见微知著：学习进阶还原智慧学习的本真意蕴*

☉江苏省宜兴市丁蜀高级中学 周 军

☉江苏省无锡市辅仁高级中学 钱军先

高三二轮复习应围绕“立足考纲、强化四基、精心预设、重点突破、发展能力、形成素养”这些核心词展开.当前的二轮复习通常以专题的形式组织教学，往往存在“目标定位过高、片面追求综合、预设与生成脱节、教学对象主体缺位”等现象，教学效果往往差强人意.如何才能让二轮复习更精准、更有效？如何引领学生通过深度学习来发展适应社会和生活的高阶智慧？笔者认为，应该在“微切入、微探究、微创造”上做文章.一般以某个知识点或数学思想方法作为研究的主题，回溯到该知识“最原始”的概念处学习，建构一条清晰的逻辑主线，从而串连起这些问题，循序渐进，层层深入，力求让不同层次的学生得到不同的发展.这样的立意契合了学习进阶理论的本质内涵，以学生已有的知识经验为认知起点，以引导学生在数学学习中习得生存的本领和生活的智慧并一以贯之为认知目标，通过示错矫正、纵串横联、思想凝练、文化浸染等策略为学生的思维跃迁搭阶，促进学生逐步形成见微知著、内化迁移的学习技能，还原数学育人的本真意蕴.

最近，笔者在校内上了一堂第二轮微专题复习课“三角形背景下的多元变量求最值问题”，与另一位老师同课异构，听课师生一致好评.切身经历，萌发思考，借此与各位同行交流.

以三角形为背景的问题是近年来江苏省高考的热点问题，试题呈现出两大特点：（1）彰显自身知识结构的命题形式多样；（2）以三角形为载体，着力研究与函数、平面解析几何、不等式、平面向量相结合的命题，凸显“知识交汇，能力立意，素养导向”的核心价值.对此，学生普遍感到棘手，如何依据学生的认知差异来设计突破思维瓶颈、迁移思想方法的微专题呢？笔者认为，应该站在学生的立场，贴近学生思维的最近发展区，深度剖析数学内容演化为逻辑的知识序、学生心理活动的思维序及教学流程推进的时空序，在课堂的互动中及时对微探究进行调整和改进，从而促进学生化知为识，化识为能，化能为慧.

一、二轮微专题“三角形背景下的多元变量求最值问题”课堂实录

1.情境引入，文化浸润

师：同学们，著名数学家波利亚就如何解题提出了一张“解题表”，其中包含了解题思维的各个阶段，大家如果感兴趣，可以上网查阅相关资料，拓展视野.解题表中谈及的第一步是“审题”，这是解题成败的关键.这节课的主题为“三角形背景下的多元变量求最值问题”，要研究什么呢？首先请大家来审题，可以从“三角形”、“多元变量”、“最值”三个关键词说起，回忆一下以往所学的知识中哪些涉及了这些内容.

生1：三角形的问题一般研究角、边、三角函数、周长、面积等问题.

生2：以前学过的线性规划、基本不等式、解析几何都涉及了多元变量.

生3：在研究函数图像的变化时会涉及最值问题.

师：非常好！大家的回答都是基于自己原有的知识经验，体现了一种数学直觉.那么，三个关键词整合在一起，正是我们这节课所要探讨的问题，下面开启思维之旅.

教学价值评析：引入著名数学家波利亚的解题表，营造了一种数学文化氛围，激发了学生感悟数学文化的兴趣，也很自然地揭示了“审题”这个关键词.引导学生通过审题，自觉地进行相关性联想，实现了新知对已学知识的同化和顺应，进一步理清了知识系统的内在逻辑关联，谨防“碎片化”，力求“整体化”.

2.经典重现，纵串横联

例题（2019无锡期末14题）在锐角三角形ABC中，已知2sin2A+sin2B=2sin2C，则的最小值为______.

师：课前请大家预习了这道题，大家觉得熟悉吗？

生4：上学期期末考试的填空题第14题.

师：记性不错！这道题是三角形中多元变量求最值的经典问题，它不仅有丰富的知识内涵，更蕴含着可以迁移推广的应用价值，值得我们再次回味.请同学们谈谈自己的解题思路和方法.

生5：我是从三角恒等变换的角度入手.先看已知条件，其为关于三个角的正弦的平方式，显然化边容易，即2a2+b2=2c2，然后感觉变量较多，需要消元.因为a2=b2+c2-2bccosA，代入2a2+b2=2c2，可得3b=4ccosA，再由正弦定理边化角得3sinB=4sinCcosA，可消去角B，得3sin（A+C）=4sinCcosA，进一步展开得3sinAcosC+3cosAsinC=4sinCcosA，即3sinAcosC=sinCcosA，这是齐次式，联系目标式，化弦为切，可得tanC=3tanA，这样

师：思路清晰，推理严谨！从问题的条件入手，通过边角互化，消元减元，统一名称，从而达成目标，这是通性通法，是可以迁移应用的.还有其他思路吗？

生6：我关注的目标是关于正切的式子，想着在三角形中看出tanA，tanC.

师（追问）：精彩！“看出”这个词我喜欢，体现了思维的可视性.如何看出？

生6：如图1所示，过点B作BD⊥AC，垂足为D，这样就产生了两个直角三角形，此时，tanA=

图1

师：此处应该有掌声！（学生热烈鼓掌）轻轻的一条线，打动了你我的心！不仅如此，这条线化斜为直，实现了数到形的完美跨越，这是一个视角的创新.这种化斜为直的方式有类似的研究经历吗？

生6：推导正弦定理的时候用过.

师：非常好！用联系的观点看问题，会更加全面且深刻地认识问题.那么，接下去该怎么处理呢？

生6：可以设BD=h，AD=x，CD=y，代入2a2+b2=2c2，可得2（h2+y2）+（x+y）2=2（h2+x2），即x=3y，这样就可以用来表示，最后用基本不等式也可求得最值.

师：通过转化变量，达成多元归一.如果从形的视角思考，结合以往的研究经历，那么还有其他的解题途径吗？

生7：刚才的解法中，出现了互相垂直的两条直线，由此联想到建立坐标系，尝试用轨迹的思想来解决问题.

师：思维敏锐，观察入微！必须给你点赞.那么怎样建立坐标系呢？

生7：我觉得以AC的中点为原点比较好，这样A，C的坐标就相对确定了.

师：很好！你的依据是什么？

生7：基于点的对称性.

师：在以往的学习经验中，还有哪些内容涉及了对称性？

生7：函数的奇偶性及圆锥曲线的对称性.

师：不错！由此及彼，注重知识内部要素之间的相互关联.下面请大家顺着生7的思路，尝试解决问题.

（学生若有所思，动笔尝试）

图2

师：一气呵成！建系设点，数形结合，从形的直观到数的严谨体现了动态思维的应用价值.

教学价值评析：基于学生的认知基础和心理发展机制，选择学生熟悉的期末考试题作为思维载体，采用先行组织者策略，让学生自主探究，归纳总结.通过三角变换、化斜为直、建系求轨迹三个不同的视角来呈现学生的思维差异和能力层级，有助于教师动态评价和矫正学生思维进阶的行为.教师精心设计元认知问题串，帮助学生纵向对问题溯源探流，横向对相关知识进行整合联系，有效地完善了学生的认知结构，形成自然思维、自主辨析、自觉迁移的生长智慧.

3.变式引申，模块积淀

师：昨天我们做了一道类似的题目，出错率极高！通过刚才同学们自主探究所得的解题策略，请大家自己设计思路，并重新解决这个问题.

变式：已知在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若tanA=2tanB，则的最大值为______.

（学生满怀信心，自主探究）

生9：由已知条件tanA=2tanB，可得sinAcosB=2sinBcosA，角化边可得，即3b2+c2=3a2，联系目标式的结构，可以变形为1，这样可以利用三角换元，设，容易求得最大值为2.

师：目标意识很强！转化能力也不错！同学们还有其他想法吗？

生10：也可以通过作高的方法，得到底边两部分的长度比值，然后在两个直角三角形中将高算两次，很快可以得到3b2+c2=3a2，接下去，也可以用直线和椭圆的位置关系来解决问题.

师：为你的创意点赞！算两次的思想太重要了，需要内化为我们的思想模块和经验模块，以便在类似的问题情境中能够自觉调用.大家回忆一下，算两次一般会应用在哪些场合中呢？

生11：等积转化就很典型，还有二项式定理的证明问题也经常用到.

师：说得很到位！其实算两次的应用很广泛，大家在学习过程中一定要用心积累，深入理解，迁移应用.

教学价值评析：通过错例重做、变式串讲、思维点拨，进而激发学生思维的批判性和创造性.通过例题与变式的对照，引导学生自主发现期末考试题的题根即tanA=2tanB，这是一个重要的知识生长点，进而可以从数和形两个方向入手，这是需要积淀的知识模块，而问题的处理过程中蕴含着算两次的重要思想，这又是需要内化的思想方法模块.只有多种思维模块融会贯通，才能举一反三，触类旁通，实现从“术”的提炼走向“道”的升华.

4.育人先行，文化自觉

师：同学们，笛卡尔曾说过：“我思故我在.”这是极具哲学内涵的一句话，以此与大家共勉.希望大家课后上网去查阅相关内容，结合本课的所学所悟，撰写一篇数学小论文，期待下次的交流.

教学价值评析：借助数学巨匠笛卡尔的经典名句“我思故我在”来结束本课，做到了前呼后应.文化育人在于潜移默化，在于持续影响，在于形成自觉.阅读与写作能促进学生形成自我成长、自我超越的慧根，更能让学生的数学思维“看得见，听得到”，这正是育人价值的真实体现.

二、教学点滴启示

“微专题”立足于小切口、新角度、明指向，力求因微而准、因微而细、因微而深、因微而精，学习进阶视域下的微专题设计，有利于帮助学生选择思维进阶的最优路径，铺设层层递进的思维支架，建构整体化、系统化、结构化的思维网络，这也是实现精准复习和深度发展的关键.结合本课，笔者认为要突出以下三个方面.

1.多线交织，灵性飞扬

本课以例题和变式的思路演绎和解法呈现为明线，以数学思想方法的渗透和领悟为暗线，旨在培养学生数学抽象、逻辑推理和直观想象等数学核心素养，焕发学生思维的灵活性，激发学生学习的兴趣，让学生充分体验到数学教学的育人价值.

2.凸显主体，互动生成

微专题的设计基于学情、教情、考情，要动态监测预设与生成的契合度，要在师生互动交流中调整和优化.学生是教学空间中的主体，是智慧和激情综合反应的载体，是思维故事完美演绎的主角.因此，在课堂活动中要给学生足够的思维空间和表现时间，通过生生交流、师生交流、多元评价、示范辨析等形式，培养学生深度学习的能力.

3.能力立意，素养导向

有别于一轮复习，二轮微专题复习注重串知成链、构思成面，引导学生用联系的视角来看待问题，要站在高中数学整个知识体系的高度来俯瞰全局，形成高观点、宽视野、大格局.在微专题实施的过程中，要深挖知识的生长点，注重思维的多向性，努力提升学生的数学核心素养，并使其能自觉地迁移到生活和工作中，这才能完美地诠释教育的本真价值.