例谈如何选择贴合学生实际的例题或习题

☉江苏省苏州市田家炳实验高级中学 何小寅

教师选取数学例题、习题必然要比学生有想法、有经验，易于学生接受是教师选取例题、习题过程中应该秉持的原则.脱离学生的实际接受能力的题目就像不合脚的鞋子一样，不适合学生的同时还会妨碍学生对知识的巩固和理解.笔者结合“反证法”这一内容的教学，主要谈谈精选例题、习题这一方面的思考.

反证法的定义与应用是这一教学内容的重点，根据笔者多年的教学实践反映，学生对教材本身配备的例题、习题往往会感到很别扭.数论知识在教材的编写中占据的地位极低，学生掌握数论知识比较少的同时对教材中设计的前三道数论问题自然会感到无从下手.很多教师在教学中会提醒学生运用反证法来解决问题，但真正能够顺利运用反证法证明的学生却少之又少，故例题的存在自然是没有意义可言的，学生学习数学的积极性大受打击的同时也会感到数学学习特别无趣，教师费尽心思教学或许能使学生明白，但学生对反证法的理解却谈不上了.

教材中有一道证明题是有关平面几何的，运用反证法进行平面几何的证明在高中阶段并未作要求，因此学生很难想到该题的切入点，思考这一难题的过程往往也会冲淡反证法知识的应用.总之，教材中所呈现的这四道例题往往会令教师和学生都感到例题的设置是偏离对反证法的理解与应用的，显然这是偏离学生实际的编写.

遗忘曲线的规律是大家所熟知的，学生学习的知识往往会随着时间的推移而逐渐遗忘，因此，教师应从学生最近学习的知识中进行例题、习题的编制或选取，使学生能够感到熟悉和亲切的同时增加其学习的信心，学生的学习能力逐渐增强的同时也会增加其数学学习的积极性和兴趣.

因此，笔者认为应对这一章节内容中的例题和习题进行新的设计.笔者所在的数学教研小组因此进行了新的研究，从不等式、解析几何、函数与方程、立体几何这四个方面进行了新的选择并因此取代了教材中的例题.这些学生所熟悉的知识凸显了反证法的应用，这些不纠缠于知识细枝末节的例题也更具代表性，反证法得到广泛应用的同时也令学生更好地接受了新的知识.

例1设a，b，c∈（0，+∞），求证三个数中至少有一个不小于2.

证明：假设均小于2，即，则，所以，所以

例2已知二次函数y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b（a，b，c为三个互不相等且都不为零的实数）.证明它们的图像至少有一个和x轴存在两个交点.

证明：假设三个图像和x轴都不存在两个交点，因此将三式相加，可得a2+b2+c2≤ab+bc+ac，（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≤0，所以a=b=c.这与题设中a，b，c互不相等这一条件是矛盾的，因此三个函数的图像至少有一个和x轴存在两个交点.

例3已知函数，请运用反证法证明f（x）=0无负数根.

证法1：假设存在，满足，则ax0=又0＜ax0＜1，因此，即，这与假设x0＜0矛盾，因此方程f（x）=0无负数根.

证法2：假设存在x0＜0（x0≠-1），满足

（1）若-1＜x0＜0，则，因此f（x0）＜-1，这与f（x0）=0矛盾；

（2）若x0＜-1，则，因此（fx）0＞0，这与（fx0）=0矛盾.

所以方程f（x）=0无负数根.

例4如图1所示，已知△ABC是锐角三角形，直线SA⊥平面ABC，AH⊥平面SBC.求证：H不可能是△SBC的垂心.

图1

证明：假设H是△SBC的垂心.连接BH，则BH⊥SC.又AH⊥平面SBC，SC⊂平面SBC，所以AH⊥SC.因为AH∩BH=H，所以SC⊥平面ABH.又AB⊂平面ABH，所以SC⊥AB.

又因为SA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以AB⊥SA.又因为SA和SC相交于点S，所以AB⊥平面SAC.所以AB⊥AC，即∠BAC=90°，这与△ABC是锐角三角形这一条件相矛盾，故H不可能是△SBC的垂心.

练习A：

1.运用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为直角”这一命题时可以假设（ ）.

A.有两个内角为直角 B.有三个内角为直角C.至少有两个内角为直角 D.内角都不是直角

2.设a，b，c∈（-∞，0），求证中至少有一个不大于-2.

练习B：

1.命题“a，b为实数，若|a-1|+|b-1|=0，则a=1且b=1”，运用反证法证明时可假设______.

2.若x，y＞0且x+y＞2，求证：与中至少有一个小于2.

3.若以下方程：x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.

说明：上述例题和习题的设计不仅考虑到了学生对这些题目的接受程度，还体现了以下几个方面的内容：

（1）由例4可以看出，否定性命题的证明往往可以运用反证法来解决.

（2）当“至少多少个”、“至多多少个”这样的字眼在题目中出现时往往可以考虑运用反证法来证明，例1就很好地体现了这一点.

（3）例1和练习A中的第2题之间存在着非常密切的联系，练习A中的第2题对a，b，c三个数的性质进行了改变，由正实数到负实数这一条件的改变也令学生在练习中获得了知识与方法的巩固.

（4）将式子相加是解决例1的基本办法，先变形再相加是解决练习B中第2题的处理办法，层层递进的关系也因此得到了很好的体现，如此设计也使学生对知识的理解得到了逐步的加深.

总之，教师在精选例题的过程中应本着贴近学生实际、促使学生能力发展的目的，使学生在分析、思考与反思中更好地掌握解题规律并积累更多的解题经验.

（1）要有针对性.选择的例题或习题主要为了解决什么问题是教师在选题时应该思考的.题目练习的目的性和针对性往往能够决定题目的质量，对症下药的选题才能更好地起到有的放矢的教学效果.

（2）要有可行性.学生当前的学习水平如何、学生当前学习中需要解决的问题在哪里、例题或习题选择的目的是什么都是教师在精选例题或习题时需要注意的.难易有度、数量适宜且能贴合学生实际需要与教学内容的练习才是可行的，才是能够解决学生学习需求的好练习.

（3）选题应具有纠错功能.学生在平时的作业及考试中都会犯错，教学的重难点、学生学习上的问题、教学中的疏漏往往都会在一些典型错误上得到体现.教师在教学中应能及时地发现这些问题，并选择、编制相应的例题、习题来帮助学生纠错，使学生能够在纠错的过程中达到查漏补缺、稳步提升的学习效果.

（4）题目应具有严密性.教师只有具备扎实的教学功底和数学素养，才能在海量的数学题中选出合适的例题或习题，才能有计划、有步骤地将知识性、思想性及解题技巧均融合于一体的例题或习题提供给学生，使学生在严密而科学的解题思考中获得知识与能力的共同提升.