试论“解三角形”中的平面四边形问题

王钊麒

摘 要：解三角形作为高中数学的核心组成部分，在高考中占用十分重要的地位。其内容主要是综合应用三角函数及三角恒等变换的相关公式、正弦定理、余弦定理、面积公式等基础知识，还与基本不等式等知识结合考察。具有综合性强、题型灵活多变的特征。本文主要通过研究平面四边形内部的三角形的各种类型，给出适当的解三角形的方法，以期帮助同学们提高解决这一类问题的能力和效率。

关键词：高中数学 解三角形 平面四边形

引言

解三角形是历年来高考的热点之一，是每年高考都重点考点，知识点覆盖面广，属于送分但又不易得满分的题型。在解三角形的实际应用中同学们比较困惑 ，特别是面对有关四边形问题的实际应用时，感到陌生并有畏惧心理。但实际上，平面四边形在本质上也有迹可循，可以分解成多个具有某些边相等的三角形来解决，本文通过实例，尝试探究这一类问题的解决办法。[1]

一、平面四边形只给出一条对角线

[例1]（2015贵阳监测考试）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=

（1）求△ACD的面积

（2）若BC=2 ，求AB的长

（1）解：∵∠D=2∠B，cosB=

∴cosD=cos2B=2cos2B-1=-

∵D∈（0，π） ∴sinD= =

∵AD=1，CD=3

∴△ACD的面积S= AD·CD·sinD= ×1×3× =

（2）在△ACD中，AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cosD=12

∴AC=2

∵BC=2 ∴AC=BC可得∠B=∠BAC故∠ACB=π-2B

∵ =

∴ = = = =

∴AB=4

点评：一个四边形分割成2个三角形后，这2个三角形一定会产生一条公共边。在一个三角形中，根据已经条件，选择余弦定理或正弦定理求出公共边后，该边即可作为另一个三角形的已知条件使用，进而得出需求的量。所以我们在△ACD中通过余弦定理求出公共边AC，这样在△ABC中就可以通过正弦定理求出AB。[2]

[例2]（2014河北邯郸检测）如图，在凸四边形ABCD中，C，D为定点，CD= ，A，B为动点，满足AB=BC=DA=1

（1）写出cosC与cosA的关系式

（2）设△BCD与△ABD的面积分别为S和T，求S2+T2的最大值

解：（1）由余弦定理可知，在△BCD中，

BD2=BC2+CD2-2·BC·CD·cosC=4-2 cosC

在△ABD中，BD2=2-2cosA

所以4-2 cosC=2-2cosA即cosA= cosC-1

（2）依题意知，S= BC·CD·sinC=

T= AB·AD·sinA= sinA

所以

S2+T2= sin2C+ sin2A= （1-cos2C）+ （1-cos2A）

=- cos2C+ cosC+

=- （cosC- ）2+

由题意易知，C∈（ ， ），故cosC∈（0， ）

所以当cosC= 时，S2+T2有最大值

点评：题目中给出的已经条件是边长，求解的是两个角的余弦之间的关系，所以我们在任意三角形中自然而然地考虑到余弦定理，根据余弦定理对应两个三角形列出两条式子，根据两个三角形的公共边可消去一个未知量，得出需要的关系式。此题中，未知边BD是这两个三角形公共边，由2个三角形列出余弦定理，两式联立消去公共边BD就能得出cosA与cosC的关系式；第2小题根据第一小题的关系式得出一条函数式即可求得最值。[3]

二、平面四边形给出二条对角线

[例1]如图，在凸多边形ABCD中，AB=1，BC= ，AC⊥CD，AC=CD，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为________

解：设AC=CD=x，在△ABC中，

由余弦定理知，AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC

即x2=12+（ ）2-2·1· cos∠ABC，

由正弦定理得

= 即sin∠ACB= =

在△BCD中，由余弦定理知BD2=（ ）2+x2-2·x· cos（ +∠ACB）=3+x2+2 xsin∠ACB

代入x2=4-2 cos∠ABC，sin∠ACB= 得

BD2=3+（4-2 cos∠ABC）+2 x·

=7-2 cos∠ABC+2 sin∠ABC

=7+2 sin（∠ABC- ）

∵∠ABC∈（0，π） ∴sin（∠ABC- ）可以取到最大值1

∴（BD2）max=7+2 即BDmax= = +1

點评：根据最终要求的边所在的三角形，根据图中三角形互相之间的边角关系，将该三角形中的边或角通过正弦定理或余弦定理，计算出题目已知量所在的三角形中的未知量，最终得到一条包含一个三角函数的函数式。

此题中，要表示出BD，根据BD所在的三角形△BCD，题目中的已知量主要集中在△ABC中，所以应尽可能地将△BCD的相关量向△ABC转化，即题目中的AC=CD，∠BCD= +∠ACB，然后可设AC=CD=x进行推导

三、平面四边形没有给出对角线

此题中有A+C=180°，所以在画对角线作为辅助线时应该保留∠A和∠C不被“分割”，故连接BD

[例1]（2015新课标全国Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是________

如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F则BF

在等腰三角形CFB中，∠FCB=30°，CF=BC=2

∴BF= = -

在等腰三角形ECB中，∠CEB=30°，∠ECB=75°

BE=CE，BC=2， = ，

∴BE= × = +

∴ -

点评：当已知条件是四边形的四个角时，若作对角线会将已知的角拆分成两个未知的角，所以可以尝试将其中两条边延长相交，构成一个新的三角形，然后在新的三角形中通过正弦定理或余弦定理进行求解

结语

解答平面四边形，本质上还是对正弦定理和余弦定理进行考查，就近几年的高考题及各地的模拟题的情况来看，平面四边形的题目的解答是以对角线分割成多个三角形进行分析，并且大部分情况下，题目的四边形图像本身就已经给出了对角线，我们一般先就原图进行分析，只有题目给出的文字或图像条件不包含对角线时，才需要根据情况手动作辅助线进行分析。

参考文献

[1]孟敏.解三角形问题内容与方法浅析[J].教育教学论坛，2012，（10）

[2]郭金梅.高中数学中解三角形的几种不常规思路[J].桂林师范高等专科学校学报，2018，（01）.

[3]梁何生.活用“二换一”，巧解三角形[J].2018年4月教育导刊论文汇编，2018，（09）.