高中数学函数概念的变式教学方法研究

范粤

【摘要】高中数学对于学生而言是难度十分高的一门学科，相较于初中数学具有更加抽象的数学理念、数学定理，使高中阶段的学生学习经过与理解行为变得更加烦琐。因此，文章根据高中数学函数概念的变式教学方法展开了一系列的分析和论述。

【关键词】高中数学；函数概念；变式教学

一、引言

函数在高中数学课程中起到贯穿知识点的作用，是高中数学课程中一个非常重要的组成部分。函数的概念比较抽象，所以教师在教学过程中经常运用丰富的实际例子和一些易懂的变式进行教学，帮助学生对抽象函数思想进行理解，以便学生运用抽象的函数思想解决实际函数问题，让学生的理解能力和解决问题能力得到提高。在函数的教学中，教师和学生都要注重对函数概念的认识，加强对三种基本函数模式的应用。

二、变式教学及其在函数教学中的作用

首先，我们要了解一下函数概念的发展历史。每一个数学上的突破，都需要经历一个漫长的过程和很多数学家的努力。“函数”一词最早在1673年由德国数学家莱布尼茨在进行自变量数学研究时提出的，之后，函数概念就开始被很多数学家使用。函数概念从形成到应用经历了三个阶段。

（一）变量说

“变量说”有一个经典的函数符号，即 ，其含义是，函数是一个由变量与一些常数以任何一种方式组成的解析表达式。

（二）对应说

“对应说”是针对函数式 中 取值 取值的对应关系，就是 有不同的取值，那么就会有一个与之对应的 值，称为 是 的函数。

（三）关系说

“关系说”是在19世纪末期被数学家提出的，它把函数的定义域和值域均突破了以往数集的限制，扩展到任意集合。在现代函数的数学教学中，把现代函数的“函数观”以集合的形式展现出来，表达式为 。含义是，从集合 到集合 的一个函数。就是集合 与 的一种特殊关系——映射，它深刻地展现了函数的本质“对应关系”，也充分反映了函数的三要素。

了解了函数概念的发展史后，我们知道函数概念是有多么的深奥，所以在高中函数教学中，教师都运用变式教学来进行函数内容的教学。那么什么是变式教学呢？它是指在教学过程中，教师从不同的角度或者不同方面、不同层次，借助学生最容易看懂和接受的图形表现出函数的概念和本质特征。

还有一种方法是变换概念，就是指向对象的非本质特征以突出概念或问题的本质特征，从而揭示概念或问题的本质属性与非本质属性之间的关系。变式教学在教学中常见的教学形式有一题多解、一法多用、图形变式、教法、学法变式。其中前两种是教师在数学教学中运用最多的。综上可以看出，教师运用变式进行数学教学，是由具体到抽象、从特殊到一般的认知规律和思维过程。具体来说，就是教师在教学过程中运用变式教学，把函數的本质特征通过具体事例概括出来，然后总结出函数概念，让学生通过变式教学区分出函数本质和函数的不同表现形式，让学生在实际学习中运用得更加自如。

三、函数概念的变式教学

（一）函数概念的意义建构

函数概念从认知心理学上来说，属于陈述性知识，也叫描述性知识。它的含义是，用来说明事物的性质、特征和状态，用以区别和辨别事物。函数概念教学的关键，就是将新知识和长时记忆建立相关联系，就是认知心理学中陈述性知识的获得，让新知识和原有命题网络、原有知识之间相互联系。所以教师在进行函数概念教学时，就要运用变式教学更好地帮助学生建立新知识与长时记忆。每个人的长时记忆系统实际上就是意义建构的过程，简单来说就是我们记忆时，是根据信息的意义来进行记忆存储的，而不是根据信息本身。所以，教师在概念数学教学中，要多角度、多层面、多形式地展现概念内涵各个方面。在教学中，教师要引导学生熟练掌握映射和集合概念，让学生在头脑中反映出感知过或思考过的数学知识，形成函数概念的意义建构。在教学过程中，关于对映射的理解，如下图所示。

图1 图2 图3

综合映射的概念：集合 当中任何的一个元素在集合 当中都一定要有唯一明确的元素与其对应。图1当中，集合 当中的任何一个元素在集合 中都有一个元素与其对应，也就是生成了集合 和集合 的“对应关联”；图2当中，集合 中的任何一个元素在集合 当中也具有唯一明确的元素和其相对应，生成了“多对一”的相对关联；图3当中，集合 到 的相对分别具有“一对一”和“多对一”的相对关联。三个图当中所展现的集合都和映射的概念特性相一致，也就是具备“任何性”和“唯一性”两个前提。挑选的三个图是相对简单、直接的，有助于学生初步了解映射的概念。

另外，教师可以在教学过程当中设立特定的教学情景，使学生在其中以实践经验以及原有的认知构成当中提炼和新知识有关的旧知识，找出新知识和旧知识之间存在怎样的关联。比如，在学习指数函数概念的时候，可以通过概念来引入变式教学。

1.提出问题：我有张白纸，把它撕成两半， 将它们重叠后再撕一次，重叠后再撕一次……那么撕扯4次之后把所有的纸重叠放置有几层？8次呢？18次呢？（创设情境，激发学生的探究兴趣。）

2.假如一张纸厚0.1毫米，那么撕纸15次后把所有的纸重叠放置有多高？有一个成年人高吗？如果撕掉20次呢？（学生的注意力被吸引，纷纷讨论起来，当计算出撕纸15次后得到32768张纸，重叠后高度为3.278米，撕扯20次以后重叠高度为104.8576米的时候学生都十分惊讶。）在概念导入的时候，选取实际的例子更能让学生体会到数学其实就在自己的身边，存在于平时的生活中，让学生知道数学是有用的，所以要学，要好好学。

（二）不同函数模型的运用

在高中阶段的函数教学当中，教师要重视学生运用函数模型处理现实问题水平的提高、对函数理念的把握，把提高运用水平练习作为目标。在课本内容的设定方面，高中时期主要牵涉指数函数、对数函数以及幂函数三个类别，这三种函数的上升转变具有一定的复杂性，通过设置循序渐进的问题串，使学生在持续地观察、思考以及探索的过程当中，弄明白三种函数的上升差距，培育剖析问题、处理问题的水平。第一，课本先设立一个确定投资计划的问题情景，在处理问题的过程当中，老师可以提供解析式、数表以及图像三种代表方式，之后提出问题，使学生能够从当中感受直线上升以及指数爆表，另外有助于学生懂得怎样挑选合适的代表方式对问题进行有效的剖析。第二，设立一个挑选公司奖励模型的问题情景，使学生在观察与探索的过程当中感受到对数函数上升模型的特性。第三，提出疑问：三种函数具有怎样的上升差距？在这个环节，可以利用信息技术从数值与图像两个视角展现指数函数、对数函数、幂函数的转变状况，同时指引学生从不同视角观察它们的上升图像的差距，使学生感受这些函数模型在叙述客观世界转变规则时候各自的特性，加深学生对函数的连贯性、可微性、可积性等关键属性的认知，慢慢提高学生运用函数知识去剖析问题和处理问题的技能。

（三）函数概念的认知误区

1.函数就是曲线。从函数概念能够看得出来，函数具有数形结合的特性，它是表达两个变量对应关系的一个关键数学模型。一般来说，凭借曲线可以直观呈现两个变量之间的对应关联。在教学当中，可以运用变式教学当中的错误例子进行说明，比如， ，它代表集合 到 的映射关联，这也恰恰是当代函数的实质，它是经过集合而不是曲线来呈现映射关联的，凭借此让学生明白曲线和函数并不是同一个道理，曲线仅仅是函数的一种表达方式。

2.函数就是解析式。函数解析式属于函数运算的一种改变，也就是从不利于参数加入运算的几何状态转变成易于运算的代数状态，在这样的状况下，解析式的函数概念应运而生。实际上，出现函数就是解析这样的认知误区最主要的原因是忽视了函数解析表达式的不唯一性，也就是一个函数要由不同的解析式来进行表达，例如：

和

这两个解析表达式表达的是同一个函数。所以，一个函数其实就属于一个解析式或者说一个解析式就属于一个函数的理解都是不对的。在变式教学的例子方面，所挑选的表达式应该具备代表意义，例子不在于多而在于精，应该起到引起学生共鸣的作用，达到举一反三的成效。

四、结束语

总而言之，再好的理论都是来源于我们的实际教学。函数概念的教学在整个高中数学教学当中是重点，也是困难点。不管运用哪一种教学方式，都应该重视基础的函数概念教学。同时把先进的教学观念到课堂教学当中去，持续归纳和探索，强化学生对函数概念的领悟、生成、同化、运用，培养学生学习的自主性和创造能力，帮助学生认识概念的意义以及外部的延伸，从而有效提高学生应用所学知识处理现实问题的水平。

【参考文献】

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[2]张静.新旧课程下高中数学函数概念一节内容的比较研究[J].新课程研究：基础教育，2010（03）：21-24.