导数问题中分类讨论的策略

摘 要：本文从导函数的根的存在性、根是否属于定义域、根的大小关系等三个方面探讨了导数问题中的分类讨论策略.

关键词：单调区间；极值；分类；取值范围

作者简介：曹辉 （1976-），男，甘肃永昌人，本科，中学一级教师，研究方向：中学数学教学.

分类讨论是解决含有参数的复杂数学问题的重要数学思想之一分类讨论是当问题所给的研究对象不能进行统一研究时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后分别对每一类对象进行研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.

近年，高考解答题对导数部分的考查几乎都会涉及到对某个参数的分类讨论，但总体表明考生的得分率并不高.主要原因有两个：一是不能理解题意；二是不会分类讨论.分类讨论不仅是高考的重点与热点，还是高考的难点.每年高考试题中都会设置分类讨论问题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题、解决问题的能力.因此，在教授导数时，要让学生掌握常见的分类讨论策略.本文对这类问题从3个方面谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.

一、有没有

导函数的根的存在性讨论.

例1 求函数f（x）=x3+ax2+x的单调区间.

分析 对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上是运用求导法，所以对函数f（x）=x3+ax2+x进行求导可以得到导函数f ′（x）=3x2+2ax+1观察发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程3x2+2ax+1=0是否有实根因此，首先考虑方程是否有解方程根的判别式Δ=4a2-12.

若Δ=4a2-12<0，即-30 在R上恒成立，所以f（x）在R上单调递增；

若Δ=4a2-12=0，即a=±3，方程3x2+2ax+1=0有两个相等的实根，x1=x2=-a3，即f ′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上单调递增；

若Δ=4a2-12>0，即a<-3或a>3，则方程3x2+2ax+1=0有两个不同实根，由求根公式可解得x1=-a-a2-33，x2=-a+a2-33，显然x1

表1

x（-∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）

f ′（x）+0-0+

f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增

综上所述，当-3≤a≤3时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），没有单调递减区间；当a<-3或a>3时，f（x）的单调递增区间为（-∞，-a-a2-33）和（-a+a2-33，+∞），單调递减区间为（-a-a2-33，-a+a2-33）.

例2 设函数f（x）=ex-ax-2，求f（x）的单调区间.

分析 此题与例1一样，可以用求导法讨论单调区间对函数f（x）=ex-ax-2进行求导，得到f ′（x）=ex-a.观察发现，无法确定方程ex-a=0是否有实根，因此，首先考虑方程是否有解对于含有超越式的方程是否有根问题，判别式无法使用，可转化为值域问题解决.

因为ex≥0，所以若a≤0，则f ′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上单调递增；若a>0，由ex-a=0得x=lna，当xlna时f ′（x）>0，所以f（x）的单调递减区间是（-∞，lna）， 单调递增区间是（lna，+∞）.

综上所述，当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），没有单调递减区间；当a>0时， f（x）的单调递减区间是（-∞，lna）， 单调递增区间是（lna，+∞）.

二、在不在

求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论.

例3 （2008高考浙江卷理科）已知a是实数，函数f（x）=x（x-a）.

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）设g（a）为f（x）在区间0，2上的最小值.

（i）写出g（a）的表达式；

（ii）求a的取值范围，使得-6≤g（a）≤-2.

分析 （Ⅰ）函数的定义域为0，+∞，f ′（x）=x+x-a2x=3x-a2x=3（x-a3）2x（x>0）.

由f ′（x）=0得x=a3.考虑a3是否落在导函数f ′（x）的定义域（0，+∞）内，需对参数a的取值进行讨论.

（1）当a≤0时，因为f ′（x）>0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）的单调递增区间为0，+∞.

（2）当a>0时，由f ′（x）>0，得x>a3；由f ′（x）<0，得0

因此，当a>0时，f（x）的单调递减区间为0，a3，f（x）的单调递增区间为a3，+∞.

（Ⅱ）（i）由第（Ⅰ）问的结论可知：

（1）当a≤0时，f（x）在0，+∞上单调递增，从而f（x）在0，2上单调递增，所以g（a）=f（0）=0.

（2）当a>0时，f（x）在0，a3上单调递减，在a3，+∞上单调递增.

①当a3∈（0，2），即0

②当a3∈2，+∞，即a≥6时，f（x）在0，2上单调递减，所以g（a）=f（2）=2（2-a）.

综上所述，g（a）=0，a≤0-2a3a3，0

（ii）令-6≤g（a）≤-2.

①a≤0，无解；

②若0

③若a≥6，由-6≤2（2-a）≤-2，解得6≤a≤2+32.

综上所述，a的取值范围为3≤a≤2+32.

三、谁大谁小

求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）， 导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论.

例4 求函数f（x）=13x3+1-a2x2-ax-a，x∈R的单调区间.

分析 对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本是运用求导法，所以对函数f（x）=13x3+1-a2x2-ax-a进行求导，得到导函数f ′（x）=x2+（1-a）x-a观察可知，导函数可以因式分解为f ′（x）=x2+（1-a）x-a=（x-a）（x+1）由此可知方程f ′（x）=0有两个实根x1=a，x2=-1，由于a的范围未知，要讨论函数f（x）=13x3+1-a2x2-ax-a的单调性，需要讨论两个根的大小.

当a<-1时，f（x），f ′（x）随x的变化情况如下：

x（-∞，a）a（a，-1）-1（-1，+∞）

f ′（x）+0-0+

f（x）單调递增极大值单调递减极小值单调递增

所以，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，a）和（-1，+∞），单调递减区间为（a，-1）.

当a=-1时， f ′（x）≥0在R上恒成立，所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），没有单调递减区间.

当a>-1时，f（x），f ′（x）随x的变化情况如下：

表3

x（-∞，-1）-1（-1，a）a（a，+∞）

f ′（x）+0_0+

f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增

所以，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（a，+∞），单调递减区间为（-1，a）.

综上所述，当a<-1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，a）和（-1，+∞），单调递减区间为（a，-1）；当a=-1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），没有单调递减区间；当a>-1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（a，+∞），单调递减区间为（-1，a）.

以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论.因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定规律可循的.当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握.