对北京卷理科三年解几压轴试题的分析

张兵源 苏艺伟

摘 要：通过分析北京卷三年解几压轴试题，明晰高考解析几何复习方向，以期更好地指导高三复习，提升复习备考效益，提升数学核心素养.

关键词：解几压轴；复习备考；核心素养

一、试题呈现

试题1 （2016年北京卷理科）如图1，已知椭圆C∶x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为32A（a，0），B（0，b），O（0，0），ΔOAB的面积为1

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P为椭圆上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：AN·BM为定值.

试题2 （2017年北京卷理科）如图2，已知抛物线C∶y2=2px过点P（1，1）过点0，12作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点

（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（2）求证：A为线段BM中点.

试题3 （2018年北京卷理科）如图3，已知抛物线C∶y2=2px经过点P（1，2）过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N

（1）求直线l的斜率的取值范围；

（2）设O为原点，QM=λQO， QN=μQO，求证：1λ+1μ为定值.

二、试题分析

从命题载体上看，均是以直线和圆锥曲线为载体，较为注重直线与椭圆，直线与抛物线，没有出现直线与双曲线；

从设问的层级上看，都是分成两步，梯度明显，层次分明，能够让不同的考生都有所收获，让有能力的考生脱颖而出；

从考查的内容上看，既考查圆锥曲线基本量的求解，如椭圆的方程，抛物线的方程，直线斜率取值范围等，以此检测考生是否掌握了基本知识、基本方法、基本技能.又考查了常见的证明问题，如定值问题中点问题，以此检测考生是否具备良好的运算求解能力，推理论证能力；

从试题难度上看，第一步较为常规，第二步有一定的难度，需要的计算量也较大三道试题难度基本持平，体现了高考试题具有稳定性的特征；

从试题功效上看，试题都具有一定的探究意义，能够进行推广，能够体现出对数学核心素养的考查，对中学数学教学起着良好的导向作用.

三、试题解析

12016年试题

第一步较为常规，容易求出椭圆C的方程为x24+y2=1，下面探究第二步的证明.

证法1 如图1所示，设P（x0，y0）（x0≠2），A（2，0），B（0，1）

当x0≠0时，则kPA=y0x0-2，kPB=y0-1x0.

直线PA方程为y=y0x0-2（x-2）.

令x=0得y=-2y0x0-2，即M0，-2y0x0-2.

故BM=1+2y0x0-2=x0+2y0-2x0-2.

直线PB方程为y=y0-1x0x+1.

令y=0得x=-x0y0-1，即N-x0y0-1，0.

故AN=2+x0y0-1=x0+2y0-2y0-1.

因此

AN·BM=x0+2y0-2y0-1·x0+2y0-2x0-2.

由于（x0+2y0-2）2=4y20 + x20 + 4x0 y0 -4x0 -8y0 + 4.

将x20 4 + y20 = 1变形成x20 + 4y20 = 4，代入上式得

（x0+2y0-2）2=4+4x0y0-4x0-8y0+4

=4（x0y0-x0-2y0+2）.

又因为（y0-1）（x0-2）=x0y0-x0-2y0+2，

所以AN·BM=4（x0y0-x0-2y0+2）x0y0-x0-2y0+2=4.

当x0=0时，y0=-1，|BM|=2，|AN|=2，所以|AN|·|BM|=4.

综上，|AN|·|BM|为定值.

证法2 设P（2cosθ，sinθ）（θ≠2kπ，k∈z），A（2，0），B（0，1）.

当θ≠π2+2kπ，k∈z时，

则kPA=sinθ2cosθ-2，kPB=sinθ-12cosθ.

直线PA方程为y=sinθ2cosθ-2（x-2）.

令x=0得y=sinθ1-cosθ，即M0，sinθ1-cosθ.

故BM=1-sinθ1-cosθ=sinθ+cosθ-11-cosθ；

直線PB方程为y=sinθ-12cosθx+1.

令y=0得x=2cosθ1-sinθ，即N2cosθ1-sinθ，0.

故AN=2-2cosθ1-sinθ=2sinθ+2cosθ-21-sinθ；

因此

AN·BM=2sinθ+2cosθ-21-sinθ·sinθ+cosθ-11-cosθ

=2sinθ+cosθ-11-sinθ·sinθ+cosθ-11-cosθ.

由于（sinθ+cosθ-1）2=2+2sinθcosθ-2sinθ-2cosθ，

又因为（1-sinθ）（1-cosθ）=1+sinθcosθ-sinθ-cosθ，

所以AN·BM=2+2sinθcosθ-2sinθ-2cosθ1+sinθcosθ-sinθ-cosθ=4.

当θ=π2+2kπ，k∈z时，|BM|=2，|AN|=2，所以|AN|·|BM|=4.

综上，|AN|·|BM|为定值.

22017年试题

第一问较为常规，属于基础题型，容易求出抛物线的方程为y2=x下面探究第二步的证明.

证法1 如图2所示，由于直线l过点D0，12与抛物线C交于不同的两点M，N，所以很容易想到表示出直线的方程，然后和抛物线方程联立，借助韦达定理求解.

设直线MN方程为y=kx+12（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.易知直线OP方程为y=x，直线ON方程为y=y2x2x = y2 y22 x=xy2，

且A（x1，x1），B（x1，x1y2）.

由y=kx+12y2=x ，得k2x2+（k-1）x+14=0.

则由韦达定理得x1+x2=-k-1k2，x1x2=14k2.

即y21 + y22 = -k-1k2，y21 y22 = 14k2.

所以y1+y2=1k，y1y2=12k.

解得y1=1k-1k2-2k2，y2=1k+1k2-2k2.

要证A为线段BM中点，只需证x1=x1y2+y12，只需证2x1=x1y2+y1，只需证2y21 = y21 y2 + y1 ，只需证2y1=y1y2+1.

由于2y1=2·1k-1k2-2k2=1k-1k2-2k，

又因为y1y2=1k-1k2-2k21k+1k2-2k2

=1k-1k2-2k1k+1k2-2k

=（1k-1k2-2k）2（1k+1k2-2k）（1k-1k2-2k）

=2k2-2k1k2-2k-2k2k，

所以y1y2+1=2k2-2k1k2-2k-2k2k+1

=1k-1k2-2k.

故有2y1=y1y2+1，则A为线段BM中点.

证法2 由于M，N都在抛物线y2=x上，且M，N，D三点共线，所以从设点入手.

设M（m2，m），N（n2，n），D（0，12），易知直线OP方程为y=x，直线ON方程为y=nn2x=xn，且A（m2，m2），B（m2，m2n）.

由M（m2，m），N（n2，n），D（0，12）三点共线可知，m-12m2=n-12n2，化简可得2mn=m+n.

要证A为线段BM中点，只需证m2=m2n+m2，只需证2m=mn+1，只需证2mn=m+n最后一個等式显然成立，故A为线段BM中点.

32018年试题

第一问较为常规，属于基础题型，下面探究第二步的证明.

证明 如图3所示，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（1，2），Q（0，1）.

设直线l的方程为y=kx+1（k≠0），与抛物线方程联立得k2x2+（2k-4）x+1=0.

则x1+x2=4-2kk2，x1x2=1k2.

直线PA方程为y-2=y1-2x1-1（x-1），令x=0得M（0，2x1-y1x1-1）同理有N（0，2x2-y2x2-1）.

则QM=（0，x1-y1+1x1-1），QN=（0，x2-y2+1x2-1），QO=（0，-1）.

由QM=λQO，QN=μQO，得x1-y1+1x1-1=-λ，x2-y2+1x2-1=-μ，

解得λ=x1-y1+11-x1，μ=x2-y2+11-x2.

从而1λ+1μ=1-x1x1（1-k）+1-x2x2（1-k）=x1+x2-2x1x2x1x2（1-k）=4-2kk2-2k21-kk2=2为定值.

四、试题推广

1对2016年试题的推广

如图1所示，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）.A（a，0），B（0，b），设P为椭圆上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则AN·BM为定值2ab.

证明 设P（x0，y0）（x0≠a），A（a，0），B（0，b）.

当x0≠0时，

则kPA=y0x0-a，kPB=y0-bx0.

直线PA方程为y=y0x0-a（x-a），令x=0得y=ay0a-x0，即M0，ay0a-x0.

故BM=b-ay0a-x0=ab-bx0-ay0a-x0.

直线PB方程为y=y0-bx0x+b，令y=0得x=bx0b-y0，即Nbx0b-y0，0.

故AN=a-bx0b-y0=ab-bx0-ay0b-y0.

因此

AN·BM=ab-bx0-ay0a-x0·ab-ay0-bx0b-y0.

由于（ab-bx0-ay0）2=b2x20 + a2y20 + a2b2 + 2abx0 y0 -2a2by0 -2ab2x0 ，

将x20 a2 + y20 b2 = 1变形成b2x20 + a2y20 = a2b2，代入上式得

（ab-bx0-ay0）2=a2b2+a2b2+2abx0y0-2a2by0-2ab2x0=2a2b2+2abx0y0-2a2by0-2ab2x0.

又因为（a-x0）（b-y0）=ab-bx0-ay0+x0y0，

所以AN·BM=2a2b2+2abx0y0-2a2by0-2ab2x0ab-bx0-ay0+x0y0=2ab.

当x0=0时，y0=b，|BM|=2b，|AN|=a，所以|AN|·|BM|=2ab.

综上，|AN|·|BM|为定值.

2对2017年试题的推广

已知抛物线C∶y2=2px过点P（u，v）过点D（0，t）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点则v=2tA为线段BM中点.

证明 设M（2pm2，2pm），N（2pn2，2pn），D（0，t），易知直线OP方程为y=2pvx，直线ON方程为y=xn，且A（2pm2，4p2vm2），B（2pm2，2pm2n）.

由M（2pm2，2pm），N（2pn2，2pn），D（0，t）三点共线可知，2pm-t2pm2=2pn-t2pn2，化简可得2pmnt=m+n.

A为线段BM中点4p2m2v=2pm2n+2pm24pmv=mn+14pmnv=m+n2pmnt=4pmnvv=2t.

3对2018年试题的推广

已知抛物线C：y2=2px经过点P（μ，ν）过点Q（0，t）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N设O为原点，QM=λQO， QN=μQO，则1λ+1μ为定值2的充要条件是ν=2t.

证明 设A（x1，y1），B（x2，y2），P（μ，ν），Q（0，t）.

设直线l的方程为y=kx+t（k≠0），与抛物线方程联立得k2x2+（2kt-2p）x+t2=0.

则x1+x2=2p-2ktk2，x1x2=t2k2.

直線PA方程为y-ν=y1-νx1-μ（x-μ），令x=0得M0，νx1-μy1x1-μ.

同理有N0，νx2-μy2x2-μ.

QM=0，-y1μ+x1ν-tx1+tμx1-μ，

QN=0，-y2μ+x2ν-tx2+tμx2-μ，QO=（0，-t）.

由QM=λQO，QN=μQO，

得-y1μ+x1ν-tx1+tμx1-μ=-tλ，

-y2μ+x2ν-tx2+tμx2-μ=-tμ，

解得λ=-kx1μ+x1ν-tx1（μ-x1）t，

μ=-kx2μ+x2ν-tx2（μ-x2）t.

从而1λ+1μ=（μ-x1）t-x1（kμ-ν+t）+（μ-x2）t-x2（kμ-ν+t）

=-（μ-x1）tx2+（μ-x2）tx1x1x2（kμ-ν+t）

=-μt（x1+x2）-2tx1x2x1x2（kμ-ν+t）

=-μt2p-2ktk2-2tt2k2t2k2（kμ-ν+t）=2（-pμ+kμt+t2）tkμ-tν+t2.

若ν=2t，则μ=ν22p=2t2p.

故1λ+1μ=2（-p2t2p+k2t2pt+t2）tk2t2p-t·2t+t2=2.

若1λ+1μ为定值2，则-pμ+kμt+t2tkμ-tν+t2=1，

即-p=tkkμ=-ν ，故pμ=tν又ν2=2pμ，所以ν=2t.

五、教学启示

1夯实基础，掌握基本知识，基本方法，基本技能

高考解析几何的命题思路是创设平面几何及运用解析法解决圆锥曲线有关问题的环境，使得解析几何的思想方法在解答中得以完整体现代数问题几何化，几何问题代数化是解析几何的核心，有效实现这两个转化是解决解析几何问题的关键.

解析几何的关注点在于定性、定位、定量定性即确定平面几何图形的基本要素及其几何特性；定位即感知平面几何图形的运动方式及其位置关系；定量即建立笛卡尔平面直角坐标系，使几何特性、运动方式和位置关系代数化，精确度量.

因此，在高三复习中教师务必在上述命题思路的指导下，夯实解析几何的基础知识、基本方法、基本技能，并在掌握好基础的前提下提升学生的思维能力在教学内容上，应侧重于几何问题的代数化表达；在知识上，应掌握用方程去分析和解决简单几何问题的知识；在方法上，应体会形式化，整体化的计算方法，从而促进学生在数学知识、数学方法和思维能力等方面的发展.除此以外，还要注意图形的几何性质，适当利用图形的几何性质，有助于简化计算，这种以形助算、以数解形，数形相依，相得益彰正是解析几何精髓所在.

2以高考典型试题为例，提升学生数学核心素养

高考试题是命题专家精心命制出来的，以典型高考试题为例，能够促使学生对此类解几试题有更深刻的理解，促进学生思维能力的提升.

在高三阶段复习时，学生已经有了比较完善的知识储备，也具备了应用数学思想方法指导解题的意识，所以对一道高考题目的解答往往能给出多种不同的解法教师应创设让学生充分表达解题思路的课堂情境，展示学生对同一问题不同的认识和解法，再辅以恰当的引导和评价，这样既能巩固基础知识，梳理知识网络，又能提升学生灵活运用知识的能力.

在解答完典型高考试题后，教师要引导学生进行反思，能否将试题进行推广？让学生变成探索者、探究者，从而提升数学思辨智慧，提升数学核心素养.

3强化运算，力求避繁就简

运算繁杂是解析几何最突出的特点首先，解题中要指导学生克服只重视思路轻视动手运算的缺点运算能力差是学生普遍存在的问题，不仅在解析几何问题中要加强训练，而且在其他板块中也要注意加强训练，只有把提高学生的运算能力贯彻于教学的过程之中，才能收到较好的效果其次，要培养学生运算的求简意识，突出解析几何设而不求的运算本色，充分发挥圆锥曲线的定义和利用平面几何知识化难为易，化繁为简的作用.

参考文献：

[1]苏艺伟五环节教学，提升习题课品质[J].中国数学教育，2017（9）：22-26.