大学数学先修课程的开设探索与思考

曾宏建

[摘  要] 为帮助学生有效对接大学阶段的数学学习，也为增强课程资源的可选擇性，促进学生的个性化发展，高中数学教师要注意加强对大学数学先修课程开设的探索和研究，文章以《微积分》为例，探讨了课程设计的基本构想、目标设计、内容要求、教学模式以及评价方式.

[关键词] 先修课程;微积分;课程设计

在高中阶段，为促进学生有效对接大学某些课程的学习，学校要开设一些大学先修课（即Advanced Placement，简写为“AP”），这些课程具有一定的选择性，可让学生根据自己个性化的需求做出选择. 笔者和本校教研组的同事在教学中积极探索数学先修课的开设实践，下面以《微积分》的课程设计为例谈谈自己的操作和思考.

[?] 微积分先修课程设计的基本构想

早在1996年，当时颁布的《全日制普通高级中学数学教学大纲（实验）》就将微积分的部分知识列入高中数学的选修内容，让学生根据需要进行学习;2004年开始的新课程改革中，有关微积分的教学内容和要求也被修改，2013年版的新课程标准从学生核心素养发展的需要出发，对有关内容进行了完善. 当然，高中数学对微积分的教学要求是比较低的，重心主要落在极限思维和导数上，学生可以借此对微积分形成初步认识，但还是相当模糊，笔者认为这和大学数学的学习具有很远距离，这也是本校开设微积分先修课的缘起.

对学生来讲，微积分的知识和相关技能在自然科学、工程应用等多个领域都有广泛运用，而其所涉及的研究思路在高中阶段的数理化科目中也早就有所涉及，所以引导部分学有余力的学生学习微积分内容，对他们的发展大有裨益. 联系微积分的知识特点，结合学生的实际情形，笔者所设计的“微积分先修课”主要是面向高二学生，授课时间是高二下学期.

微积分课程的基本内容包括函数与极限思想、微积分基本理念、积分计算和应用、微分中值定理与泰勒公式、级数等等. 通过这些内容的学习，学生将概览微积分基本的知识框架，掌握基础性的理论和相应计算方法，这既有助于学生借助相关的理论思想和方法来分析当前问题，也为学生的后续学习奠定了基础[1]. 微积分本身也是一个良性的思维载体，对应问题的分析和研究需要学生将“数”与“形”充分联系起来，而且要综合运用逻辑、推理和演绎等理性思维来展开研究，学生在这一过程中必然会充分对思维的某些特质进行针对性的训练，这些效果是在数学其他内容或者别的学科中很难获得的.

总之，在高中阶段开设微积分先修课能引导学生主动衔接大学课程的学习，同时也能倚靠微积分课程自身的特点来发展学生的思维和能力，是切合学生发展需要的课程设计.

[?] 微积分先修课程的目标设计

在研究微积分先修课的目标时，教师不但要充分考量知识的应用性特点，更要将重心落实在可持续性发展上，这其实也正是数学先修课的总体设计目标，即“认知概念，强化应用，发展能力，提升素养”. 在具体教学中，笔者从知识和能力两个主要维度来设计微积分课程的目标，同时兼顾中学数学核心素养的其他方面，由此来建设一个适合学生能力提升的平台，有效激活学生思维，引导学生在各种探究活动中展开个性化学习，推动学生的有效发展.

从知识和技能等层面来讲，微积分课程有着很强的工具性，它是研究很多问题的重要理论基础，在思想和方法层面，微积分又对应着极限思想、化曲为直、无限分割等操作，为学生对问题的本质性认识和技巧性处理提供了方法和思路. 立足于高中学生的最近发展区，同时也瞄准学生将来的发展方向，笔者从知识技能与思想方法两个方面确定微积分先修课的课程目标.

1. 知识技能方面的目标设计

（1）熟练掌握函数的表示方法，并且能对相关表示方法之间的联系形成理解.

（2）结合变化率和局部线性近似来认识导数，并能够采用导数的概念和相关方法处理对应的问题.

（3）采用黎曼和的极限思路来认识定积分的定义及其内涵，并能够采用积分来处理对应问题.

（4）能用技术工具来帮助问题分析，解释实验现象和结果，并对相关结论进行验证.

（5）能采用科学的表达方式进行数学交流，并能够在交流中分享对数学问题和方法的认识.

（6）能采用函数、导数、积分等概念和方法来解释物理问题，并能围绕物理情境建立相应的数学模型.

（7）能结合微积分的基本理论探求问题分析方法的合理性.

（8）能采用微积分基本定理来理解导数与积分的基本关系.

2. 思想方法方面的目标设计

（1）逐步熟悉微积分基本的运算方法.

（2）综合运用微积分的概念和方法来分析和解决实际问题.

（3）采用微积分的研究思想和方法进行各种建模操作，并能结合计算机的使用来求解问题.

（4）结合微积分问题的处理和分析领会抽象概括的思想和方法.

（5）发展学生的自学意识，引导学生体验并培养逻辑推理的思想和方法.

以上是笔者在探索过程中，结合学生实际以及高中数学的课程特点，设计出微积分先修课的基本目标. 在目标定位上，笔者区分开大学与高中两个学段教学要求的差别，明确先修课不是正式的教学课，也不是预习课，整体要求上是对数学课程标准的延伸，是为了促进学生数学核心素养的进一步发展.

[?] 微积分先修课程的内容和要求

微积分先修课将一元微分和积分作为重要内容，整个课程划分为七个单元：（1）函数;（2）极限与连续;（3）导数与微分;（4）中值定理与导数运用;（5）不定积分;（6）定积分;（7）无穷级数. 下面笔者以第一单元“函数”为例，简单介绍一下主要的教学内容及相应的教学要求.

学生在高一阶段就已经学习很多函数的知识，在平常的学习过程中也经常性地使用这些知识. 考虑到微积分与函数紧密的关系，而且微积分本身概念的严谨性，兼顾到高二学生对这一块知识的遗忘等因素，笔者认为依然要将“函数”作为微积分的第一个单元，基本内容和相关要求如表1所示.

微积分本就是基于函数研究的一种延伸和发展，实数、函数和极限应该是微积分理论的基础，是研究者结合“微元”和“无限逼近”的思想来对函数进行研究. 因此，学习微积分必须从函数开始，这是高中生最熟悉的内容，是他们探索陌生知识时最可靠的落脚点，在此基础上我们再进行新问题的拓展，合乎学生的认知习惯，这样的内容和要求设计能有效衔接学生的知识基础，这样的处理也是我们设计数学先修课的基本思路.

[?] 微积分先修课程的教学模式

我们开设微积分先修课主要是为了引导学生对微积分的概念形成认知，并能够采用微积分的思想和相关方法来处理问题，因此在教学过程中，教师要充分考虑学生的思维和理解，只有学生对内容形成理解才能对知识灵活运用，这也成为我们选择教学模式的基本出发点.

在高中数学的教学中，教师一般都会遵从学生的思维特点来设计问题，然后引导学生展开探索，围绕问题来架构整个课堂教学，让学生能够积极而主动地展开思考，进而有效领会知识，对研究方法和科学思想形成感悟，这种常态化的教学模式在微积分教学过程中依然可以使用.

随着新课程的不断推进，高中数学原有的授课模式正在不断发生调整，教师会将自主学习、合作探究、发现教学、情境教学等教学方式和方法融入课堂设计之中，由此形成适应新时期学生发展需要的课堂[2]. 在微积分先修课的教学实践中，笔者也积极探索适合先修课的课堂组织方式，比如交互式教学，此种教学模式主要分为这样几个环节：（1）导入环节，教师引导学生明确目标，学生形成初步设想;（2）初学环节，学生展开初步学习并发现存在的问题;（3）推进环节，学生围绕问题展开集体探讨，在解决问题的同时对知识形成认识和理解;（4）巩固阶段，学生展开练习，在巩固认识的同时进一步发现和解决遗留问题，并提升认识;（5）作业，学生独立完成作业，既能实现对学习效果的检测，还能加深对知识的理解.

笔者尝试的课堂组织方式还包括探究式教学，此方式包括以下环节：（1）导入环节，教师创设情境引出问题，学生展开猜想;（2）自主探究，教师创造条件引导学生以合作学习的方式展开观察、实验、辩论等活动，全方位地搜集证据证实猜想或对猜想进行修正;（3）总结推广，学生对探究过程中的成果和经验进行总结和提炼，并对相关结论进行举一反三的应用，以此来提升认识;（4）评价反思，教師组织学生对探究过程展开自主评价和相互评价，鼓励学生分享探究心得;（5）作业，学生结合作业评估学习情况，并巩固认识.

在实际教学过程中，教师要根据具体情况来选择教学模式和相关方法，一些概念性比较强的内容，比如极限、微分的概念等等，这些适合传统教学和探究式教学相结合的教学方法，即学生先在自主探究中形成初步认识，教师再结合讲解让学生明确最完整、最科学的表达;一些强调知识运用的内容，适合以探究式教学来进行，比如极限性质的探究、微分中值定理等等，学生在探究过程中将亲历知识的形成，由此产生更加深刻的理解和认识;对于某些侧重于方法和技巧的内容，比如极限的运算、导数与单调性等等，这些可以采用交互式的方式来进行研究，让学生在师生互动、生生对话中发现并研究问题，最终在问题解决的过程中提升认识和理解.

[?] 微积分先修课程的教学评价

一般来讲，考试是最直接，也是最简单的评价方式，将这种方式应用于微积分先修课程能够让教师得到相对客观的评价结果，从而更加有效地指导学生学习. 但是，我们也必须注意到，先修课不是高中阶段的必修课程，是建立学生自愿学习基础上的选择性课程，教师不能单一地采用考试来评价与衡量学生. 为此，笔者认为应该积极建设多元化的评价体系，以过程评价为主，通过评价来引导学生修正自己的学习方式和方法，提升他们的学习效果.

在微积分先修课的实践过程中，笔者首先引导学生在每一次自主学习与合作探究的过程中就展开自主评价，评价的内容主要包括参与研究的动机和态度、探索过程的自信程度、独立思考的方法和习惯、合作探究的意识和热情、数学能力的发展状况等等，这些评价主要是定性的，笔者希望通过这样的评价来促进学生展开反思和交流.

评价还可以是作业的完成情况，微积分先修课的作业包括常规的习题，还包括具有开放性和探索性的研究课题、数学学习心得体会、数学小论文等等，这些内容可以覆盖学生对知识的巩固，帮助学生进一步发展学习兴趣，实现学习方法的改进和优化. 当然在课程结束时，我们再组织学生以考试和学习小结的方式来对整个学习进行整体的评价.

以上是笔者有关微积分先修课程开设过程的操作和思路的简单介绍，中学数学先修课的开设和探索还刚刚开始，笔者的研究视角也比较狭隘，在后期的实践过程中，笔者将深度探索和总结，努力设计出更加优秀的课程资源.

参考文献：

[1]  李永涛. 平易近人的微积分[J]. 中学数学，2012（11）.

[2]  姚贵丰. “重知识”还是“重过程”——高中数学概念教学模式的探讨[J]. 中学数学教学参考，2017（21）.