用好高中数学教材中的“养分”

张莹莹

[摘  要] 针对不少高中数学教学赶进度、压缩课时的现状，分析因此而导致高中数学教材中三类容易被忽略或压缩的内容，剖析这种应试教育的做法导致的严重后果：高中数学课程价值的贬值及学生对数学学习产生误解. 笔者认为这些被忽略或压缩的内容很有价值，不应被忽略，结合笔者的教学研究与实践，提出一系列行之有效的方法善用、巧用这些内容（笔者谓之“养分”），可以提高学生学习数学的兴趣，使学生充分认识数学的价值，锻炼学生的数学思维，提升学生分析和解决问题的能力以及应变能力.

[关键词] 高中数学教材;价值;养分;数学思想方法

[?]问题的提出

《普通高中数学新课程标准（2017年版）》中明确指出了高中数学课程的价值：“通过高中数学课程的学习，学生能提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力;树立敢于质疑、善于思考、严謹求实的科学精神;不断提高实践能力，提升创新意识;认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值.”

近几年，大多数学校在高一高二两年尽可能地将高中数学课程大部分内容全部教完，然后利用高三近一年时间进行系统复习. 这种做法可以让学生有较充足的复习时间，但同时数学课时变得非常紧缺. 于是，不少学校的数学课堂开始了“削枝强干”：把被认为无关紧要的或者高考极少出现的内容进行压缩，甚至省略不讲，力图抽出更多的时间对学生进行知识巩固、强化练习. 笔者认为，这些内容恰恰是高中数学教材中不可或缺的“养分”. 这种带有功利性的应试教育做法导致一系列不良后果的产生：数学知识链被卡断，学生对数学知识一知半解，数学课堂变得索然无味，学生面对高考缺乏灵活的应变能力.

[?]被忽略、挤压的“养分”类型

根据笔者经常到多所学校进行的听课、学习研讨，以及与各校同行的日常教学经验交流，了解到被忽略、被挤压的“养分”主要有如下三类：

1.高考考得比较少的基础内容，较易被忽视

高中数学教材里很多基础内容由于在高考中考查的形式并不直接，或者考查得比较少，往往会被排除在应试复习之外，也不受数学教师的重视. 但这些简单的基础内容一旦在高考中出现，就突显了学生某些知识的薄弱或缺失. 例如，以下这两道高考题：

（2017年全国Ⅰ卷·理科19题）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）. 根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）.

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望;

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性;

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

点评：这两道题分别是2017年全国高考Ⅰ卷数学理科19题和2017年全国高考Ⅰ卷数学文科19题. 两题都出现了极少考查的正态分布，文科19题还考查了多年未曾在高考出现的相关系数. 这些考查都是高二必修3第二章统计中的基础内容. 将这道题给刚学完统计的高二学生做，他们普遍都觉得难度不大. 但由于高考在正态分布和相关系数上考查得较少，这部分内容在备考复习中不受重视. 理科19题的第（2）（ⅰ）问要求学生试说明上述监控生产过程方法的合理性，不少理科考生反映尽管知道学习过正态分布的3σ原则，但就是不知道该如何运用正态分布的3σ原则来说明本题中监控生产过程方法的合理性. 文科19题已提供了第（1）问相关系数公式中的绝大部分数据，但考生普遍反映不懂得如何将这些数据联系公式进行处理.

2. 有公式可套用的知识，被省去推导过程

高中数学教材中很多知识经过推导后得到公式就可以加以运用. 不少应试教育的数学课堂并不重视知识的推导过程，更关注套用公式的强化练习. 有许多教学内容要讲好讲透并不容易，跳过这些内容去直接套用公式则相对简单得多. 这就使得应试教育似乎找到了合理的发展. 例如，必修3中的算法案例高考中出现的频率极少，不少学校并不提及这些案例中的推导过程，仅仅给出可以照搬照套的解法就算了. 还有一些学校根本不上这个内容的课，学生高三复习了也没听说过算法案例中的内容. 又如，必修4第三章3.1.1两角差的余弦公式一课中教材分别用单位圆上的三角函数线及向量的知识探究两角差的余弦公式，推导出公式后便加以运用. 由于利用单位圆数的三角函数线来推导两角差的余弦公式相比运用向量的知识进行推导的过程要耗时较多，有些生源较差的学校为了完成教学任务，在数学课堂便跳过推导过程，直接给出两角差的余弦公式，让学生照套公式进行运用. 而生源较好的学校也有的为了强化运用，压缩推导两角差的余弦公式的过程，较直接地牵着学生迅速找出公式，腾出更多时间进行公式的正用、逆用、活用.

3.一些与生活联系紧密的应用题，被认为考查的可能性较低而简略

由于应用题对学生综合能力的要求比较高，需要学生能通过仔细读题、审题，进行适当的数据处理、分析、建模，认真思考、运算，规范作答等各个环节才能圆满解决好一道应用题. 而要引导学生圆满解答应用题需要花较大功夫，如进行分类复习和强化练习等，才会有一定的收效. 这类题往往被认为考查的可能性较低，不少数学老师较忽视对学生进行复习指导，有些数学课堂上也只是对其略略带过了事. 直到高考出现这类应用题，才引起数学老师的重视. 例如，以下这道广州市普通高中毕业班综合测试题：

（2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）·文科18题）某地1～10岁男童年龄xi（岁）与身高的中位数yi（cm）（i=1，2，…，10）如下表：

（1）求y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）;

（2）某同学认为，y=px2+qx+r更适宜作为y关于x的回归方程类型，他求得的回归方程是y=-0.30x2+10.17x+68.07.经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm.与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？

附：回归方程[y] =+x中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=y-x.

点评：此题为2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学文科18题. 它以回归直线方程模型解决实际问题为载体，从题目的设计体现了统计中从散点图初步分析原始数据关系，建模，进一步计算得到线性回归方程，结合与现实拟合度分析调整模型的过程. 第（2）问需要学生通过数据运算及对比现实情况，比较两种建模中哪个回归方程的拟合效果更好. 在必修3教材中有类似的例题，只要進行了相应的复习，要解决此题并不难. 可是，由于不少数学老师认为这部分内容在高考中出现的概率较低，并没有重视这类建模比较分析的复习，导致此题得分不理想.

从以上被忽略、挤掉的内容来看，被挤掉的“养分”也是基础知识之一，是认证数学定理的推导过程及提升认识问题、解决问题的能力的载体，是数学在人类社会中应用的理解和体验，是发展多向思维和创新意识的基础性引导. 如果挤掉这些“养分”，将会带来什么后果呢？

[?]挤压“养分”的后果

1. 数学变得索然无味，学生往往一知半解

被挤减“养分”的数学课堂忽略了数学知识的严密性，忽略了知识环环相扣的完整体系. 这样的课堂往往充斥着解题模式及解题技巧. 学生对所学的知识“知其然而不知其所以然”，只是不断通过模仿老师的解题模式，去做大量的数学题，数学课堂变成一个应试的课堂. 数学在学生眼里就是一堆枯燥无味的式子，数学变得索然无味. 学数学就变成了不断地算数、解式子.

2. 助长了学数学无用的误解，降低了学生学数学的兴趣

可想而知，一旦被挤掉了“养分”的数学课堂沦为应试教育的课堂，就更加助长了数学无用论论调的喧嚣. 有一名学生问他的数学老师：“学数学有什么用？难道你会用一次函数去买菜？”这一个提问恰恰是当今社会众多应试教育教出来的学生对数学的误解. 在应试教育的作用下，学生接触到的数学课堂是不断解决大量数学题及学习解题技巧的课堂. 学生以为学数学只是为了应付高考，并没有感受到数学对整个人类社会带来的影响.

3. 堕入应试教育的死胡同，难以灵活掌握所学的知识

为应试而“削枝强干”挤掉“养分”，值得吗？应试教育的教师将近几年的高考热点进行剖析，关注所谓的热点问题，同时也根据这些热点进行盲目拔高，甚至在高一初学阶段就让学生反复练习一些高考的难题. 在复习阶段应试教育的教师易陷入押题模式，只关注高考出现过的内容及考题，对于其他在高考中少有出现的教学内容不组织复习，甚至略过不教. 这种应试教育的结果显然是死板的，教师和学生都不能灵活应试，更何谈灵活运用数学知识解决实际问题. 这样一来，高中数学课程的价值就贬值了.

[?]转变教育观念，正确认识被挤掉的“养分”

明确认清应试教育目的在于应试，而高考的选拔性考查是立足于数学基础上的，对分析、转化和解决问题能力有较高的要求，对数学思维能力的要求更高. 因此，不但不能挤掉教材中的“养分”，而且还应该重视这些“养分”.

首先，作为基础知识的“养分”是数学的根基，必须让学生扎实掌握. 否则，数学就像一座没有根基的建筑随时面临坍塌. 教学中应一环扣一环，以免知识缺失，影响学生对内容的理解、对知识一知半解.

其次，蕴含丰富的数学思想方法的“养分”不能省略，因其可以锻炼学生的数学思维，提升学生分析问题、解决问题的能力. 推导过程也可以唤醒学生对数学知识的记忆，提高灵活的应变能力，提升数学高考成绩. 托尔斯泰说过：“知识，只有当它靠积极的思维得来而不是凭证记得来的时候，才是真正的知识. ”

再次，数学在人类社会的应用中比比皆是. 被挤掉的“养分”与生活联系密切，正体现了数学的实用性. 数学课程的价值正是通过学生的数学知识、思维方式作用于自然界和人类社会的实用性而体现出来的. 反之，应用题的实用性又可以促进学生对数学课程的学习有进一步提高.

最后，学习贵在举一反三，灵活运用. 高考考查的是深刻理解、灵活运用数学知识，而不是模仿. 高考卷中与生活实例相结合的数学题比重在加大.

因此，转变教育观念，正确认识被挤掉的“养分”的数学价值尤为重要.

[?]巧用“养分”及效果

1. 挖掘“养分”蕴含的数学思想方法，帮助学生深刻理解数学基础知识

看似简单明了的数学基础知识背后往往蕴含着丰富的数学思想方法，而这些数学思想方法需要通过具体的实例才可以逐步为学生所了解. 学生明白这些数学思想方法后，能更清晰地理解所学的基础知识，更扎实地掌握这些内容. 注重挖掘“养分”中丰富的数学思想方法，以针对学生能力层次的恰当教学方式可以帮助学生更好地领悟所学知识. 例如，人教版必修3第一章算法初步中1.3算法案例. 这一节集中了中外古老而经典的算法，还包含了多种数学思想方法，体现了人们的生活智慧. 以下是笔者的课堂实例片段：

案例：笔者让学生先求出18与30的最大公约数为后，提出让他们求207与368的最大公约数. 这时，很多学生尝试了几个可能的公约数后面有难色.

师：为什么不继续做下去？

生：刚才数小一点还好处理，现在给的两个数太大了.

师：数小就可以处理，那么能否将数变小呢？哪些运算可以将数据变小？

生：减法、除法. 但是这样一来数字变了. 还能求最大公约数吗？

师：那么，我们不妨设a为207与368的最大公约数，则207能整除a，且368也能整除a，所以368-207=161也能整除a. 也就是说，a是207与368的最大公约数，那么a也是207与谁的最大公约数？

生甲：a也是207与161的最大公约数！也就是说，只要把较大的数减去较小的数所得到的差和原来较小的数的最大公约数仍然是我们要找的最大公约数.

生乙：那我们可以继续用其中较大的数减去较小的数，这样数据变小了，但仍可以求最大公约数！

师：对. 你们尝试做下去看看.

（学生继续往下做，207-161=46，161-46=115，115-46=69，69-46=23，46-23=23）

生：减到剩下两个23了，再相减就是零了. 怎么办？

师：当剩下的两个数相同时，那它们的最大公约数是多少？

生：噢，最大公约数是它们本身. 也就是23了.

笔者让学生自己小结这种算法，并简介其为中国古代《九章算法》中的更相减损术，蕴含了递归思想. 学生觉得挺有意思，佩服前人的智慧. 接着笔者又抛出问题：求8251与6105的最大公约数. 学生马上跃跃欲试，做了一会有部分学生停了下来感觉数学太大，用减法太慢了. 这时，笔者提醒他们将数据变小除了用减法还可以考虑用除法，能否类比刚才更相减损术的分析方法来分析用除法是否可行？于是，学生在小组讨论中自己导出了辗转相除法并小结了这种算法. 体会了数学无分国界，都是源于生活的智慧.

在笔者的教学经验中，深刻体会到这些算法案例给学生带来了面对实际问题时应保持勤于思考、寻求解决问题途经的力量，体验数学思想方法带来的乐趣，让学生更热爱生活.

2. 紧依教材，让学生在体验公式完整的推导过程中汲取“养分”，获得思维锻炼

教育家柏拉图说过：“数学更高的价值在于培养纯粹的思维能力，启发人们向往理念的端倪;便于将灵魂从变化世界转向真理的实在. ”因此，对那些有推导过程的“养分”重视并让学生体验真实的过程以锻炼学生的数学思维能力. 以必修4第三章3.1.1两角差的余弦公式一课为例. 鉴于教科书将两角差的余弦公式教学安排在介绍了单位圆上的三角函数线及平面向量数量积的坐标表示之后，除了意在让学生能联系已学过的知识，尝试分别利用单位圆上的三角函数线及向量的知识进行两角差的余弦公式的推导，还体验数形结合的思想，锻炼数学思维. 因此，如何引导学生数形结合构建推导公式的数学模型既是本节课的重点又是难点. 如果由教师直接牵着学生走完这两个推导的过程，势必剥夺学生猜想、联想、探索的机会，也会让学生错失温故知新、学以致用的机会，而将数学课堂沦为仅仅是得到一个公式不断去套用的技能课堂. 为了抓住这个激发学生充分运用猜想、联想、对比、尝试运用已学过的知识自主探索并解决问题的机会，笔者设计并进行了教学，以下是笔者的课堂引导的实例片段.

师：既然想借助单位圆上的三角函数线或数量积的坐标表示来解决问题，那么必须构建一个数学模型来解决，即放到直角坐标系中研究. 下面请大家自行分组，按照自己的想法尝试借助单位圆上的三角函数线或数量积的坐标表示出两角差的余弦值cos（α-β）及角α、角β的三角函数值，看看这些值之间有无关系.

在接下来的课堂探究中，学生学习热情高涨，他们联合有共同想法的同学为一组，开动脑筋处理在数学建模过程中遇到的问题. 例如，在平面直角坐标系中如何放置两个角会更方便运用相关知识？如何通过作辅助线或利用坐标找出相应的三角函数值？如何找出两角差的余弦公式与其他三角函数值的联系？

在笔者的适度引导下，学生分别用两种方法推导出了两角差的余弦公式. 笔者又引导学生思考角α、角β的大小关系会否导致所推导的公式有所不同，给学生留下课后进一步探讨的空间. 在接下去的公式运用中，学生对自己所推导的公式印象较为深刻，并对非特殊角求余弦值问题时会首先考虑将角写成两个特殊角的差的形式，以便运用两角差的余弦公式加以运用. 而且，学生的学习主动性被激发起来，他们感觉这个内容很有意思而且不难. 当天的作业一布置下去，学生就迫不及待地完成了. 这充分说明，即便是有公式可套用的知识，如果能让学生参与到推导过程中去，他们得到的东西远比机械记忆、应用公式解题要多得多，并且能让学生更有信心、更积极地投入到数学学习中去.

3. 引导学生以实际问题建模，培养知识迁移、灵活应用的能力

俄国数学家罗巴切夫斯基说：“不管数学的任一分支是多么抽象，总有一天会应用在这实际世界上.” 当学生汲取了“养分”中的数学知识、思想方法、分析问题和解决问题的方法后，应引导他们将这些所得充分运用到生活中去，注重培养学生从生活中发现数学问题、应用知识解决问题的能力.

一方面，笔者注重收集身边与数学有关的素材，加工编写一些数学题，引导学生从生活中发现数学问题. 以下是笔者编写的两道原创题：

（1）根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款;血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款.

据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图3是对这28800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（  ）

（2）某地方卫视台有一个猜对方身份的游戏，共3关. 游戏规则是：第一关猜中1人的身份则可进入下一关，并获奖品A;若不能猜中则游戏结束并且没有任何奖品. 第二关同时猜中2个人的身份则可进入下一关，奖品A升级为奖品B;否则游戏结束并失去奖品A. 第三关同时猜中3个人身份，奖品B升级为奖品C;否则游戏结束并失去奖品B. 每位参加游戏选手不使用观察团帮助时猜中对方身份的概率均为，使用观察团帮助则猜中的概率提高为. 按规定只允许在前两关使用观察团.

现在有甲、乙两人参加游戏，两个约定：甲使用观察团，乙不使用观察团.

①求甲不能通过第二关的概率.

②设两人中恰有ξ人能通过第二关，求ξ的分布列和数学期望.

点评：第1题是笔者根据《中华人民共和国道路交通安全法》对于酒驾问题的规定及《法制晚报》报道进行的编写，已被选入2010年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学文科卷作为选择题第7题. 第2题是笔者结合江苏卫视节目《非常了得》的节目规则进行原创的. 学生对这些贴近他们生活的数学题感觉很新鲜，结合他们的生活体验更容易理解题目內容，逐步尝试留意身边的数学问题.

另一方面，笔者通过设置一些相应的作业，给学生提供机会将所学的数学知识和方法运用到实际生活中去. 例如，在学完必修1函数应用相关内容后，笔者布置学生利用短假找寻现实生活中的一些实际问题，进行函数建模，解决问题. 学生交上了他们自己选的研究报告：对开关灯用电量的研究，关于电筒应用的研究，研究一家四口用电饭煲煮饭最省电时米与水的比值，等等. 这些都是学生真正将学到的数学知识运用到实际生活当中的体现，既燃起了学生对数学学习的兴趣，又提高了学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力.

[?]总结

综上所述，高中数学教学中，因认为高考考得少等各种原因，忽略或者压缩掉一些教学内容. 笔者认为这些内容是数学的基础知识，它蕴含丰富的数学思想方法，体现数学课程的价值，不应该被忽略或者压缩. 如果这些“养分”被忽略或者压缩，学生将学得一知半解，认为学习数学没有意思，降低了学数学的兴趣，难以灵活掌握数学知识，这与数学教育的初衷产生了偏离. 笔者通过多年教学研究和实践，总结出通过现实生活中实际问题引导学生和让学生经历一些公式的推导过程等方法，从而充分挖掘这些“养分”的价值. 用好“养分”可以激发学生主动学习的热情，帮助学生全面掌握基础知识，认识数学的科学价值和文化价值，灵活运用数学知识;提高学生提出问题、分析和解决问题的能力，促进学生形成理性思维，发展智力和创新意识.

利用好高中数学教材中的“养分”并不会占用太多时间，但能取得不错的效果. 用好高中数学教材中的“养分”还有其他更多的方法有待进一步研究. 笔者抛砖引玉，希望与同行共同交流、研究.