为什么会变化？

学生：后来遇到小华，坐他的车前进了，所以速度变快了。

教师：在图象中是否有显示？

学生：B点就是小强坐小华车的地方。

教师：那老师还有一个问题，就是如果小强任然步行前进，在图象上如何表示？

【学生解答】

教师：那么大家能求出这条直线与X轴的交点吗？它所表示的实际意义是什么？

学生：当Y=0时，X的值就是这个点的坐标。它表示小强步行到图书馆所用的时间。

教师：那么我们的第二小题是不是一目了然了。

此时只剩下第三个问题，大部分学生还是不能解决，教师继续启发

教师：我们知道这个函数图象中的Y表示的就是离图书馆的距离，那么想要知道他们什么时候距离1000米，只要知道此时他们距离图书馆的距离差是1000米，就是Y的差是1000米。

教师：观察图象，两个函数距离1000大约会有几次？

教师板书，演示图象距离1000米，让学生先发现可能存在的情况。

学生：可能会有三次。

教师：那么我们分别来谈论这三次距离1000米的情况。

【学生解答】

至此，原题中的三个题目都已经解决，从简单到难，层层递进，慢慢突破。

【教学反思】

第一次教学中是通过先解决原题目，让学生学会通过分析图形，函数解析式，来解决已有的问题，再提出问题，自我解答。改进后想尝试，全开放式的模式，就是只有题目背景，从开始就由学生来提出问题，再互相解决。

3、提出问题——解决问题

教师：我们是否可以根据此函数图像提出一些问题并尝试解决呢？

【教学反思】

第一次教学因为时间比较匆忙，问题提出的方式是比较临时的，所以没有采取小组合作的模式，但是学生还是提出了不少问题，个别的问题还是有比较大的研究价值。改进后的教学打算采用合作学习的模式，给学生充分的思考时间，意在让学生提出更多有价值的问题。

学生1：我的问题比较简单，就是当时间为30分钟时，小强离图书馆多少距离？

这是一个非常好的问题，如果能给予更充分的时间，学生在表达上可能会更完美些。

学生2：我来解决这个问题，只要把30代入BD所在直线的函数解析式，求出的Y值就是此时离图书馆的距离。

教师：有没有同学能在这个问题上进行发散？

学生3：可以问离学校多少距离。

教师：很好。怎么解决？

学生3：只要3000减去刚才那个Y值就行了。

教师：难度稍微增加了一些，还有没有？

学生4：当小华回到学校的时候，小强距离学校多少米？

这个问题非常的好，既考虑到小强又要考虑小华，分析后不难發现，其实跟前面的问题是一样的，也是当X=30时的情况。

【学生解答】

学生5：我的问题也比较简答。小华和小强第一次相遇的时间？

从图像上我们很容易就能看到，直线有两次相交的情况，对于第二次相交的交点，我们前面已经进行了分析，所以学生会问到第一次相交，这是非常好的，也说明学生对于函数交点与方程的解已经能够灵活运用了。

教师：刚才我们的问题都是根据X求Y的值，有没有同学能够提出一些根据Y的值求X的呢？

此刻思考几分钟后，才有学生举手。

学生1：当Y的值一定时，X的值可能不止一个。

教师：非常棒，对于图像的认识你已经非常到位了。那么请你提出一个问题，让大家来解解看？

【学生解答】

学生1：当Y=1500的时候，X=多少？

学生2：1500就是两个地方的中点，我们可以问什么时候经过这个中点。

教师：这两位同学的问题非常的好，老师再给他们美化下，假设图书馆和学校的中点处有个亭子，请问小聪和小华共经过这个亭子几次？分别是什么时刻？

学生3：我有一个问题，不知道算不算。就是小华和小强第一次相遇候，什么时候他们的距离最远？

这是一个非常有价值的问题，只是放在这个模型当中，可以通过观察图象直接看出，什么时候距离最远，但是我还是希望能够让学生通过一次函数求最值得问题来解决它。

教师：这个问题大家看看图象，能得到答案吗？

学生4：可以，在时间为30的时候，他们的距离最远，最远距离通过Y的值就能求出来。

教师：如果我改变下题目，OA没有在A点转折，而是继续前进，换个点转折，我们能否找到这个时刻？

对于这个问题的改变，其实是很抽象的，学生可能无法理解老师的意图。当时老师也是在学生提出这个问题的时候，想到如果不知道30这个值，我们需要怎么去解决？

教师：之前的题目中，我们是不是解决过距离的问题？

学生5：通过Y的差来解决。

教师：请你们把这个差表示出来。

【学生解答】

教师：如果用Y’来表示小华和小强的距离，那么我们是否可以用函数来表示这个差？

学生：

教师：这是一个什么函数？

学生：一次函数

教师：一次函数如何求最值？

学生：通过函数的增减性，再根据自变量的范围，可以求出函数的最大值或者最小值。

【学生解答】

【教学反思】

如果能想到学生会提出这样的问题，那么在最初的分析第三个问题时就应该要想到用函数来表示两人的距离。然后在设计原题的时候要进行一定的改编，让学生的这个想法可以得到实现。从目前这个问题的解决办法来看，有点生搬硬套，一目了然的问题还要复杂化，为了用到函数单调性才一定要用这个方法，只有个别同学能领会老师的意图。

三、总结反思：

本节课通过对已有问题的解决方式，建立数学模型，让学生学会解决实际问题的一般数学方法，然后再应用到实际问题中。后阶段是非常初浅的尝试了问题提出式的教学方法，让学生对已有的数学模型，提出问题，再自己根据图象的性质及函数与方程的关系，来解决问题。

本题是一次函数的综合应用，本身难度较大，学生在课堂上的参与度就不够高。而问题提出式的教学方式，在平时的课堂中虽然有所接触与尝试，但是对于难度如此大的问题背景下的题目来说，还从来没有尝试过。学生能够配合的地方，应该给予肯定，特别是提出问题的几个同学，都是对于函数的综合应用掌握的较好的学生，其它一些学生本身欠缺数学建模的能力，此时又需要主动参与提出问题，对于他们来说要去较高，感觉在课堂上已经跟不上节奏了。改进后的教学设计，希望能把背景问题的设计更有发挥性，让不同层次的学生都能参与到课堂上来，所以第二次的课堂教学，会采用合作学习的模式，让提出的问题更丰富，更合理，更有层次，所用到的数学方法和思想更多样化。

参考文献：

[1] 庄文革.初中数学活动中模型思想培养的有效策略[J].考试周刊，2017（21）：97-98.

[2] 刘娟.初中数学模型思想的渗透原则及培养策略[J].考试周刊，2016（83）：53.

（作者单位：浙江省杭州市萧山区金惠初中）