品味奇妙投影

上海 常文武

在灯影下，我们的影子会严重扭曲.数学上看，光线在我们的“身”与“影”之间建立了一个“变换”.Sergio Aragonés的漫画就告诉我们这种变换多么不靠谱！

图1的漫画里，四人纸牌游戏鏖战正酣，大赢家面前堆满了赢来的钱，输钱的另外三位面露笑容貌似祝贺赢家有好运，墙上的影子却将三人的想法揭示无遗：等会儿拿刀追杀你，看你哪里逃？

图1 《影子会说话》

的确，投影几何的“变数”非常大：线段的中点投影后不再是影子的中点；圆甚至变成了抛物线或双曲线！不过，再离奇的变换也有其不变的量——交比.

什么是交比？简言之，交比就是两个比的商.确切地说，当线段AB上有两个分点：C和D（可以不管先后），它们分线段为两个比AC∶CB和AD∶DB，那么这两个比再作商或化简为（AC×DB）／（AD×CB）就叫这四点的交比，记作（A，B；C，D）.

也可以这么说，任何共线的4点可以看作3段线段a，b，c首尾相连的整体.第一段和后两段的比是a∶（b＋c），第一、二段和第三段的比是（a＋b）∶c，那么比之比（交比）就是ac／（b＋c）（a＋b）.前文所断言的就是在投影变换（数学上严格来说叫射影变换）下这个比是不变的（图2）.

图2

交比不变性是射影几何学的核心概念，可以用初等平面几何来证明这一性质.

图3

图4

现在在AB之间再添加一个点D（如图4），同上得到新的比.于是再次求商得成立，这说明A，B，C，D四点的交比只和光源P与它们形成的4个张角α，β，θ，γ有关.当我们用另一条直线截这个三角形得到4个交点A′，C′，D′，B′时，新的四点的交比按照同一计算过程应该仍然应得到同一交比.这便证明交比是不变的.

漫画家和数学家分别看到了影子的两重性，影子对原物扭曲变化的同时，保留了内蕴的一个不变量——交比.