基于“学历案”的数学微专题设计*

☉浙江省象山县第二中学 吕增锋

最近，我县举行了“数学微专题设计”的评比活动，笔者有幸担任评委.数学“微专题”是指围绕重点和关键点设计的、利用具有紧密相关性的知识或方法形成的专项研究，或者结合学生的疑点和易错点整合的、能够在短时间内专门解惑的问题集.与一般的大专题教学相比，微专题教学具有“因微而准、因微而细、因微而深”的优点.

一、“微专题”设计有缺陷

本次“微专题”设计的主题是“函数综合问题的解法探究”，面向的学习对象是高三学生.为了适应高三复习课的需求，所有参赛教师均以“例题+练习”的方式来设计“微专题”.下面是比较有代表性的一个设计案例：

【主题】含参数方程有解的取值范围问题

【例题分析】例1设关于x的方程x2-ax-2=0和x2-x-1-a=0的实根分别为x1，x2和x3，x4，若x1＜x3＜x2＜x4，则实数a的取值范围是______.

【巩固练习】

（1）已知函数f（x）=x2-2ax+a+2|x2-1|在区间（0，3）上有两个零点则实数a的取值范围是______.

（2）已知函数f（x）=|x3+1|x，x∈R，若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为______.

（3）已知函数f（x）=|x2-2|+x2+ax在区间（0，2）上有两个零点，则实数a的取值范围是______.

上述的案例体现了“微专题”“小切口，深挖掘”的设计理念，对教学的难点起到了有效地突破.但我们也发现这样的微专题与常见的练习或者复习资料没什么区别，无非是问题更具针对性，例题数量减少了，在教学中还是难以摆脱“教师讲，学生听”的枷锁，学生的学习方式根本没有得到任何改变.不仅如此，上述例题数量虽少，但难度很高，思维跨度较大，如果没有铺垫式的问题设计，那么学生直接面对如此复杂的问题情境恐怕在教学成效上会大打折扣.那么，如何弥补微专题的这些缺憾呢？

二、何为“学历案”

“学历案”是由华东师范大学崔允漷教授首先提出的.“学历案”指的是教师在班级教学背景下，围绕一个具体的学习单位，从期望“学会什么”出发，设计并展示“学生何以学会”的过程，以便于学生自主构建经验或知识的专业方案［1］.“学历案”运用建构主义方法，将教学内容的目标、任务、方法、资源、作业、互动、评价与反思等要素优化组合为一个教学系统，呈现学习的完整历程，形成完善的知识结构.具体组成要素如下表所示［2］：

要素与关键问题 回答提示主题与课时：在多少时间内学习什么内容：课文或主题或单元；来自何处？知识地位？时间：2-6课时，依据目标、教材、学情确定学习目标：期望学生学会什么依据：课程标准、教材、学情、资源等.目标：3-5条；可观察、可测量、可评价；每条指向学科关键能力或素养；相互之间有关联.三维叙写：可分解成具体任务或指标；至少三分之二的学生能完成评价任务：如何知道学生是否学会要求：包括情境、知识点任务；学生完成此任务后的表现与上述的任务或指标一致.评价与目标无须一对一对应学习过程：经历什么过程才能学会资源与建议：达成目标的资源、路径、知识提示.课前预习：定时间，有任务.课中学习：学习的进阶（递进或拓展）；评价任务的嵌入；体现学生自主建构或社会建构的真实的过程检测与作业：如何巩固已学会的东西要求：包括课前、课中与课后作业，整体设计作业；论述或综合题要包括情境知识点（可多个）与任务.明确功能：检测题、巩固题与提高题学后反思：反思自己如何学会引导学生思考并梳理已学知识与学习策略；诊断自身问题、报告求助信息

三、基于“学历案”的“微专题”设计

“学历案”的编制需要思考学生学什么、怎么学、学到什么程度等问题，从学习内容的确定到期望学生实现的目标的表述，再到达成目标的教学活动的安排，最终到检测目标实现与否及其掌握程度的课内评价设置，整个学习流程清楚明确，保障学生“在”学习，经历“真”学习.

1.学习目标

学历案中的学习目标要指明在学习过程中，学生将要获得什么、如何获得以及掌握到什么程度.学习目标必须包含四个要素：行为主体、行为动词、行为条件和行为标准，即谁来学、学什么、在什么条件下学、学到什么程度，四个要素缺一不可.因此，在“微专题”的设计中，首先考虑的不是例题的选取，而是学习目标的制定.针对“含参数方程有解的取值范围问题”这个微专题，学习目标可以这样制定：

（1）通过具体的问题，梳理方程的根、函数零点、图像交点之间的关系，根据问题的要求能够对根、零点、交点进行灵活转化；

（2）经历方程转化为函数的思维过程，结合具体问题，灵活构建函数，能够借助图像的直观性来解决抽象的数学问题；

（3）经历从简单到复杂的思维过程，感受方程的根转化为函数的零点或图像的交点对于简化运算的意义，体会数形结合思想在解题中的应用，发展数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养.

相对于课程标准中教学目标的表述，“学历案”中教学目标的表述更加具体化、策略化，更加具有可操作性.

2.评价任务

“学历案”关注的是学习目标的达成，因此它遵循的是一种逆向设计路径，即“学习目标——评价任务——学习过程”.“评价任务”的设计优先于“学习过程”的好处是有助于教师厘清目标达成的“标准”以及正确区分学习任务与评价任务，唯有这样才能保证“学——教——评”的一致性与系统性［3］.

“含参数方程有解的取值范围问题”的评价任务如下：

（1）完成问题1，回答思考1、思考2、思考3，完成练习1；

（2）通过提示，解答例1，完成练习2；

（3）通过合作学习，解决例2，回答思考4、思考5，完成练习3.

3.学习过程

“学历案”遵循的是“以学为中心”的理念，它呈现的是一个完整的自主学习过程，因此，学习过程的设计应该立足于学生已有的经验与思维逻辑，通过问题驱动的方式循序渐进，层层深入，进而充分展示数学知识的发生以及发展的过程，让学生成为知识的主动建构者.“含参数方程有解的取值范围问题”微专题的学习过程可以这样设计：

第一部分：探索根、零点、交点之间的关系问题：关于x的方程x2-ax-2=0在R上有根，则实数a的取值范围是______.

思考1：上述问题有几种解题思路，请把解答过程写出来.

思考2：方程的根、函数的零点、图像的交点之间存在着什么关系？

思考3：你认为对于这样的问题，哪种解题思路更为简单？

练习1：关于x的方程x2-x-1-a=0在x∈［0，1］上有实根，则实数a的取值范围是______.

意图：一方面，通过问题的解答梳理根、零点、交点之间的关系，掌握必要的基础知识；另一方面，初步体会把方程的根的问题转化函数的零点、图像的交点的好处，掌握基本的变形、转化、构造等技巧.

第二部分：解题技巧的探究

例1 设关于x的方程x2-ax-2=0和x2-x-1-a=0的实根分别为x1，x2和x3，x4，若x1＜x3＜x2＜x4，则a的取值范围是______.

解题视角一：转化为函数的零点

提示1：把两个方程直接转化为函数，画出满足上述条件的两个函数的图像.

提示2：观察并分析图像，列出满足条件的代数式.解题视角二：转化为图像的交点

提示1：通过变形，把每个方程转化为两个函数图像的交点.

提示2：画出满足条件的图像，观察交点的分布，列出相关的代数式.

练习2：已知函数f（x）=x2-2ax+a+2|x2-1|在区间（0，3）上有两个零点，则实数a的取值范围是______.

意图：明确解题的视角，通过设置必要的提示，降低问题的难度，以启迪学生思维.

第三部分：解题技巧的进一步提炼

思考4：比较此题与例1的差异？

思考5：根据什么标准来构造函数？

练习3：已知函数f（x）=|x2-2|+x2+ax在区间（0，2）上有两个零点，则实数a的取值范围是______.

意图：类比例1的解题思路，掌握函数构造的一般技巧，进一步提炼解题策略.

学习过程的设计采用“师留白，生留痕”的策略，将学习的主动权、创造权还给学生，从而使课堂变得充满灵性.

4.学后反思

“学后反思”是学历案的重要组成部分，其要求学生在课后完成一个复杂的笔纸任务，包括对知识和学习策略的梳理，诊断自身问题，总结值得分享的观点或成果，发出求助信息等.“学后反思”一方面是学生自主学习的延续，另一方面有助于学生养成反思习惯，并主动汲取学习经验，从而提高自身的原认知水平.

对于“含参数方程有解的取值范围问题”微专题的学习反思可以引导学生围绕着以下几方面进行：

（1）构造函数遵循的原则（如：一静一动，一直一曲）

（2）此类问题的解题策略（如：构造函数，动态分析，考虑临界状态）

（3）类似试题的整理

（4）你还存在着哪些困惑

相对于“例题+练习”微专题的“粗放”设计，基于“学历案”的微专题设计就显得非常精致，其更加关注学生的学习体验.学生只需按照“学历案”设计的学习流程就能够顺利实现自主学习，从而实现“以教师讲解”为核心的传统高三复习课向“以学生学习”为中心的生本课堂的转变.