例谈数学概念教学的“误区”

☉广东省中山市实验中学 李兆勤

数学教学的核心是概念教学，正如李邦河院士所说“数学根本上是玩概念，不是玩技巧.技巧不足道也！”数学概念教学要关注生成，能促使学生主动建构的教学理念，也得到了越来越多老师的共识.最近，我校举行了数学概念教学课堂展示活动，上课的主题是“弧度制”，笔者有幸参加并全程观摩了各位老师的教学过程.总体感觉数学概念课不仅不好上，而且操作不当的话很容易陷入“误区”.

一、无视“必要性”，忽视动机激发

学习动机需要在一定的教学情境下，利用一定的诱因，使已形成的学习由潜在状态变为活动状态，从而形成学习的积极性.学习动机的激发是课堂教学的起点，而展现概念学习的必要性往往是激发学习动机的切入口.

【片段1】国际油价13日大幅下跌，截止当天收盘，纽约商品交易所12月交货的轻质原油期货价格下跌4.24美元，收于55.69美元.

国际上大宗交易一般都是用美元，而我们用的是人民币，这涉及到汇率，1美元=6.9546人民币.

点评：这个例子只是说明了货币单位的多样化，可以是美元、日元、人民币等，类比得到角度的单位也有很多种，但它跟弧度制到底有什么深层次上的联系？通过这个例子根本无法说明学习弧度制的必要性.

【片段2】师：在本章中要学习三角函数，在函数这一章中均以实数集或其子集作为定义域，这样便于运用函数图像来研究函数的性质.要研究三角函数的图像，势必要把定义域也放在实数集或其子集上，也就是要用实数度量角的大小.因此，我们要学习一种新的角度单位——弧度制.

点评：利用知识学习的连续性来揭示学习新知识的必要性也是一种常用的教学手段.但在本节内容中，上述的理由不仅不充分，而且不正确.角度制虽然是60进制，但并不影响它和实数集或其子集建立一一对应关系.不仅如此，三角函数的图像到底是怎样的，学生并没有印象，因此，利用图像来解释学习弧度制的必要性也是行不通的.实际上，学习弧度制的目的在于“简化运算”，因为角度制涉及60进制与10进制的换算很不方便，并且弧长公式、扇形面积公式在弧度制下的结构比在角度制下的结构更为简洁.因此，学习必要性的解释要在“简化运算”上作文章，要通过具体的例子进行比较、分析，最终让学生真正的感受到学习弧度制的必要性.

二、束缚“手脚”，压制思维建构

教学应立足于学生已有的经验，通过建立新知识与旧知识之间的联系来促使学生自主建构.因此，学生的“学情”是概念教学中首先要考虑的问题，上课的时候一定要关注学生是如何想的？学生会采用什么样的方法？

【片段3】问题1：给出三个半径不同的扇形，比较扇形所对应圆心角的大小.

师：现在我提供给大家一根绳子与一把直尺，通过测量弧长与半径的比值来比较三个角的大小.

问题2：证明当圆心角大小确定时，弧长与半径的比值为定值.

点评：角度制是最常用的，因为它在生活中无处不在，而弧度制在生活中却很少见到，学生对弧度制缺乏直观的感受，这也是为什么学生在学习弧度制后还是习惯用角度制的原因.角的度量单位其实有很多，希腊天文学家托勒密在研究天文观测问题时，曾制作了一张与三角函数表相仿的弦表：把圆周360等分，半径60等分，把弧所对的弦长定义为角（弧）的弦值；印度数学家阿耶波多改进了正弦的算法，把圆周360等分，把半径3438等分，把二倍角所对弦的半弦长定义为角（弧）的弦值.每种度量方法都有其思考的视角，那么学生对于角的大小的刻画是如何思考的呢？遗憾的是教师提供了“绳子”与“直尺”，规定了测量的方法，但学生只是在验证方法的可行性，并没有发挥学生的主观能动性.学生会想出怎样的方法来测量角度的大小呢？学生能否独立发明“弧度制”或者找到相关的线索？学生思维的灵动性显然被教师的完美预设扼杀了，换来的就是对弧度制的“死记硬背”.

三、表达“随意”，挑战数学理性

教师在课堂中的一举一动都受到学生的关注，尤其是教师对于数学观点的表达直接影响学生对数学的理解与认识.教师不能以活跃课堂气氛或者激励学生的学习兴趣为理由而对数学的一些常识随意地发表自己的意见.

生：比度制.

师：这种表示角的方法叫做弧度制，如果你能早生几百年，就可以用“比度制”来命名了.

点评：数学概念的名称难道可以随意命名吗？难道仅仅是人为规定的吗？众所周知，人的“姓名”不仅仅是一种称呼，同时还承载着众多的社会文化功能，比如，代表个体群体、表明等级身份、弥补命运缺憾、体现社会评价等.数学概念的“命名”也是如此，在数学概念名称与定义表述中往往隐藏着一些能体现概念本质属性的关键字词.比如，“常用对数”：顾名思义就是“经常用到的对数”；“空集”：“空空如也” 的集合；“离心率”：“偏离中心的程度”等等.数学名称的命名是否合理直接会影响到人们对数学的理解，最容易引发误解的命名要数“无理数”了，很多学生在刚开始接触这个名字的时候很容易理解为“无理数”就是“没有道理的数”.“无限不循环小数”，没有规律可寻，确实给人以“无理”的感觉.但实际上“无理数”的命名是翻译上的一次错误，“无理数”的英文原意是 “不可比数”，但日本人把它错译成 “无理数”，而我们恰恰直接借用了日本的翻译.因此，数学概念的命名是一件很严肃的事情，也并不是“学生早生几百年”就可以随意更改的.数学是理性的，理性应贯穿于数学概念教学的全过程，教师不能根据自己的喜好而随意更改.

四、刻意“求新”，违背认知规律

公开课贵在创新，“上出与众不同的课”已经成为很多教师备课的方向.虽然追求创新是课堂教学的一种美好愿望，但前提是不能违背学生的认知规律，不能为了创新而创新.

【片段5】师：弧既有度数又有长度.

______的弧所对的圆心角为1弧度.

点评：通过与“1°”的定义进行类比，得到“1弧度”的定义，这样的设计从表面上看很有新意，但仔细斟酌后感到非常不妥.角度制与弧度制的定义视角完全不同，两者很难找到共同点进行类比.尽管在单位元“1”的定义上，两者似乎存在着某种联系，但这是知道了弧度制的概念后，再对弧度制概念进行辨析才能发现的结论.上述教学把这个结论作为引出弧度制的依据，显然是本末倒置，违反了学生的认知规律.对于“弧既有度数又有长度”这个“真理式”的表述更为不妥，要得出这样的结论至少要对角的度量方法有过深入的研究.正如对一个三岁的小孩说“光速是宇宙间最快的速度”一样，直接抛出这样的“真理”只会让学生对角的度量感到更加迷惑.

上好数学概念课确实不易，衡量概念课是否成功的唯一标准是“是否揭示了数学的本质”，而要实现这一标准的唯一途径是立足于学生已有的经验，遵循学生的认知规律，切不可为了追求所谓的“新颖”而忽视教学的基本规律.