培养学生在数学学习中的联想能力

杨业业

[摘  要] 数学联想能力能将数学各不同分支或章节之间的内容相互联系与渗透，教师应善于利用旧知、直观、直觉与推理的结合，特殊与一般的结合引发学生展开联想并促进学生思维与解题能力的不断攀升.

[关键词] 联想;旧知;新知;直观;直觉;推理;特殊;一般

教师着眼于学生旧知、直观、直觉与推理的有机结合以及特殊与一般的有机结合进行思维联想的引导，能使学生在化繁为简、化抽象为具体、化陌生为熟悉的数学联想中获得思维与能力的同步提升. 事实上，联想能力在数学学习中的参与还能很好地培养学生思维的广阔性与创造性. 那么，教师在实际教学中究竟应该怎样培养学生展开合理联想并促进思维发展呢？

利用旧知引发联想

新知识都是在旧知识的基础上增加内容或对旧知识重新组织、转化而形成的，因此，着眼于旧知识这一新知学习的停靠点对学生的思维进行触动并引其联想是很好的一个手段.

例如，笔者在“二次函数与一元二次方程”这一内容的教学中首先设计了这样的例题：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图1所示，请观察图像并回答问题：

（1）方程ax2+bx+c=0的两个根是什么？

（2）不等式ax2+bx+c>0的解集如何？

（3）如果方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围如何？

很多学生在自主解决第（1）题时首先想到的都是求抛物线的解析式y=-2（x-2）2+2，接着解方程-2（x-2）2+2=0.笔者首先肯定了学生的想法，然后又引导学生对二次函数与一元二次方程形式上的区别和联系进行了仔细的观察与分析. 学生很快发现在y=ax2+bx+c（a≠0）中，令y=0就能得到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），因此，只要求出对应抛物线和x轴交点的横坐标就能求出ax2+bx+c=0（a≠0）的解.

大多数学生在第（1）小题的解决中已经建立了一定的经验，因此没有盲目去解不等式-2（x-2）2+2>0.观察其形式可得，在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，令y>0可得不等式ax2+bx+c>0（a≠0），因此，不等式的解即为二次函数图像在x轴上方的图像所对应的横轴坐标，因此，解集是1

学生在第（3）小题的解决中给了笔者惊喜，有学生没有经过动笔计算而直接给出了答案，笔者引导学生将解题思路进行了分享：求出当k为何值时能令二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y=k有两个交点即可，因此结合图像可得k<2.

借助直观引发联想

很多抽象、概括、不便演算的代数式往往借助形象、具体、直观的图形能够表达得一目了然，因此，教师在平时的教学中应善于引导将代数式进行一定的转换，使学生能够联想图形进行观察、分析并获得解题的突破.

例如，求x-1+x-2+x-3的最小值.

这是一条已知条件特别简单的代数问题，很多学生初看此题时往往觉得难以下手. 笔者在此题的教学中首先引导学生联想了绝对值的几何含义，强调了数轴这一数与形的碰撞并要求学生画出数轴，引导学生结合题意与数轴建立几何模型，问题很快得到了转化. 学生在笔者的引导下展开了寻找表示x的点并令其到1，2，3各点的距离之和最小，学生很快发现当x在數轴上2的位置时，x-1+x-2+x-3能取得最小值4.此题还可以做出一定的拓展，比如求x-1+x-2的最小值，求x-1+x-2+x-3+x-4的最小值，求x-1+x-2+x-3+x-4+x-5的最小值，等等. 在求出一系列的值之后，笔者又引导学生对一般性的结论进行了归纳：求y=

x-a+

x-a+

x-a+…+

x-a的最小值，根据绝对值的意义可得，当n为偶数时，若a≤x≤a，y的值最小;当n为奇数时，若x=a，y的值最小.

显而易见，学生的思维在数与形的联想中得到了发展，教师应经常引导学生进行数形结合的联想并使学生树立起一定的意识与习惯，很多原本令学生难以下手的题目也会因此变得直观而简单了.

在直觉与推理的结合中引发联想

数学问题的解决在很大程度上也要依赖直觉的作用，很多直觉的判断对于解题来说精准而又直奔主题，不过，教师在实际教学中也应引导学生不得过分依赖直觉，很多经验主义的错误就是过分依赖直觉而导致的.

例如，小明上山时的速度是5千米/时，原路返回下山时的速度是7千米/时，他往返的平均速度是________千米/时.

很多学生初看题目时都会觉得非常简单，也会很快得出6千米/时的答案，事实上，这就是学生过分依赖直觉而产生的错误. 对题目重新审视就会发现，路程除以时间的公式始终是不能忽略的，因此，正确解题应为：设该段路程是s千米，则上山用时应为小时，下山用时应为小时，因此，小明上山、下山往返的平均速度应为千米/时.

变式：小明上山一共用了4小时，前半段时间的平均速度是5千米/时，后半段时间的平均速度是7千米/时，小明上山时的平均速度是_______千米/时.

经过计算可得此处的答案为6.

题目解决至此，笔者对学生进行了适时的引导，启发学生在以下思考中获得更深的领悟：甲、乙两部卡车均在直线运动中，甲车前一半位移的平均速度是v，后一半位移的平均速度是v，则其全程的平均速度v=______;乙车前一半时间的平均速度是v，后一半时间的平均速度是v，则其全程的平均速度是v=______（v≠v）.

教师在实际教学中应善于引导学生从感性认识中进行抽象并使其得到生长，在一定的加工与提炼之后将其上升至理性认识的层面并使得学生的思维空间最终得到有意义的延伸与拓展.

在特殊与一般的结合中引发联想

很多事物的认识都是从特殊到一般化的结果，因此，教师在相关内容的教学中应善于引导学生从特殊现象入手并展开联想.

例如，“用字母表示数”这一章节的内容就将特殊到一般的思想方法展现得淋漓尽致. 事实上，这一思想方法在很多的数学解题中都得到了应用. 很多具备特殊结构或背景的数学问题，只要能够在解题时针对等式的结构特点将一般与特殊之间的矛盾关系进行灵活运用即可得到转化.

在动静结合中引发联想

近几年的数学中考试题中都会有一些动态的问题，动态问题的解决往往需要从特殊情形切入并在变化中求不变，动态问题一旦转化成静态问题也就意味着“动”“静”之间的联系已经达成，解题突破也会因此而快速获得.

例如，如图2，已知矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O为AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3.现动点E从点O出发并以每秒1个单位长度的速度沿OA做匀速运动，到达A点后即沿AO返回，速度不变. 动点F从点P出发并以同样速度沿射线PA做匀速运动. 若点E，F同时出发并至两点相遇时停止运动，在两点运动的过程中，以EF为边作等边△EFG并使△EFG与矩形ABCD在射线PA的同侧. 设运动的时间是t秒（t≥0）. （1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，运动时间t的值如何？（2）在整个运动中，设等边△EFG与矩形ABCD的重叠部分面积是S，则S和t之间的函数关系式是怎样的？自变量t的取值范围如何？

第（1）问中，等边△EFG的边FG恰好经过点C意味着点E，F此处处于静止状态，因此，只要画出图形并求出PF的长度即可解决问题.

第（2）问中，等边△EFG因为点E，F的运动而变化，所以它与矩形ABCD重叠部分的图形是不确定的. 不过，不管如何运动，总有一些特殊位置会将变化前后的图形联系起来. 这一特殊的位置其实就是点E，F静止的瞬间，这也是解題的关键. 本题中除了开始与结束时候的特殊位置以外，还有以下三个特殊的位置：①边FG恰好经过点C;②点F和点B重合（点E和点A重合），即t=3时;③点G恰好落在边CD上，即t=4时. 画出相应图形并进行联想，由此可分成0≤t<1，1≤t<3，3≤t<4，4≤t<6这四种情况，画出相应图形并在各类别中任取一个位置来体现该类图形的共性，最后再计算得解.

数学学习中的联想其实是学生思维的放飞，教师在实际教学中应不断引导学生展开多角度、多方位、多层次的联想并以此促进学生思维与解题能力的不断攀升.