揭示形成过程，建构探究思路，完善知识体系*——以“三角形的外角”的教学为例

☉江苏省南京市第三十九中学夏鸣

在一次校际教研活动中，笔者开设了人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册“三角形的外角”公开课.本节课的重点是探索三角形内角和定理的一个推论，即三角形外角定理.本文展示该课的教学分析、教学设计及教学反思，与更多同行研讨.

一、课前的教学分析

三角形的外角是指三角形的一边与另一边的延长线组成的角，其实质是三角形内角的邻补角，外角可以看作由内角而“生”，两者之间有密切的联系.因此，在概念教学中，我们可以从三角形的内角出发，将其一边延长，观察新得到的角与内角的区别与联系，再归纳形成外角的概念.这种设计的优点在于简洁明了，直奔主题，但缺乏对“为什么要‘延长’”“怎么想到要‘延长’”等问题的思考，没有将外角的概念置于知识体系中进行研究.笔者认为，在学习本节课之前，学生已经认识了对顶角、邻补角、三线八角等，这些角的学习都是在相交线与平行线的知识体系下进行的，并且三角形的外角与这些角也都存在联系.因此，我们可以将三角形的外角也置于相交线与平行线的体系下设计数学活动，由1条直线（平角）到2条相交线（对顶角、邻补角），再到3条直线（三线八角、三角形的外角），逐步构画出一个三角形的所有外角，并通过比较三角形同一个顶点处三种角的两边的位置属性，引导学生形成三角形的外角的概念.

三角形外角定理研究的是三角形的一个外角与与其不相邻的两个内角之间的数量关系.研究的设计思路通常是从特殊到一般，定理的发现过程是以计算一个外角和与其不相邻两个内角的度数为起点，根据计算结果猜想和发现定理为终点.但在这个过程中，学生的实质性思考并不充分，学生很难想到研究这些角的缘由，只是被设计活动牵引着探究，这样的学习是被动的，是孤立的.学习该定理之前，学生已经知道三角形的一个外角与其相邻内角的数量关系，这可由外角的概念得到，而概念应该是整个探究的“基石”，所以我们应该以此为研究的起点，引导学生通过改变内角、外角的位置，增加内角、外角的个数来提出新问题，发现新结论.另外，我们要充分利用学生所提出的问题，将课堂中学生的生成作为一种重要的教学资源，引导学生分析所提问题的研究价值，从中甄选出一个结论作为定理，帮助学生建构探究思路的同时，完善知识体系，既见“树木”，又见“森林”.

根据上述教学分析，结合学生已有的认知结构和心理特征，本节课教学要达成下列两个目标：一是学生通过对与三角形有关的角的构图、比较、分析，抽象概括出三角形的外角的位置特征，形成概念；二是学生能从外角概念出发，通过改变内、外角的位置，增加内、外角的个数提出新问题，发现新结论，在此过程中，发现并掌握三角形外角定理.其教学重点在于引导学生在与三角形有关角的知识体系下掌握三角形外角定理.

二、课中的教学设计

活动1：构图生长，形成概念

图1

（1）如图1①，图中有角吗？

师生活动：教师画出1条直线，引导学生识别图中的平角.

（2）请在图1①中再画一条直线，使其出现更多的角.这些角有什么关系？

师生活动：引导学生在图中再添加1条直线（如图1②），识别图中的对顶角、邻补角.

（3）请在图1②中再画一条直线，使其出现更多的角.这些角有什么关系？

师生活动：学生可能画出三种图形（如图1③～⑤）.教师引导学生识别图中已学的角，分析这些角之间的关系.

教师追问：如图1⑤，三角形同一顶点处的角有哪些？请将这些角进行分类.

师生活动：对图1⑤中同一顶点处的4个角进行分类.学生可以根据角之间的数量关系分成两类，第一类是三角形的内角与其对顶角，第二类是三角形内角的邻补角；也可以根据组成角的两边的位置属性分成三类：第一类是三角形相邻两边组成的角即内角，第二类是三角形相邻两边反向延长线组成的角即内角的对顶角，第三类是三角形一边与另一边的反向延长线组成的角即外角.教师在上述分类的过程中，帮助学生理清各角的关系，形成外角的概念.

设计意图：引导学生逐步添画直线，形成熟悉的基本图形，自然画出三角形的外角.在三角形的外角构图生长中，比较图1⑤中同一顶点处的4个角的不同，关注三角形同一顶点处内、外角之间的关系，认识三角形的外角两边的位置特征，形成外角的概念.同时，为后续学习三角形外角定理做好铺垫.

活动2：发现问题，建构思路

（1）如图2，请画出△ABC的一个外角.

师生活动：学生根据外角的定义解答，画出△ABC的一个外角∠ACD（如图3）.

图2

图3

教师追问：由三角形的外角的概念，你能获得什么结论？

师生活动：引导学生答出外角∠ACD与内角∠ACB互补.

（2）研究完外角∠ACD与内角∠ACB的关系后，你认为还可以研究什么问

图4

师生活动：学生可能回答要研究顶点为A或B的内、外角关系，教师根据学生的回答画出图4.

教师追问（1）：刚才大家提到的外角∠ACD与内角∠ACB，外角∠BAE与内角∠BAC，外角∠CBF与内角∠ABC，每组内、外角有何共同特征？

师生活动：引导学生说明它们都是具有公共顶点的1个外角和1个内角.

教师追问（2）：你能改变这些特征提出新问题吗？

师生活动：引导学生改变上述问题中研究对象的基本属性（位置、个数等）提出问题.学生可能提出“1个外角1个内角（不相邻）、1个外角2个内角（相邻或不相邻）、1个外角3个内角、2个外角1个内角（相邻或不相邻）、2个外角2个内角（相邻或不相邻）、2个外角3个内角、3个外角3个内角之间有何数量关系”等新问题，并将其整理罗列出来（详见活动3）.

设计意图：通过画图、识图，巩固三角形的外角概念的内涵与外延.同时，启发学生发现还可以研究不同顶点处内、外角的关系，并根据内、外角的个数，提出新问题.这样的设计，不局限于对问题本身的解决，更提倡学生大胆发现问题、提出问题，建构与三角形有关的角的探究思路.需要说明的是，课堂教学中不强求学生提出所有情况下的问题，能提出利于发现定理的若干问题即可.

活动3：甄选定理，完善体系

（1）如图4，探究上述三角形的内、外角的数量关系：

①∠ACD与∠BAC；

②∠ACD与∠ACB、∠BAC；

③∠ACD与∠BAC、∠ABC；

④∠ACD与∠ACB、∠BAC、∠ABC；

⑤∠ACD、∠CBF与∠ACB；

⑥∠ACD、∠CBF与∠BAC；

⑦∠ACD、∠CBF与∠ACB、∠ABC；

⑧∠ACD、∠CBF与∠BAC、∠ABC；

⑨∠ACD、∠CBF与∠ACB、∠BAC、∠ABC；

⑩∠ACD、∠CBF、∠BAE与∠ACB、∠BAC、∠ABC；

……

师生活动：引导学生逐步完成上述问题的探究.探究中，学生会发现问题③的结论是∠ACD＝∠BAC＋∠ABC，问题⑥的结论是∠ACD＋∠CBF＝∠BAC＋180°，问题⑦⑩的结论是∠ACD＋∠ACB＝∠CBF＋∠ABC＝∠BAE＋∠BAC＝180°，问题①②⑤没有明确结论，问题④⑧⑨可以转化为问题③或问题⑥解决.

如果学生有困难，教师可设计以下活动（以问题③为例）帮助学生探究.

（2）在问题③④⑥⑦⑧⑨⑩的结论中，你会选择哪一个作为定理？为什么？

师生活动：引导学生从“必要”和“简洁”两个方面进行思考，选择问题③的结论作为定理.

教师追问（1）：请用文字语言表达出问题③中的结论.

师生活动：学生用准确、简练的文字语言概括问题③中的结论，得到三角形外角定理.

教师追问（2）：根据定理的条件和结论，画出图形，并用符号语言表达.

师生活动：学生在分析完定理的条件和结论后，学习定理的图形语言、符号语言.

设计意图：对于上述十个问题的探究，根据学生的情况，可以要求学生直接说出答案，并推理证明，也可以设置从特殊到一般的数学活动帮助学生发现结论，再利用之前所学的结论进行分析推理.然后，引导学生在所提十个问题的结论中，甄选出他们心目中的定理，体会定理的简洁性和必要性，渗透公理化体系，将定理的探索设置于整个知识体系当中，完善与三角形有关的角的知识体系.

图5

活动4：巩固新知，深化理解

例如图5，已知△ABC，点D在边AB上，点E在边AC的延长线上，DE交BC于F，∠A＝27°，∠BCE ＝92°，∠BDE ＝44°，求∠BFE的度数.

师生活动：（1）教师引导学生在图中标注条件，分析∠BFE可看作哪些三角形的外角.（2）教师引导学生分析解题思路：思路1：要求∠BFE的度数，根据三角形外角定理，结合条件∠BDE的度数，只要求∠B的度数，由于∠A、∠BCE的度数已知，根据三角形外角定理，容易得出∠B＝65°；思路2：与思路1类似，解题关键是由∠A、∠BDE的度数求∠E.（3）学生独立完成解题过程，一名学生板书.（4）师生共同分析板书学生的解题过程.（5）教师引导学生得出基本模型：箭头型，并推出一般结论：∠BFE＝∠A＋∠B＋∠E.

设计意图：运用三角形外角定理求相关角的度数，归纳典型的几何基本模型，促进学生进一步巩固定理内容的同时，提高学生的数学表达能力和用综合法解决几何问题的能力.

活动5：回顾总结，引发思考

教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）探索三角形的内、外角之间的关系，其基本路径是什么？

（3）学习完三角形的内、外角之间的关系，你还可以提出哪些值得研究的新问题？

师生活动：（1）教师引导学生回顾本节课所学内容；（2）帮助学生理清探索三角形的内、外角关系的基本路径；（3）启发学生思考后续还可以研究四边形、五边形等多边形的内、外角的关系.

设计意图：通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心——在与三角形有关的角的知识体系中，掌握三角形外角定理，并引发学生思考后续还可以研究的新问题，完善多边形的内、外角的知识体系.

三、课后的教学反思

1.揭示形成过程，让数学概念有序生长

数学概念是指人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式.它既是思维逻辑的起点，也是学生学习的基础.在数学概念的教学中，我们需要分析它的上位概念、本位概念或下位概念，剖析它的地位和作用，在知识体系中形成概念、理解概念.本节课中，笔者将三角形的外角概念纳入相交线与平行线的知识体系中设计教学活动，引导学生由平角画出对顶角、邻补角，再画出三线八角、三角形的内角和外角，在观察、分析、比较中形成外角的概念，让三角形的外角师出有名，有序成长.这样的活动设计可以帮助学生经历概念的生长、形成过程，有利于学生理解数学知识，更有利于学生形成良好的思维习惯、增强数学的应用意识.

2.建构探究思路，让数学问题自然提出

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，教学中不仅要学生具备分析和解决问题的能力，还应该让学生具备发现问题和提出问题的能力［1］.怎么启发学生想到要研究的问题是关键点，也是难点.这需要我们先找到问题的生长源，引导学生思考问题中所涉及的数学对象是什么，再启发学生改变问题中所涉及对象的基本属性来提出新问题.这个过程既是问题提出的过程，也是对问题探究思路的建构过程.教学中，笔者从外角的概念入手，引导学生想到要研究的问题是内角与外角之间的关系，通过改变问题中内、外角的位置、个数，发现并提出本节课要研究的核心问题.这样的教学活动是让学生学会学习，让学生知道怎么学习，学生在喜欢数学的同时，感受数学的价值，体会数学思维过程的内在美.

3.完善知识体系，让学生的思维自由发展

数学的教学价值不是让学生记住别人得到的性质与定理，做别人做过的“好题”与“难题”，而在于让学生在知道结论的同时，学会理性、学会探究、学会创新，并在此过程中让思维自由发展［2］.在本节课的知识建构活动中，笔者引导学生经历对三角形内、外角关系的理性分析过程，让学生学会发现问题的方法，分析所提问题的研究价值，感悟公理化等重要的数学思想方法.此外，在回顾总结环节，笔者再次启发学生将现学的知识类比到四边形、五边形等多边形中，引导学生提出更有价值的新问题.这样的学习，不仅使学生知道定理的来龙去脉，掌握了定理的证明，而且完善了知识体系，发展了数学思维.