由点及面，把握整体

杨晓洁

[摘  要] 对于高中生而言，学习数学的目的不仅是为了解题，更重要的是领会数学中蕴含的数学思想方法，并能够将其运用于实践之中. 因此数学教育者在实施教学时，应遵循“大处着眼、小处着手;由点及面、把握整体”的原则，将一个知识点与一种数学思想方法结合起来，提升高中生数学核心素养.

[关键词] 高中数学;由点及面;把握整体;思想方法

在高中数学课堂教学实践中，教育者习惯性地仅围绕一个知识点展开教学，而在备课时也习惯性地备一节课，或者一章课，然后再通过例题进行演算，其结果就是导致了学生的学习被限制在这一个“点”上，无法将数学知识系统性、整体性地联系起来. 一个知识点将它孤立出来，并不容易被理解，反而将它放在完整的知识体系中，会对它的作用有一个更清晰的认识，这就是一种整体性思想. 同样，学生在进行数学学习时，如果将视野仅放在某一题或者某一类型题的解法上，思维就会受到局限，题型稍加变化就会束手无策. 而只有通过某个知识点的学习，让学生领会并掌握其中的数学思想方法，再将其运用于数学实践中去，如此进行融会贯通，才能够真正地让学生学有所得、学有所成. 因此，在高中数学课堂实践中，教育者应把握整体，由点及面、点面结合地实施教学，本文以“一元二次不等式”教学设计为例，对此进行了详细阐述.

[?]教材和学情分析

“一元二次不等式”是高中数学必修五的内容，教材主要围绕着概念形成以及解法，对“一元二次不等式”与一元二次方程以及二次函数之间的关系进行了重点研究. 对于高中生而言，他们已经具备了一定的基础性知识，对一元二次不等式和其解法都有所了解. 因此在教学活动的组织中，教师应把握课程整体性内容和目标，注重引导学生通过知识表面挖掘数学本质，培养他们自主探究的学习能力，提高他们的数学思维以及数学思想方法在解决问题过程中的实践应用，以“不等式” 为点，引出定义概念，让学生探讨多种解法，从中渗透“数形结合”等多种数学思想方法，让学生能够将“一元二次不等式”与其他知识点完整地、系统地联系起来.

[?]教学过程设计

1. 创建问题情境，引出“不等式”

王华和张明两个一起到网吧上网，看到两个相邻网吧推出了不同的收费标准：网吧A一小时收费1.5元，不足一小时的统一按一小时收费;网吧B是用户上网的第一个小时按1.7元收费，第二个小时按1.6元收费，依次递减直到满17小时后，按17个小时标准收费. 看到这时张明毫不犹豫地说网吧B收费更划算，你同意吗？网吧A在哪种情况下收费要少于网吧B？

生1：我不同意张明的建议，费用不但和收费标准有关系，上网时间也应包括在内.

师：如果将时间设成x，花的网费是y，网吧A的费用是1.5x元，其中x≤17，x∈N*，那么网吧B的费用怎么表示？

生2：用图表可以进行直观表示.

（让学生上台进行现场画图演示，图略）

师：所以，通过求和数列可以得出网吧B的费用是（x≤17，x∈N*），如果想让网吧A的费用少于网吧B，必须满足：>1.5x（x≤17，x∈N*）. 从这个过程中我们体验到了数学表征的文字、图像和符号三种语言，以及建模的数学思想方法.

设计意图：从学生熟悉的知识，同时也是本课内容最基本的一个知识点“不等式”为切入点，并在问题情境上使用了教材情境，这使该课立意更加突出. 系列化的问题情境，特别是在网吧选择问题上，运用了“数学化方法”进行了处理，“文字表述”在老师的引导下转化成了“图表表述”，最后又转化成了“符号表述”，“数形结合”思想得到了有效体现，数学本质也在问题情境引出的“数学化”方法过程中得到了充分体现.

2. 通过“定义”进行多种解法的探讨

从被简化的式子“x2-5x<0”中，鼓励学生对“一元二次不等式”进行定义并让他们在纸上将自己熟悉的一些一元二次不等式写出来，然后引导他们进行不等式“x2-5x<0”的求解. 学生可以独立完成，也可以结组讨论，给出不同解法，其中对有代表性的进行板书：

设计意图：从“不等式”这个点延伸到“不等式定义”，再延伸到不等式的解以及不等式的解集与函数图像的关系，由点到面逐渐递进，注重让学生体验知识是如何从发生到发展的整个过程. 鼓励学生自主探索不同解法，并通过问答形式，让学生对解法进行回顾与叙述，并在老师的有效引导下，让学生的关注点从“一元二次不等式”转移到“函数值”和“坐标值”上，最后让学生自己来总结和归纳“一元二次不等式及其解法”，是方法论的渗透与实践.

3. 总结与练习

师：现在我们先进行一下小结，从以上学习中大家总结一下一元二次不等式的解题方法以及过程，我们都学习到了哪些不同的解法，以及体验了哪些数学思想？

学生一一进行了分析，对解法和过程进行了叙述，对三种不同的方法进行了归纳、总结和分析，并从中感受到了“数形结合”“从特殊到一般”“转化”等数学思想.

设计意图：小结的目的是帮助学生回顾和巩固. 学生从解法到多种解法的分析，最后是数学思想方法的体验与感受，从点到面、点面结合地对自己所学的知识进行了一次系统性的梳理. 其目的是引导学生去发现蕴含于知识深层次的思想方法，特别是对学生渗透“算法思想”.

师：大家总结的非常好，那么现在我们用一道“变式训练”，来进行一下数学知识的实践与应用：“求不等式x2-5x<6的解集”“求不等式-x2+5x<7的解集”“求x2-5x+7<0的解集”.

设计意图：通过“一题多变”对学生进行巩固和強化训练，也是对学生是否能够将解题方法与数学思想应用于实践的一个考量. 特别是因式分解的方法，虽然和函数解法存在差异，但它也是对“图像解题”思想方法的体现，在以后“高次多项不等式”的学习、研究和探索中会发挥很大作用，能为学生的后续学习打下基础.

最后，通过小组形式进行课堂练习. 组内成员可以互相出题考查对方，也可以以小组为单位向其他小组提问，通过“自问自答”的模式创造性地进行练习设计.

[?]结 论

新课改给教育者传递的一个重要信息，就是“创造性学习”，而只有创造性地教才能够确保学生可以创造性地学，秉承这样的理念进行教学设计，才能够实现整体性目标. 通过“一元二次方程”的教学过程，可以看出从刚开始让学生在纸上进行“编题”，到最后以“自问自答”模式进行练习，都体现了学生主体的教学思想，学生在这种创新活动中表现出了极大的兴趣和积极性. 而整个教学过程，老师始终站在整体性教学内容与教学目标的立场上，从开始由问题情境引出的基础知识为切入点，让学生逐渐深入地进行数学本质的挖掘与认识，在多种解法以及变式训练中去体验和感受数学方法和数学思想，以点带面、点面结合地将数学从知识向思想方法进行了过渡和延伸. 课堂效果和课堂实践证明，只有把握整体，由点及面地组织教学，才能够帮助高中生建立起系统性、完整性的数学知识体系.