从必然王国到自由王国

上海 常文武

某年上海市中学生数学知识应用竞赛中有一道有趣的题，为了再让它更有趣些，笔者改编题目如下：

一个圆形的机器人正在一块边长为1的正三角形草地内修剪草坪（如图1）.它的圆形的刀只能在三角形内部贴着草坪的边缘走，这样它只能割掉图中阴影部分.假如你可以调整旋转刀具的半径，选怎样的半径可以让锄草机器人作业面积最大？

图1

这个最值问题可以反过来思考，也就是解决三个角上的图形面积加上中间的三角形面积何时为最小的问题.

设所求的半径为r，中间正三角形对称中心到一边的高为x.

记三角形每个角处留下的非阴影面积为S尖，它可以方便地由四边形AOCB减去扇形OAB得到：

而x可以通过大三角形的外心到某一边的距离值（内切圆的半径）减去2r得到：x＝.从而内部小三角形的面积可算得为：

至此，我们希望总和最小的4块面积S空可以写作是r的一个二次三项式：

利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式，这个二次三项式的最小值应该在时达到，即

图2

图2就是按照这个半径画出的效果图.

题目解完了，我们搁笔思忖，觉得中间这个洞似乎不够完美.难道一定要留这个洞不成？

确实是这样的.如果我们确保中间地带不留空白，那就要增大半径r的值，三个角的空白也就会随之增大.显然当x＝0，也就是r＝时，既确保了中间地带不留空白，又使得三个角的留白最小.将此r代入S空公式计算发现，空白总和并不是最小的.这也在情理之中，因为中间的空在消失的瞬间，可以认为是保留着一个边长为0的正三角形.所以可以沿用前面分析的过程.

现在我们真的可以自信满满地说，我们找到了问题的答案.且慢！我们虽然从考官那里得了个满分，但是这道题仍有可挖掘的“宝藏”.我们可以试着改变一下问题的条件.

比如，如果这块三角形草地是一块不规则的任意的三角形，问题该怎么解呢？

一块三角形草地的边长分别是a，b，c.一个圆形的机器人在为它修剪草坪.它的圆形的刀只能在三角形内部贴着草坪的边缘走，这样它只能割掉如图3所示的阴影部分.假如你可以调整旋转刀具的半径，选怎样的半径可以让锄去的草地面积最大？

图3

显然，新问题比原问题更难些.原来的求解思路考虑到等边三角形的特殊性.但是，我们发现圆心的轨迹是一个三角形，它与草坪的轮廓是相似的.而且，如果中间有空隙的话，空隙也是一个三角形.显然，这三个三角形是内心重合、彼此相似的.

由相似三角形面积比是内切圆的半径之比的平方知，我们需要算出草坪三角形和机器人圆心轨迹三角形的内切圆半径，显然二者相差一个机器人半径r；草坪三角形面积和内部的空白三角形的内切圆半径，两者相差两个机器人半径2r.

利用内切圆半径之比也为相似比以及相似三角形面积比等于相似比的平方，可以算出角上的空白区域拼成的三角形（不难想象它的存在）面积为，因此，.

这样，我们所关心的能割到的区域面积就是：

由于三角形内切圆半径R和半周长p乘积等于面积，即S＝pR，由此，.得

仍然利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式，这个二次三项式的最大值应该在时达到，即

最后，我们需要用三角形的三边长表示其面积S.套用海伦公式：

经过这番推广，我们发现从一个小问题的解决可以发展到一类问题的解决办法.一位哲学家说过，当我们掌握了真理，就可以从一个必然王国到达一个自由王国.诚哉斯言！你可愿继续探索——挣脱三角形的束缚，研究更自由的凸四边形情况呢？假定凸四边形ABCD的四条边分别长a，b，c，d，并且它还是一个有内切圆的四边形.可以料想到方法是类同的，当作是餐后的“甜点”吧！