探究实根分布问题

江苏省兴化中学 何名慰

一元二次方程实根分布问题的研究，是我们平时研究得比较透彻的一类问题.笔者在过去的一些资料中发现这类问题又被老师们分成了六七个小类，比如有一解、有两解；两解都在某区间内、都在某区间外；两根都大于某个数、都小于某个数、一根大于某数另一根小于某数，等等.

很多同学觉得难以掌握.主要原因在于，不同“类型”的问题，其细节处理有很大不同.有的需要考虑“判别式Δ”，有的需要考虑二次函数对称轴的范围，有的只需要考虑区间端点处函数值符号，有的需要考虑的条件明显更多……一些较为优秀的同学都陷入了背题型的模式.

为什么明明说好的“数形结合”最终演变成让人万分头痛的“背题型”呢？我们需要思考一个问题：“函数的零点”这节课的核心是什么？

当然是零点存在性定理（零点定理）.其核心内容是“若一个函数在某闭区间内连续，且在该区间的两端点处的函数值异号，则该函数在该闭区间去掉端点后的开区间内必有零点”.

运用好这一定理，在此基础上合理地运用常规的数学思维方式，我们容易发现一元二次方程实根分布问题根本不会有那么多种题型，其实大家都一样，都是相同的思维方式.

为了更直接、更方便地研究问题的实质，我们约定，接下来的问题都只研究一元二次方程有两个不等的实根的情况，不必在重根问题上自找麻烦.

例已知函数f（x）＝x2-2ax＋a＋3有两个不等的零点x1，x2，且x1∈（0，1），x2∈（7，8），求实数a的取值范围.

解析由函数f（x）的图象为开口向上的抛物线，且零点x1，x2满足x1∈（0，1），x2∈（7，8），容易画出草图（如图1）.

图1

变式1已知函数f（x）＝x2-2ax＋a＋3有两个不等的零点x1，x2，若x1＜4，x2＞4，求实数a的取值范围.

变式2已知函数f（x）＝x2-2ax＋a＋3有两个不等的零点x1，x2，若x1＜1，x2＞4，求实数a的取值范围.

这两个问题可以类似地解决掉，具体过程不再赘述.这三个问题总结起来就是两个不等的实根分布在两个不同的具体的区间内.那么如果两个不等的实根在同一个区间内呢？上面的方法依然有效吗？

这才是真正值得研究的部分.

变式3已知函数f（x）＝x2-2ax＋a＋3有两个不等的零点x1，x2，若x1∈（0，4），x2∈（0，4），求实数a的取值范围.

解析应该充分考虑这个问题与前面问题的关系，不妨设x1＜x2，那么x1应该在开区间0到某数，而x2则在开区间某数到4.那么现在的问题就是：这个“某数”该怎么取才合适？问题到这里已经很明朗了.

我班同学会异口同声地答“对称轴x＝a”.结合函数草图（如图2），可得

（其中f（a）＜0可以用判别式Δ＞0等价代换）

图2

变式4已知函数f（x）＝x2-2ax＋a＋3有两个不等的零点x1，x2，若x1＜1，x2＜1，求实数a的取值范围.

该问题实质上可以转化为两个不等的零点，一个在区间（-∞，a）内，而另一个在区间（a，1）内（a＜1）.

变式5已知函数f（x）＝x2-2ax＋a＋3有两个不等的零点x1，x2，若x1＞1，x2＞1，求实数a的取值范围.

与变式4类似，该问题实质上可以转化为两个不等的零点，一个在区间（a，＋∞）内，而另一个在区间（1，a）内（a＞1）.

评价“转化”是数学思想中最基础也最重要的一部分，结合二次函数图象的对称轴，将不等的两个实根在一个区间内转化为由函数图象的对称轴分割开的两个不同的具体区间内，奇妙而又自然.就这么一点小小的转变，我班同学再也不必因为记忆不同的题型而感到痛苦，他们完全意识到所有的一元二次方程实根分布问题是统一的.解决相关问题必需的知识是零点存在性定理，具体操作的方法是数形结合的方法，结合题中所给条件画出恰当的二次函数图象，从而获得特殊部位函数值的正负，建立相应的不等式（组）.

最后回答开始部分的两个问题.一、为什么有时候需要考虑对称轴的范围？当你遇到的问题中需要用对称轴将两个不等的零点“分割”到不同区间时，根据区间的概念（左端点数值小于右端点数值），自然地，对称轴就有了范围.二、为什么有时候需要考虑“判别式Δ”的范围呢？其实判别式Δ对应的是二次函数在对称轴处的函数值，若二次函数的图象开口朝上，对称轴处的函数值为负值，对应的Δ＞0，实质上也是区间端点处函数值的一种正负变化形式.