高考中一类抽象函数不等式解法的探究

摘 要：以微专题的形式对一类抽象函数不等式解法进行归纳复习，透析知识点背后的本质，探索这类试题的通性、通法，从而提高学生的解题能力.

关键词：抽象函数不等式；函数单调性；构造函数

基金项目：本文是福建教育学院2017年基础教育研究立项课题“微专题视角下的高三数学复习策略研究”（编号JYYB-2017001）的阶段性研究成果.

作者简介：康晓全（1969-），男，福建龙海人，本科，中学高级教师，研究方向：数学教育研究.

纵观近几年的高考试卷，有关抽象函数不等式的题目考频较高.作为考查函数性质、导数运算、导数在函数中的应用的有效载体，它已成为高考命题的热点.因此，本文把一类抽象函数不等式解法作为一个微专题，探究此类问题的一般解法.

解抽象函数不等式本质上是函数单调性质的一个应用，根据教材对函数单调性定义的叙述（以单调增函数为例），可以得到函数单调性质：若f（x）在区间I上单调递增，对任意x1，x2∈I，且f（x1）>f（x2），则x1>x2.性质可改写成：（1）单调增函数f（x）；（2）f（x1）>f（x2）（x1，x2∈I）；（3）x1>x2.则由（1），（2）（3）.

下面分别根据条件（1），（2）的三种不同呈现方式做归纳总结.

一、条件（1）呈现为：函数的奇偶性、单调性的条件是显性的

例1 （2017全國Ⅰ卷，理5）函数f（x）在（-∞，+∞）单调递减，且为奇函数.若f（1）=-1，则满足-1≤f（x-2）≤1的x的取值范围是（ ）.

A.[-2，2] B.[-1，1] C.[0，4] D.[1，3]

解析 因为-1≤f（x-2）≤1，且f（x）为奇函数，所以f（1）≤f（x-1）≤f（-1）结合单调性可知-1≤x-2≤1所以1≤x≤3.

例2 （2016天津，理13）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（-∞，0）单调递增，若实数a满足f（2a-1）>f（-2），则a的取值范围是.

解析 由题意f（x）在（0，+∞）单调递减，又f（x）是偶函数，f（2a-1）>f（-2）转化为f（2a-1）>f（2），结合单调性可知2a-1<2，所以a-1<12.解得12

解法感悟 函数在定义域内单调变式为不单调，常结合偶函数性质考查，利用偶函数对称性再数形结合去掉“f”，解不等式.

二、条件（1）呈现为：函数的奇偶性、单调性的条件是隐性的

例3 （2017江苏卷，理11）已知函数f（x）=x3-2x+ex-1ex，其中e是自然对数的底数，若f（a-1）+f（2a2）≤0，则a的取值范围是.

解析 易证f（-x）=-f（x），所以f（x）是R上的奇函数，又f ′（x）=3x2-2+ex+1ex≥3x2-2+2ex·1ex=3x2≥0，所以f（x）在R上单调递增.

因为f（a-1）+f（2a2）≤0，所以f（a-1）≤-f（2a2）即f（a-1）≤f（-2a2）所以a-1≤-2a2.

解得-1≤a≤12.

例4 （2015全国Ⅱ，文12）设函数f（x）=ln（1+|x|），则使得f（x）>f（2x-1）成立的x的取值范围是（ ）.

A.13，1 B.-∞，13∪（1，+∞）

C.-13，13D.-∞，-13∪13，+∞

解析 由f（x）=ln（1+|x|）-11+x2可知f（x）是偶函数，且在[0，+∞）是增函数.

所以f（x）>f（2x-1）f（|x|）>f（|2x-1|）|x|>|2x-1|13

解法感悟 虽然条件中给出具体函数解析式 ，但不要代入函数使不等式具体化，而是要通过探究函数的奇偶性和单调性，再数形结合去掉“f”，解不等式.

三、条件（1），条件（2）为隐性呈现

需根据所给条件，结合导数运算构造一个新函数，再利用新函数单调性及导数在函数单调性中的应用，或数形结合思想，去掉“f”，解不等式.

例5 （2015全国Ⅱ，理12）设函数f ′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf ′（x）-f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是（ ）.

A（-∞，-1）∪（0，1）

B （-1，0）∪（1，+∞）

C （-∞，-1）∪（-1，0）

D （0，1）∪（1，+∞）

解析 记函数g（x）=f（x）x，则g′（x）=xf ′（x）-f（x）x2.

因为当x>0时，xf ′（x）-f（x）<0，故当x>0时，g′（x）<0，所以g（x）在（0，+∞）单调递减；

又因为函数f（x）（x∈R）是奇函数，故函数g（x）是偶函数，所以g（x）在（-∞，0）单调递减，且g（-1）=g（1）=0.

当00，则f（x）>0；当x<-1时，g（x）<0，则f（x）>0.

综上所述，使得f（x）>0成立的x的取值范围是（-∞，-1）∪（0，1）.故选A.

解法感悟 在熟悉基本求导法则和公式的基础上，所给条件往往会给我们提供构造一个辅助函数的依据，考查辅助函数的奇偶性、单调性，再数形结合去掉“f”，解不等式.

几种导数的常见构造：

1对于f ′（x）>g′（x），构造h（x）=f（x）-g（x）；

2对于f ′（x）+g′（x）>0，构造h（x）=f（x）+g（x）；

3 对于xf ′（x）+f（x）>0，构造h（x）=xf（x）；

4 对于xf ′（x）-f（x）>0，构造h（x）=f（x）x；

5对于f ′（x）+f（x）>0，构造h（x）=exf（x）；

6 对于f ′（x）-f（x）>0，构造h（x）=f（x）ex.

如何更好地进行高三复习才能收到事半功倍的效果，是教师们一直在不断探索的方向.本文通过将近几年高考试题融入微专题的复习当中，精心讲解，透析试题背后的本质，让学生掌握解决此类问题的通性、通法，进而达到较好的复习效果.

参考文献：

[1] 苏艺伟 五环节教学，提升习题课品质[J].中国数学教育，2017（09）：：22-26.