把握过程，应用特性，突破旋转

凌洁

[摘  要] 近几年中考试题中图形旋转问题出现的频率很高，该类问题的求解不仅需要合理把握图形的旋转过程，还需要充分利用旋转特性进行条件挖掘，文章结合考题对几何旋转类问题进行深入探究，并进行解后思考，与读者交流学习.

[关键词] 旋转;几何;面积;路径;数形结合

考题呈现，解析点评

1. 考题呈现

（2018年江苏宿迁卷第18题）如图1所示，将含有30°角的直角三角板ABC放置于直角坐标系中，其顶点A，B分别落在x，y轴的正半轴上，且∠OAB=60°，点A的坐标为（1，0），现将三角板ABC沿着x轴向右做无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°……）当点B第一次落在x轴上时，则点B的运动路径与坐标轴围成的图形面积为______.

2. 试题解析

分析  求旋转过程中点B的运动轨迹与坐标轴围成的几何图形面积，除了需要还原点B的运动轨迹外，还需要结合图形旋转过程中的一些几何性质，即旋转过程中几何图形的角度和边长保持不变. 分析可知点B的旋转过程可以细分为两个阶段，如图2，第一阶段是以点A为旋转中心，以边AB为旋转半径;第二阶段是以x轴上的点C1为旋转中心，以B1C1为旋转半径，因此其围成的图形面积为两阶段形成的扇形面积与两个三角板的面积之和，即S=S扇形ABB1+S扇形B1C1B2+2S△ABO，根据几何面积公式可知只需求出具体的旋转角度和相应的边长即可求解.

解：△AOB为直角三角形，根据点A（1，0）可得OA=1，已知∠OAB=60°，则AB=2，OB=BC=，△ABC旋转过程中其角度和边长始终保持不变，故B1C1=，∠BAB1=60°，∠B1C1B2=90°，S扇形ABB1=πAB2=π，S扇形B1C1B2=πB1C12=π，S△ABO=AO·BO=，则S总=S扇形ABB1+S扇形C1B1B2+2S△ABO=π+，所以点B的运动路径与坐标轴围成的图形面积为π+.

3. 试题评析

本题目是以图形旋转为背景求解图形面积的几何题，其特点是通过几何旋转建立了静态问题与几何运动之间的联系，且由图形的旋转性质建立了面积问题与已知条件之间的联系，是对学生运用幾何旋转特性解决实际问题能力的考查. 上述解题过程根据三角板的旋转规律将其细分为两个阶段，然后建立了求解几何面积的一般模型，最后结合几何旋转的几何特性探寻面积求解的关键条件，从而实现问题的准确求解. 其中建立几何模型是解题的基础，旋转特性的灵活运用是解题的关键. 在求解以图形旋转为背景的几何问题时要充分把握图形旋转过程中的一些特殊规律，将动态旋转问题转化为较为简单的几何问题，通过分析几何元素的基本性质来获得解题的突破口.

类题解读，旋转探究

几何旋转是初中数学的重要知识点，中考对于该知识点的考查存在多种问题形式，除了上述通过几何旋转求解几何面积外，还涉及求旋转角的三角函数值、点的路径、点的坐标等问题. 不同的问题形式之间存在一定的联系，即都是由几何旋转衍生的问题，旋转特性是解题条件获取的关键，下面将结合考题进行深入探究.

1. 几何旋转，求解路径

（2018年江苏无锡卷第27题）如图3所示，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°<θ<90°）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上.

（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度;

（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，如果=-1，试求的值.

分析  （1）由于矩形ABCD围绕点B进行旋转，则其上点D的旋转路径必然为以点B为中心的弧线，求其路径只需要求得旋转角和旋转半径即可. 如图4，连接DB和D1B，则其旋转角为两线之间的夹角∠DBD1，结合旋转特性可知图形旋转过程中的旋转角为定值，则点A的旋转角等于点D的旋转角，即∠DBD1=∠ABA1，过点A1作AB的垂线，垂足为点H，在Rt△A1HB中利用勾股定理可求得∠ABA1为30°，旋转半径DB也可求得，利用弧长公式即可求解.

（2）略.

解：（1）作A1H⊥AB，垂足为点H，连接DB和D1B，由旋转特性可知∠D1BD=∠A1BA，在Rt△A1BH中，sin∠A1BH==，则∠A1BH=30°，所以∠D1BD=30°，BD==，所以D到点D1所经过路径=2π·=π.

解读  本题目与第一道考题相类似，都涉及了点的旋转路径，其过程为绕点B进行的旋转，求解的特点在于充分利用图形旋转过程中旋转角相等的性质，即图形旋转过程中不同点、线之间的旋转角是一致的，利用该性质可以直接建立等角关系，对于问题的分析有着极大的帮助. 另外，在获取旋转角时需要掌握一定的方法，旋转起终点分别与旋转中心连线的夹角就为旋转角，不同点的旋转路径虽不相同，但旋转角保持一致.

2. 几何旋转，求三角函数

（2018年江苏苏州卷第17题）如图5所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=，现将△ABC绕着点A以逆时针的方向旋转90°得到了△AB′C，则sin∠ACB′的值为______.

分析  上述旋转过程为△ABC绕着点A进行的旋转，而求sin∠ACB′的值需要将其放置在直角三角形中. 过点A作CB′的垂线，垂足为点N，则在Rt△ACN中有sin∠ACB′=，则问题的关键就是求出AN和AC的值. AC可以在Rt△ABC中利用勾股定理求得，而AN则可以结合旋转特性，在△AB′C中利用等面积法来求得.

解：如图6，过点A作CB′的垂线，垂足为点N，则sin∠ACB′=，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC==5. 過点C作AB′的垂线，垂足为点M，因为△ABC通过旋转得到了△AB′C，由旋转特性可知AB′=AB=2. 由于∠B′AB=∠B=∠CMA=90°，所以四边形ABCM为矩形，CM=AB=2，AM=BC=，在Rt△B′MC中，由勾股定理可得B′C==5，由等面积法可得B′C×AN=AB′×CM，解得AN=4，所以sin∠ACB′=.

解读  上述题目以图形旋转为背景求解三角函数值，由于初中阶段对于三角函数的求解需要将其放置在直角三角形中，因此求解过程通过构建直角三角形将问题转化为求线段的长，然后充分利用旋转过程中对应线段长度不变，以及线段旋转角的特性来实现问题的作答. 另外，题目中将几何旋转与三角函数有效融合在一起，是对知识联系性的体现，对于培养学生解决综合问题的能力有着一定的提升作用.

解后思考，学习反思

1. 牢实基础知识，讲求知识综合

几何旋转特性作为重要的知识点在中考中侧重于以知识综合的形式考查，该特点在上述考题中有着充分的体现. 上述考题分别以图形旋转为背景考查求解几何面积、动点路径长和三角函数值，其中涉及了面积公式、弧长公式和三角函数表达式等知识点，是几何与代数知识领域的综合. 求解该类问题除了需要掌握一些基础的知识内容，还需要充分把握知识之间的联系，对各部分内容有着准确的定位，这样的学习策略对于知识体系的构建和后续解决综合问题有着极大的帮助.

2. 重视解题方法，完善数形结合

几何旋转问题是初中数学较为典型的问题，其复杂的运动过程中包含着一定的变化规律和几何性质，合理利用分析方法，还原运动过程，建立分析模型是高效求解的关键，如考题一在求解面积时采用几何分割的方式将旋转过程阶段化，分别建立面积模型求解;考题二则在求解动点路径时通过添加辅助线，还原动点轨迹，调用旋转特性;考题三求三角函数时通过添加辅助线将其转化为求线段长的问题. 上述问题的求解过程充分采用了构建模型、数形结合的解题策略，该种解题思路对于复杂几何问题的求解有着显著的作用，在解该类问题时可以推广使用.

3. 把握问题核心，挖掘问题本质

学习几何旋转最为重要的内容是对旋转特性的理解，这也是求解该类问题的关键. 旋转特性包括旋转过程中线段长、图形内角和外在形状的一些性质，学习时需要从“旋转不变性”角度来加以理解，即整个旋转过程的几何元素保持不变，几何元素之间的旋转角始终保持一致，这是旋转的本质内容，也是问题求解、思路构建的关键. 在求解旋转问题时需要充分利用旋转特性，从图形运动中挖掘不变因素，从而获得问题求解的本质解法，真正实现解题能力的提升.

图形旋转作为几何三大运动之一，是具有显著培养意义的学习内容，对于学生树立空间几何观，发展模型思想有着重要意义. 对于该部分内容的学习，需要在掌握其运动过程的基础上理解旋转特性，并结合相关几何知识形成旋转问题的解题策略，促进自我解题思维的发展，从本质上提升解题能力.