要重视学生数学语言表达的教学

黄桂君 王新珍

[摘  要] 目前学生在数学语言方面存在着叙述不清楚、表达较随意、图形识别有困难等现象，所以要注意引导学生数学口头表达，重视指导、训练学生的数学书面表达，培养学生数学语言的综合应用能力.

[关键词] 数学语言;规范表达;教学重视

问题的提出

数学语言主要有文字语言、符号语言、图形语言. 数学语言很重要，因为“数学教学也就是数学语言的教学”“数学语言的表达是数学学科核心素养的重要内容”[1]. 但教学中没有引起足够重视，导致学生数学语言表达能力弱化.例如：

1. 概念叙述不清楚（数学文字语言）

笔者做了一个简单的调查，在2016级高一第一学期结束前随机抽取了两个班——请高一（2）班（51人）学生说（口答）出初中和高中数学函数的定义，请高一（9）班（49人）学生写出初中和高中数学函数的定义，结果每个班约有八成的学生说（写）不出或说（写）不完整（特别是高中数学函数定义），但有关函数的题目却照做不误.

2. 符号表示较随意（数学符号语言）

3. 图形识别有困难（数学图形语言）

[?]要善于引导学生口头表达

1. 通过设置问题的梯度进行引导

要多让学生尝试用数学语言来表述.如关于函数的定义，要高一的学生回顾说出初中函数的定义，一连喊了几个学生都不会说（因为考试不考），或者勉强说了个大意.然后要求他们再用对应的思想、集合的语言尝试重新阐述函数的定义（苏教版普通高中教科书《数学·必修1》），学生不预习不看着书就几乎不会说.

而在实际教学中有不少老师往往采取如下的方法来讲授函数的概念，先将函数的定义直接很快地投影一下：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则‘f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫作从A到B的一个函数，通常记为y=f（x），x∈A.其中所有的输入值x组成的集合A称为函数y=f（x）的定义域;所有的输出值y组成的集合B称为函数的值域.”

接着就是通过题目，如判断下列对应是否构成从集合A到集合B的函数：

反过来，弥补函数概念理解得不到位，强调函数定义中的关键词、注意点——“两个非空数集”“A中每一个元素”“B中有唯一的元素”“从A到B”等. 当然这样做不能说一点效果都没有，而笔者是这样一步一步引导学生尝试用集合的语言来表达的：

（1）用集合的语言来表达，集合在哪里？集合是怎么定义的？笔者用彩色粉笔将教科书中3个引例的数据圈起来作为相应的集合：①将1949～1999年我国人口数据表中年份这一行数据圈起来形成集合A，将人口数这一行数据圈起来形成集合B，并用“↓”（另一彩色粉笔）将1969→807上下两个数据对应起来.②将某市一天24小时内的气温变化图中的横轴上的时间数据圈起来形成集合A，把纵轴上的气温数据圈起来形成集合B，并用“[←][↑]”将两个集合中的时间与温度两个数据对应起来.③将之前请学生回答初中函数定义时，用物体自由落体h=gt2（g值取9.8）模型启发，时间取一组数，用“→”指向对应的物体下落的高度，这些有意留下來的数据，时间圈起来作为集合A，下落高度圈起来作为集合B.

（2）集合有了，下面怎么表述？再启发：将某一年份、一天中某一时间、下落某一时刻记为x，沿着箭头“→”指向的那个唯一的数记为f（x）（称它和x对应）. 这时学生基本上能叙说了，接着教师再跟学生一起完善函数定义的阐述.

教学中我们既要教给学生一些方法，更要注重教会学生思考，让学生“跳一跳能摘到果子”.

再如，关于函数的奇偶性，重点和难点都是怎样用数学语言来刻画函数奇偶性的定义.

图形语言直观刻画——函数图像关于y轴成轴对称图形或关于原点成中心对称图形.

文字语言定性刻画——互为相反数的两个自变量对应的函数值相等或互为相反数.

符号语言定量刻画——？

如先提问学生：（1）从对称角度，你发现了什么？（2）从数学的角度，如何来表示这种对称性？

再到一般化定义：“如果对于函数y=f（x）定义域A内任意的x，都有f（-x）=f（x），…”由于教材前面刚安排过函数的单调性，所以可以类比，不要急于给出定义（数学语言的表达），学生不难理解，且能真正领悟其实质.

2. 多进行师生、生生之间的交流、讨论

“学重要的在于说，教重要的在于听”.不要怀疑这句话是不是说错了，因为我们一般总是认为老师是讲的，学生是听的，然而仔细想想，这句话说的是多么的正确，这是因为教师首先要倾听学生哪些需要教师讲，哪些不需要教师讲[2].

有时我们教师感到困惑：自己已经尽力，讲得一清二楚了，可是学生怎么还是不会呢？一次笔者要求一个学生举一个当天课堂上的例子，他说老师你课上说，如果一个函数f（x）满足f（2+x）=f（2-x），那么这个函数的图像关于直线x=2对称，高一数学老师也是这样讲的，可是作业题中出现了f（4-x）=f（x），f（1-x）=f（x+3）等时，我就不会了. 笔者是这样再讲给这位学生听的：“考察函数y=f（x）图像上的两个点A（1-x，f（1-x））与B（x+3，f（x+3）），结合条件f（1-x）=f（x+3），你能发现这两个点之间有什么关系吗？当A点变化时，B点也跟着变化，这样构成的图形具有怎样的特征呢？”

要善待学生的高度，不要指望学生跟你站在同一高度.

学生之间问问题时，常听某学生说，我问某某同学，他说的我听不懂，我说的他也不是很清楚.其实相互之间交流听不懂的一个重要原因，多数情况下是数学语言表达不规范，导致交流不畅.

[?]重视指导、训练学生的书面表达

1. 关于填空题（只要求直接写出结果，不必写出计算或推理过程）

填空题书写要规范、到位（完整），如不要把函数的单调区间写成不等式的形式，多个单调性一致的区间中间用逗号隔开，不能并. 定义域、值域、解集等则必须写成集合或区间的形式，具有周期性的结论中“k∈Z”不能丢，题中有单位的答案中单位不能少，结果要化成最简形式，用具体数字作答，等等.

2. 关于解答题（要求写出文字说明、证明过程或演算步骤）

（2）求变量的取值范围，是用分离变量法？还是运用原函数或构造新函数的性质？要灵活选择方法，不要教条为一种方法用到底.如本小题：

[?]培养学生数学语言的综合表达能力

1. 对于别人的口头数学表达要能听懂并领会其含义

2. 对于书面呈现的数学文字、符号、图形要能阅读和理解

3. 数学文字、符号、图形等语言之间的转化训练

数学教学不要总是忙于赶进度，问题解答不要急于抢速度，练习作业不要过于争数量. 平时要引导学生反思着解题，规范的表述.不要闷着头一条一条地往下做，“题海战术”“大运动量的重复训练”效率低. 要多考虑效果、质量，不要追求“高效”，制作快餐，而忽略了教育本身的原味. 教育需要慢节奏，需要慢慢地品味. 急功近利，没有未来！

数学家狄尔曼说过，数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言……通过数学，自然界在论述;通过数学，世界的创造者在表述;通过数学，世界的保护者在讲演.

“其实数学不难，学生之所以认为难，我认为是因为教得不够好……”这是美国加州大学伯克利分校项武义教授在第十一届“苏步青数学教育奖”颁奖活动中所说. 笔者以为学生数学语言的表达就“教得不够好”.

因此，我們要重视学生数学语言表达能力的训练和培养.

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]  黄桂君. 慎教善导 激趣启智——呼唤所有学生共享数学思考的乐趣[J]. 中学数学杂志，2015（3）.

[3]  黄桂君. 教会学生思考比教给学生方法更重要[J]. 数学通报，2017，56（5）.

[4]  苏教版新课程编写组编写.普通高中课程标准实验教科书·数学（必修）[M].南京：凤凰出版传媒集团，江苏教育出版社，2012.