高三数学教学中培育学生研学能力的探索

袁国庆

摘 要：本文以《利用导数求函数单调性》专题复习课为例，具体阐述培育学生研学能力的做法：在学生自主梳理知识的基础上，结合具体的数学背景提出需要研究的问题，通过教师的组织在问题解决过程中培育学生研学能力，并总结出这类课堂研学的优化策略。

关键词：高三数学;专题复习;研学能力

布鲁纳认为：“教师不能把学生教成一个活动的书橱。而是教学生学习如何思维，教他们如何像历史学家那样研究分析史料，在求知过程中组织属于他自己的知识。”1教育部考试中心任子朝在《从能力立意到素养立意》一文中指出：“高考正在实现从能力立意到素养导向的转变，高考命题引导中学教学尊重学生学习的主体地位，激发学生学习的主观能动性，养成学生良好的学习习惯，从而为国家培养全面而有个性的社会主义建设人才。”可见，学生知识的获得是建立在学生自主学习、自主探究的基础之上，并在学习、研究的过程中自主完善认知结构，逐步提高数学思维能力、发展核心素养。

本文把自主学习、自主探究的能力称为研学能力。很显然，教与学的过程既是学生参与研学的过程，同时也是发展研学能力的过程。高三数学教学，特别是高三后半段的综合复习教学，我们需要学生参与研学，更需要培育学生的研学能力，应当经常性尝试研学课堂。笔者通过多年的教学实践，对如何在高三复习教学中培育学生的研学能力方面有了些许经验并总结成文，与同行交流、共享，旨在抛砖引玉。

1.教学实例

1.1学情分析

这是一节利用导数研究函数单调性的专题复习课，主要任务是通过引导学生梳理知识内容和参与数学问题的解决，加深对已学知识的理解，并使之结构化、系统化，提高学生的概括能力和分析问题、解决问题的能力。学生经历过一轮复习，在知识水平上已经对导数的概念及具体应用有较深刻的认识。

1.2教学目标

通过学生自主整理、思考，加深对知识的理解。

通过学生对问题的自主探究，掌握利用导数处理函数单调性的一般方法。

在学生自主提出问题、分析问题、解决问题的过程中，发展数学素养。

2.教学实施过程

本节课以“导数的零点”为研究的主线，从知识系统的角度来看，要考虑到数学问题的代表性;从发展学生认知水平的角度来看，要考虑到数学问题的层次性与深刻性。在课堂教学中，通过学生自主梳理知识、并结合具体的背景提出一个简单的数学问题的情况下，帮助学生自主构建利用导数研究函数单调性问题的知识体系、方法体系和思维体系。

2.1自主梳理，已掌握什么？

例题：已知函数，请你设置一些简单的问题。

设计意图：经过一轮复习后，学生对导数已有一定的学习，导数的工具性体现在处理曲线的切线、函数的单调性、极值最值等方面，笔者以开放题的形式由学生自主回顾并思考相关知识，以期帮助学生构建一个较完整的“系统”。

2.2问题聚焦，研究什么？

利用导数求函数单调区间是高考常考的问题，本节课我们一起来研究函数单调性的一般问题。刚才函数是一个确定的函数，同学们来思考一下，如何对该函数作出适当的改变？你有什么建议吗？

设计意图：让学生开启对已有知识储备的进一步搜索，作为高三学生已经历过系统复习，对导数求单调性问题已有一定的解题经验，对高考的要求也比较清楚，此时让他们结合之前的所学、所思、所惑，积极思考如何“深化”眼前问题，具有现实意义。并让学生经历问题从特殊到一般的演变过程，有助于培养他们的探索能力，提高知识掌握的灵活性、深刻性、系统性。

给予学生一定时间的思考和讨论，教师归纳后大致几下几种变式：

类型1：已知单调区间，求参数范围

1.若函数在（a，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围。

2.若函数在（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围。

类型2：求函数（含参）单调区间

3.讨论函数的单调性。

4.讨论函数的单调性。

学生提出的变式可能会有重复性、不全面性，甚至偏离主题或者根本无法求解等问题，作为教师在备课时要做好充分的准备，做到在课堂上高屋建瓴，站在系统的角度来审视各种变式，做到合理选择、适当调整、必要补充。同时要以鼓励为主，不因为提不出问题或是提出的问题没有价值而责备学生。

2.3问题引领，展开研究

问题驱动是数学教学的一条基本原则，而问题驱动的较高层次是学生把问题视为自己的问题，基于前面工作的铺垫，这样的设计较好地运用了高中数学“优效课堂”倡导的问题驱动策略，有利于提高学生的学习积极性。

教师：第1题的结果能快速解得吗？

学生：函数是确定的，在上单调递增，所以。

教师：非常好！下面我们动手做一下第2题。

学生1：问题等价于在区间（1，+∞）内恒成立;即a≤2x2在区间（1，+∞）内恒成立，易得a≤2。

学生2：问题等价于在区间（1，+∞）内恒成立;令g（x）=2x2-a，结合图像可知，a≤2。

学生3：先解出的解集，考虑到定义域为（0，+∞），考虑到极值点是否存在的问题，分a≤0和a>0两种情况考虑，当a≤0时显然成立，当a>0函数在上单调递增，易得，综上可知a≤2。

老师：以上几种方法都非常好。同学们一起来总结一下，利用导数处理函数单调性的问题的方法。

學生：在处理已知单调区间求参数a的取值范围问题时，可以将单调性转化为不等式恒成立问题来处理，也可以先通过求出函数单调区间，然后对应作比较。

老师：3.讨论函数的单调性。这个问题有解决方案了吗？

学生3：刚才我的解法已经给出了结果，当a≤0时，在上单调递增;当a>0函数在上单调递减，上单调递增。

老师：解这个题目的关键是什么？

学生3：求出函数的零点。有参数的问题中往往求零点不是那么容易，必要时要分类讨论，但不管怎么样总是有办法的！

老师：嗯，总有办法的！我们来试一试问题4.若，该如何讨论单调性？请同学们思考并解答。

学生4：定义域为，，

令。

①当时，恒成立，所以f（x）在内递增;

②当时，有两根，当时f（x）在内递增;当x2>0即a>0时，f（x）在（0，x2）内递减，在（x2，+∞）内递增。

教师：非常棒！分类讨论的关键是确定分类的标准，首先根据导数的零点是否存在分和两种情况讨论，当时，根据导数的零点是否在定义域内再次进行分类讨论。

2.4拾级而上，深入研究

教师：经历了刚才几个问题的探讨，对于利用导数求处理函数单调性的问题你有什么认识？

学生（众）：关键是求出导数的零点。

教师：一语中的！刚才的几个题目我们通过求出或者表示出导数的零点，顺序得解，再来观察刚才函数的导函数，发现有什么特点？

学生（众）：是二次函数。

教师：二次函数的零点问题我们有统一的解法，但如果导数不是二次函数，而是超越函数呢？刚才同学们的变式都比较“文气”，变式后的导函数都是二次函数，我们来尝试另外的变式，比如：

5.若函数，求单调区间。

解：，得方程，即，这个方程不再是二次方程了，怎么办？

学生5：根是1，我看出来了。

教师：观察发现1是根，那么会不会还有其他根呢？

学生5：只有1这个根，函数是一个单调函数。

教师因势利导，继续深化。

6.若函数，还能求出单调区间。

得到方程之后，学生研究后发现依然存在唯一的根x0，但无法表示出来。

教师点拨：同学的认识很到位，这个题目我们无法表示出导数的零点，所以也就无法表示函数的单调区间，但是我们看到的事实是尽管无法具体表示出来，但它确实是存在的，且函数在（0，x0）单调递减，（x0，+∞）单调递增。所以这样的问题我们可以换个角度来变式，比如：

7.（杭州二模）若函数，证明：

。

学生恍然大悟，原来问题就是这么演变过来的。（PPT展示解题过程）

教师：今天这节课我们一起研究了如何利用导数的零点处理函数单调性问题，同学们谈谈有哪些收获？

2.5课堂总结，领悟研学

师生共同总结，一是领悟研学过程：自主梳理知识------提出研究问题------问题引领研究-----总结活动经验。二是领悟思想方法：主要的思想方法是数形结合思想与等价转化思想，即用图象来解决函数单调性问题，当图象不明确时利用导数来研究函数单调性问题。三是用导数来研究函数单调性问题的一般思路：求导-----零点-----判断正负;当判断正负有困难时可以转化为关于零点的代数式问题。

3.课堂研学策略优化

3.1基础回顾，为研学夯实基础

建构主义认为，学习活动不是由教师向学生传递知识，而是学生根据外在信息，通过自己的背景知识，建构自己知识的过程。数学教学活动必须建立在学生的认知进展水平和已有的知识经验基础之上，也就是说我们的教学活动首先关注学生的最近发展区。

3.1.1内容选择上

作为教师，要在充分了解学情的情况下选择恰当的素材帮助学生回顾知识，夯实基础。内容选材上要遵循基础性原则，一方面要为接下来的进一步学习和研究做好铺垫，另一方面难度不宜偏大，以基础回顾与整理为主要任务，面向全体学生。

3.1.2教学方式上

教学方式上可以多样化，比如：“知识陈述型”——学生以口述、填表等形式回顾知识;“问题解决型”——设置若干简单题目，通过学生解题来回顾知识;“自主开放型”——以开放题的形式帮助学生自主回顾知识。

回到本节课，设置“例题：已知函数，请你设置一些简单的问题。”以开放题的形式帮助学生回顾导数的基本应用：求曲线的切线、函数单调性、函数极值、最值等，并具体求该函数的单调区间，为接下来的进一步学习和研究打好基础。

3.2问题聚焦，为研学搭载平台

要培养学生的研学能力，就要给学生搭载有利的平台，需要有合适的问题，需要有具体的题目。问題从哪里来？

3.2.1问题来自于教师

波利亚说：“一个专心认真备课的教师能够拿出一个有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。”这就要求我们教师研究学生、研究教材、研究高考，精心准备题目，最好能形成“问题串”，让学生有一个系统的、连续的、递进的研学过程。

3.2.2问题来自于学生

高三复习课的主要任务就是帮助学生夯实基础，并在此基础上通过进一步的学习和研究，自主完善、构建新的自己的知识体系。所以，学生作为学习的主体，他是怎么思考的？他的困难之处在哪里？这些问题也正是我们在课堂教学中需要重视的问题。我们也应当承认很多时候能提出问题比能解决问题更加重要，作为教师，在自己做到“善于提问”的同时，也应该通过教学去帮助学生学会“提出问题”，让学生从“解自己的问题”替代了“解老师的问题”，有利于提高学生参与积极性，培养学生的研学意识和能力。很多时候学生很难提出问题，或者价值不高、或者偏离主题，这就需要教师站得高，看的远，遵循教学规律适时指导、适当调整、必要补充，相信在教师有方法且长期的引导和指导下，对促进学生的研学能力会起到一定的帮助，而这些能力将为学生终生受用。

3.3问题引领，实践中提升研学能力

不可否认，学生研学能力的提高来源于长期有效的实践过程。新课程改革倡导自主探究、合作，以学生为主体，让学生带着问题思考、学习、探究，可以有效促进学生的研学能力，进而提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等数学核心素养，培养学生的理性精神和探究精神，培养学生的学習能力，使学生学会学习。所以，给予学生实践的机会非常关键。

3.3.1坚持学生为主体

学生是参与研学的主体，要鼓励学生主动参与研学、动手实践、自主探索与合作交流。只有学生参与研学的过程，知识的获得才更加自然、系统，同时也只有通过学生参与研学实践，才能真正促进他们的研学能力。回到本节课中，对于“问题串”的思考、研究和解答都充分给予学生时间和空间，做到学生能说的让学生来说，学生能做的让学生来做。

3.3.2坚持教师为主导

2巴布拉与达菲在《从实习场到实践共同体》中指出：“教师的工作是通过向学生问他们自己问自己的问题来对学习和问题解决进行指导。这是参与性的，不是指示性的;其基础不是要寻找正确答案，而是针对专业的问题解决者当时会向自己提出的那些问题。”坚持学生为主体并不意味着降低了教师的作用，反而是对教师提出了更高的要求，需要教师在指导学生参与研学的过程中高屋建瓴：当学生有困难时，给予适当的点拨;当学生研究有误时，给予一定的提醒;当学生考虑不全时，给予必要的补充;当学生对问题研究的深度不够时，如何拾级而上？

结束语：日本数学家、教育学家米山国藏说：“学生在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学，所以通常是出校门后不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么业务工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等，却随时随地发挥作用，使他们受益终生”。所以，授人鱼不如授人以渔，要把传授知识与培养学生研学能力结合起来，为学生的终身发展而教学。

参考文献

[1]任子朝：《从能力立意到素养导向》发表于《中学数学参考》2018年第5期上，教育部考试中心;

[2]巴布拉与达菲：《从实习场到实践共同体》，美国学者;

[3]米山国藏：《数学的精神思想和方法》，日本数学家、教育学家;

[4]郑毓明：《数学教育的问题导向》发表于《中学数学参考》2018年第1-2期，南京大学哲学系;