一个组合数恒等式的两种证明方法

摘 要：归纳了有关生成函数、二项展开式、离散型随机变量的分布列以及伯努利概型等方面的知识，对一个由组合数构成的数列恒等式给出两种证明方法.

关键词：组合数；恒等式；二项式；概率；伯努利概型

作者简介：郑金（1966-），男，辽宁朝阳人，本科，讲师，研究方向：有关物理和数学的高考题、竞赛题解法.

为了证明恒等式，首先归纳有关的数学知识.

对于各项为a0，a1，a2，…，an，…的数列{an}，如果函数f（x）可以展开成幂函数多项式a0+a1x+a2x2+…+anxn+…，就称f（x）为{an}的生成函数（亦称母函数）.

二项式（a+b）n展开式的通项即第r+1项为Tr+1=Crnan-rbr可知函数f（x）=（1+x）n（n为大于1是正整数）就是数列C0n，C1n，C2n，…，Crn，…，Cnn的生成函数.

对于离散型随机变量的分布列，各变量的概率之和等于1，即P0+P1+P2+…+Pn=1.

对于独立重复试验的伯努利概型，即事件A在m次重复试验中恰好发生n次，而在其余m-n次试验中不发生，若用符号代表发生，用符号代表不发生，把m个符号排成一列，则共有Cnm种情形设在一次试验中事件A发生的概率为P（A）=p，则不发生的概率为P（A）=1-p=q，由试验的独立性可推知，每一种情形发生的概率都是pn（1-p）m-n由概率加法公式可知，在m次独立重复试验中事件A恰好发生n次的概率为Pm（n）=Cnmpn（1-p）m-n=Cnmpnqm-n.恰好等于二项式（q+p）m展开式的第n+1项.

下面分别利用二项展开式的性质和伯努利概型的概率公式来证明一个由组合数构成的数列恒等式.

例题 求证：C0n+12C1n+1+14C2n+2+18C3n+3+…+12nCn2n=2n.

解法1 构造二项式函数

这个恒等式的左边各项可构成组合数的数列，但难以直接利用组合数以及二项展开式的性质来求和，需构造一个多项式函数即母函数，可按以下五步进行推导证明.

1变换形式

对原恒等式进行等效变换，利用公式Cmn=Cn-mn，可得Cnn+12Cnn+1+122Cnn+2+…+12nCn2n=2n①

只要证明①式成立，那么原恒等式就成立.

2构造函数

二项式（1+x）m展开式的通项即第n+1项为Tn+1=Cnmxn，可知存在一个多项式函数f（x），其各项展开式中xn的系数都与①式左边的各项相等，那么展开式合并同类项后xn的系数与①式的左边相等.

①式左边的通项为12kCnn+k，恰好等于二项式12k（1+x）n+k展开式中第n+1项12kCnn+kxn的系数，因此母函数f（x）的通项为12kCnn+kxn，其中自然数k满足0≤k≤n，所以①式左边对应的函数为

f（x）=（1+x）n+12（1+x）n+1+14（1+x）n+2+…+12k（1+x）n+k+…+12n（1+x）2n②

这是由多个二项式构成的函数，其展开式中各xn项的系数之和S恰好等于①式左边数列之和，即

S=Cnn+12Cnn+1+14Cnn+2+…+12nCn2n ③

3化简函数

利用等比数列求和公式对函数②式进行求和运算函数f（x）是一个等比数列的前n项和，公比为q=1+x2，利用等比数列前n项和公式Sn=a1-anq1-q得

f（x）=[2（1+x）n-12n（1+x）2n（1+x）]11-x

=[2（1+x）n-12n（1+x）2n+1]11-x④

考虑到无穷等比数列求和公式

g（x）=1+x+x2+x3+…=11-x（x<1），

可知f（x）=[2（1+x）n-12n（1+x）2n+1]（1+x+x2+…） ⑤

4分析xn项系数

利用二项展开式的性质分析函数f（x）展开式中xn项的产生原理，提取系数.

在⑤式中，对于二项式（1+x）n，其展开式中x的最高次幂的项是Cnnxn，则其他各项的xk都小于xn，因此该展开式中的每一个含有xk的项都可与g（x）中的对应项xn-k的乘积产生xn，共有（n+1）个含xn的项由于g（x）中的各项xn-k的系数都为1，因此由乘积产生的各xn的系数都等于2（1+x）n展开式中各项的系数2Crn，若合并同类项，则xn的系数等于2（1+x）n展开式中各项的系数之和，即

S1=2（C0n+C1n+C2n+…+Crn+…+Cnn） ⑥

对于二项式（1+x）2n+1，其展开式中含xn的项是Cn2n+1xn，只有那些含有xk都不大于xn的項，才能与g（x）中的xn-k（不大于xn）的乘积产生xn，即当0≤k≤n时，每一个含有xk的项与g（x）中的xn-k的乘积产生xn，共有（n+1）个含xn的项由于g（x）中的各项xn-k的系数都为1，因此由乘积产生的各xn的系数都等于12n（1+x）2n+1展开式中各项的系数12nCr2n+1，若合并同类项，则xn的系数等于12n（1+x）2n+1展开式中各xk（0≤k≤n）项的系数之和，即

S2=12n（C02n+1+C12n+1+C22n+1+…+Cn2n+1） ⑦

⑤式与②式等价，各项展开式中xn的系数之和即展开式合并同类项后xn的系数为S=S1-S2⑧

5处理系数

由③式可知，只要利用组合数的性质计算⑥式、⑦式，由⑧式得出S=2n，即可证明①式成立.

对于⑥式，由组合数的性质可知S1=2n+1.

对于⑦式，利用公式Cmn=Cn-mn可知

（C02n+1+C12n+1+…+Cn2n+1）+（Cn+12n+1+…+C2n+12n+1）=2（C02n+1+C12n+1+C22n+1+…+Cn2n+1）=2S0.

则S0=12（C02n+1+…+Cn2n+1+Cn+12n+1+…+C2n+12n+1）=12（1+1）2n+1=22n.

那么S2=12nS0=2n.

由⑧式得S=2n+1-2n=2n可知①式成立.

点评 解答关键是利用组合数公式和二项式的性质推导母函数的通项来构造由若干个二项式构成的多项式函数，并利用两个等比数列求和公式进行化简和变形难点是由⑤式如何产生各xn项以及如何用组合数之和来表示函数展开式中xn的系数，要注意条件0≤k≤n对（1+x）2n+1展开式中各xk项个数的限制.

解法2 构造概率模型

某人随身携带两盒火柴分别装在左、右两个衣兜里，每盒火柴有n根，使用时随机从任一盒中取出一根火柴，经过一段时间后，发现一盒火柴已取完，求另一盒火柴恰有k根的概率.

记A为取左侧盒中火柴的事件，B为取右侧盒中火柴的事件，把取一次火柴视为一次随机试验，每次试验的结果是A或B发生，则各自的概率为p（A）=p（B）=12由于在右侧盒中取火柴的同时不可能在左侧盒中取火柴，因此不在左侧盒中取火柴的概率为p（A）=p（B）=12当左侧盒中的火柴取完时，右侧盒中的火柴恰有k根，则从两盒中取出火柴的次数分别为n和n-k，取出火柴的總次数为2n-k而左侧盒变空与右侧盒变空的概率相等，即p′（A）=p′（B）=12把在火柴盒中取1根火柴视为独立试验，对于A盒火柴而言，只有两个可能的结果，取出1根或不取出1根，概率分别为p（A）=12和p（A）=12，当取完时，重复试验发生n次，利用伯努利概型的概率公式Pm（n）=Cnmpn（1-p）m-n可知，在2n-k次取出火柴的试验中恰好从左侧盒中取出n根火柴的概率为

P2n-k（n）1=P′（A）Cn2n-k[P（A）]n[P（A）]n-k

=12Cn2n-k（12）n（12）n-k=12Cn2n-k（12）2n-k.

右侧火柴盒变空而左侧盒中恰有k根火柴的概率为

P2n-k（n）2=P′（B）Cn2n-k[P（A）]n[P（A）]n-k

=12Cn2n-k（12）2n-k.

所以一盒火柴取完时另一盒火柴恰有k根的概率是P2n-k（n）=Cn2n-k（12）2n-k.

因为当k取值从0到n时的各个事件不可能同时发生，为互斥事件，则有

P0+P1+P2+…+Pn=1.

即 Cn2n（122n）+Cn2n-1（122n-1）+…+Cnn（12n）=1.

两边同乘以2n，利用公式Crn=Cn-rn可得

Cn2n12n+Cn-12n-112n-1+…+C1n+112+C0n=2n.

即C0n+12C1n+1+14C2n+2+…+12nCn2n=2n.

点评 对于构造概率模型法，关键是把概率模型与有关概率的规律对号入座，从而利用伯努利概型的概率公式以及离散型随机变量的分布列的性质解答在应用概率公式时，由于考虑到两盒火柴取完其中一盒出现的先后次序，需分两步进行计算概率为了简化计算过程，也可不考虑先后次序，因为根据所构造的概率模型，对于2n-k次取出火柴的试验，当其中一盒火柴剩余k根时，另一盒火柴一定会刚好取完，即取出n根，此时刚好完成所有的试验结果，而每次取出1根火柴的概率都为p=12，所以在2n-k次取出火柴的试验中恰好从一盒火柴取出n根的概率为

P2n-k（n）=Cn2n-kpn（1-p）n-k

=Cn2n-k（12）n（1-12）n-k=Cn2n-k（12）2n-k.

探讨 若对原题进行初次解答，则上述构造火柴概率模型难以想到考虑到伯努利概型的概率公式是借助投球概率模型推导的，因此对原题还可通过构造投球概率模型进行解答.

需首先由原题恒等式探究与伯努利概型的概率公式相似的通项将原题等式左边取倒序和为

Cn2n12n+Cn-12n-112n-1+…+C1n-112+C0n=2n.

该式两边同除以2n，利用公式Crn=Cn-rn可得

Cn2n（12）2n+Cn2n-1（12）2n-1+…+Cnn-1（12）n-1+Cnn（12）n=1.

通项为Cn2n-k（12）2n-k=Cn2n-k（12）n（1-12）n-k.

此式与伯努利概率公式Pm（n）=Cnmpn（1-p）m-n相似，因此可构造投球模型：

如果一个学生投球的命中率为50%，那么他投球2n-k次，投中n次的概率是多少？

对于这个概率问题，可直接利用伯努利概型的概率公式来解答，把p=12，m=2n-k代入伯努利概型的概率公式Pm（n）=Cnmpn（1-p）m-n，可得

P2n-k（n）=Cn2n-k（12）2n-k.

再利用公式P0+P1+P2+…+Pn=1，即可推导出原题恒等式.

在由原题恒等式探究与伯努利概型的概率公式相似的通项时，也可不取倒序和，直接把原恒等式两边除以2n，并利用组合数的性质Crn=Cn-rn得

12nCnn+12n+1Cnn+1+…+122n-1Cn2n-1+122nCn2n=1.

其通项为Cnn+k（12）n+k=Cnn+k（12）n（1-12）k.

由于该式与公式Pm（n）=Cnmpn（1-p）m-n相似，因此可构造另一投球模型：

如果一个学生投球的命中率为50%，那么他投球n+k次，投中n次的概率是多少？

对于该题，可直接利用伯努利概率公式解答，把p=12，m=n+k代入公式Pm（n）=Cnmpn（1-p）m-n，可得Pn+k（n）=Cnn+k（12）n+k再利用公式P0+P1+P2+…+Pn=1，即可推导出原题恒等式.

由此可见，在对原题利用构造概率模型法解答之前，需探究与伯努利概型的概率公式相似的通项，即对原题恒等式进行等效变换，使等式右边等于1，而且等式左边的通项与伯努利概率公式相似在此基础上即可构造投球概率模型，然后利用伯努利概率公式以及离散型随机变量分布列的性质推导出原题给出的恒等式，使问题迎刃而解.

总之，无论是利用构造二项式函数法还是构造概率模型法解答，都需利用组合数公式Crn=Cn-rn对原题恒等式进行等效变换，再把恒等式的通项与二项展开式的通项以及母函数的通项或者伯努利概型的概率公式进行对比和联系.

参考文献：

[1] 张宇红二项式定理与组合恒等式[J].数理天地，2006（7）：8.

[2] 王永玲，李秋实活用概率模型解题[J].数理天地，2006（7）：16.