注重思考，把握本质——我做数学文化题的思考与感悟

周育丞

寒假我在网上查看上海市高考试卷，发现一道数学文化题：

《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图1，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）

A.4 B.8 C.12 D.16

图1

看完此题，我注意到题中有个陌生的概念“阳马”，我不禁思考：到底什么是阳马？高考为什么要选择阳马来考查？

一、阳马就是一个特殊的四棱锥

本题中称“底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马”，按照《九章算术》的定义，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，如图2.

图2

图3

即底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.那么，由于阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，如图3，在以AA1为一边的矩形中，E1A1⊥平面AA1B1B，则四棱锥E1-AA1B1B为阳马，同样四棱锥D1-AA1B1B为阳马，四棱锥D-AA1B1B为阳马，四棱锥E-AA1B1B为阳马；同理，分别以矩形AA1C1C、矩形AA1E1E、矩形AA1F1F为底面的阳马各有4个.这样的阳马的个数是16个，答案选D.

不难看出，阳马只是一种称呼，本题其实还是考查立体几何的知识.

二、阳马、鳖臑和堑堵

做完上题后，我查找了关于《九章算术》的资料，想要更好地了解古人对立体几何的研究.我发现刘徽提出了一个重要原理“斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”，今称为刘徽原理.国外数学大师高斯、希尔伯特也讨论了这个问题，很遗憾这已经是多年以后的事了.刘徽原理中除了涉及阳马还提到两个宝贝：堑堵和鳖臑.《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.

例1《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图4，在阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连结DE，DF，BD，BE.试判断四面体D-BEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由.

图4

分析根据鳖臑的定义，假如四面体B-DEF是一个鳖臑，就需要选择一条垂直于底面的侧棱，而四个面都应该是直角三角形.我们选择BF为侧棱，面DEF为底面.

证明BF⊥平面DEF，即证明PB⊥平面DEF.由于PB⊥EF，只需证明PB⊥DE，这可以由DE⊥平面PBC获得.

由BF⊥平面DEF，DE⊥平面PBC，可知四面体B-DEF的四个面都是直角三角形，四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.

变式1如图5，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，试判断四面体P-ABC是否为鳖臑？

不难判断四面体P-ABC是鳖臑.

图5

例2《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体.如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，AC⊥BC.

（1）求证：四棱锥B-A1ACC1为阳马，并判断四面体A1CBC1是否为鳖臑，若是写出各个面的直角（只写出结论）.

（2）若A1A＝AB＝2，当阳马B-A1ACC1体积最大时.①求堑堵ABCA1B1C1的体积；②求C到平面A1BC1的距离.

图6

解答略.

从本题条件我们可以看出堑堵是一种特殊的三棱柱，阳马指一种特殊的四棱锥，鳖臑是一种特殊的四面体.三者可以融为一体，堑堵的体积等于特定的阳马和鳖臑的体积之和.现在我就明白了前文叙述的“斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”的大概意思了.就是：斜截一个三棱柱的堑堵，可得到一个四棱锥的阳马和一个三棱锥的鳖臑.

三、感悟

什么是数学文化？翻看这几年的试卷，我发现高考题往往通过创设新的情境、改变设问方式，将我国古代数学里的实际问题和研究成果，从数学史、数学应用等角度，结合函数、数列、立体几何、算法、概率等内容命题.

数学文化题本质上就是一类创新能力题.这类题让我们在思考与探究中，增强了民族自豪感，陶冶了审美情操，提高了文化修养.因此，我们要加强对数学文化试题的研读，拓展自己的数学思维，提升自己的数学素养.