三种途径探求直线上的不动点

南京市第九中学 张荣彬

在学习解析几何时，同学们经常会遇到证明某动直线恒过定点的问题，这类题目解题方向明确，解法相对固定可控.下面以“一题多解＋多题一解＋解法综述”的形式加以展示.

一、一题三解

例1在直角坐标系xOy中，F，A，B分别为椭圆的右焦点、右顶点和上顶点，已知OF＝FA，，过点P（0，2）作直线l交椭圆于M，N两点，过M作平行于x轴的直线交椭圆于另外一点Q，连结NQ，求证：直线NQ经过一个定点.

思路1：追踪探源求方程

设M（x1，y1），N（x2，y2），则Q（-x1，y1），且，直线NQ的方程为，令x＝0得，所以直线NQ经过定点.

思路2：极化位置猜定点

在上面的方法中，为什么在求出NQ的方程后令x＝0？即如何发现定点位于y轴上呢？如图当直线l′过Q时，所得的直线N′Q与原来位置上的NQ关于y轴对称，借助图形容易发现定点必在y轴上.

图1

不仅如此，我们还可以更进一步：特别地，当l过椭圆的右顶点N（2，0）时，l的方程是y＝-x＋2，代入椭圆方程求得，所以，NQ与y轴的交点就是所求的定点.

至此，你记下这个定点T，假装忘记之前所有的探索过程，答题时，你只要完成以下的步骤即可：

（1）将y＝kx＋2代入椭圆方程得（3＋4k2）x2＋16kx＋4＝0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则Q（-x1，y1），且；

思路3：锁定目标设直线

暂不考虑直线NQ的来路，直接设其方程为y＝kx＋m，代入椭圆方程得（3＋4k2）x2＋8kmx＋4m2-12＝0，设Q（x1，y1），N（x2，y2），则，.因P（0，2），M（-x，1y1），N（x2，y2）共线，所以x2（kx1＋m-2）＋x1（kx2＋m-2）＝0，2kx1x2＋（m-2）（x1＋x2）＝0，代入解得.所以直线NQ的方程是，直线NQ经过定点.

按上面三个解法的思路基本上可以完成直线过定点的相关问题.三种解法展示了解决此类问题的通用方法.

二、学以致用

例2已知椭圆b＞0）过点P（-1，-1），c为椭圆的半焦距，且.过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N.

（1）设直线l1的斜率为k（k＞0），若线段MN的中点在y轴上，求k的值；

（2）求证：直线MN过一定点.

同学们可以按例1的三个思路分别尝试求解，再对照题后的简析进行对比反思.

解析（1）求出椭圆C的方程为.设直线l1：y＋1＝k（x＋1）（k＞0），与椭圆方程联立得M的坐标为.用替换k可得点N的坐标为.因为线段MN的中点在y轴上，所以xM＋xN＝0，因为k＞0，解得.

（2）思路1：能根据两点坐标求出MN的方程吗？

追踪M，N的产生过程，利用（1）可先算出斜率，再接着求MN的方程？已经没有勇气写下去了！

思路2：能预先猜出定点位置吗？

考虑特殊情形，可以发现：当直线l1和l2的斜率有一个不存在时，可得直线MN的方程为y＝-x.又由（1）知，当k＝时，直线MN的方程为，故定点应为.成功地找出定点，以下只须证明M，N，H三点共线，运算量瞬间减少了！

思路3：能直接设出MN的方程吗？

设MN的方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立得（1＋3k2）x2＋6kmx＋3m2-4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝，因为PM⊥PN，所以，（x1＋1）（x2＋1）＋（y1＋1）（y2＋1）＝0，（1＋k2）x1x2＋（km＋k＋1）（x1＋x2）＋m2＋2m＋2＝0，代入得k2-3mk＋（m＋1）（2m-1）＝0（*）.

所以（k-m-1）（k-2m＋1）＝0，所以m＝k-1或2m＝k＋1.

当m＝k-1时，直线MN的方程为y＋1＝k（x＋1），直线过定点（-1，-1），不合题意；

当2m＝k＋1时，直线MN的方程为2y-1＝k（2x＋1），直线过定点.

三、解法综述

1.方法提炼

通过对例1、例2的学习与实践，相信同学对证明直线过定点问题会有更为深入的理解，思路1是根据直线具备的条件求出其方程，旨在用方程的代数特征揭示定点的位置；思路3是先设出动直线的方程为y＝kx＋m，然后利用直线满足的条件来确定k与m的关系，这两个思路有较大的相关性；而思路2的“功夫在题外”，它是利用特殊化的思想将定点的位置找出来，然后证明三点共线.

2.细节反思

运算是解析几何中无法回避的一个话题，本文的两个例题表面看似不难，实则处处有险境，每一步的推进都要求我们有扎实的功底.就例2来说，（1）中求k的值、思路2中将代入求的坐标，之后证明M，N，H三点共线以及思路3中对（*）式的因式分解等过程都有较大的运算量和思维量.可见，正确解题时不仅要有思路，而且要有实施及表达思路的能力.

3.学法优化

在平时的学习中，要重视对一题多解和多题一解的训练.一题多解可以拓展解题思路，培养思维的灵活性和发散度，让我们能根据不同的题设在多种方法中择佳选优.不固守某个单一方案，要有多个方法的储备，这样才能对解法做出预判，从而作出正确的进退选择（不是每个题目都可用多种方法解决，也没有哪种方法能解决所有相关的问题，如例2中思路1就做不下去了）.多题一解是指用相同的方法解决不同的题目，例1与例2就是二题一解，其优点就是帮助我们巩固所学的技能技巧，形成解题模式.一题多解与多题一解相结合，能让我们不断地开拓疆土、固守领地，成为解题强人.