数学史融入课堂教学的实践与思考*——以“解一元二次方程（配方法）”教学为例

☉北京汇文中学段莹

☉华中师范大学数学与统计学院李娜

一、研究背景

1.理论依据

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学素养是现代社会每一个公民应具备的基本素养，而数学文化是数学素养的重要组成部分，数学史是渗透数学文化的重要途径［1］，因此我们要从文化的角度去理解数学.在数学教育中运用数学史，可以促进学生数学核心素养的主动建构［2］.研究表明，融入数学史的数学教学可以激发学生学习数学的兴趣，培养科学的数学思维方法，提高美学修养，拓宽数学眼界，培养创新能力，激励学生等［3］.因此，作为一线教师，进行教学设计时，有必要参考相关数学史材料，对数学史融入教学进行初步尝试，以期对数学教学工作的有效开展有所启示.

2.学生情况分析

本文第一作者任教的汇文中学是北京市重点中学，所教的两个班的学生学习程度较好.在进行本节课的教学之前，已经尝试过将数学史融入数学课堂教学中.同时，在课前准备的过程中，发放了一个关于学生对教师利用数学史进行教学的意愿及效果的问卷.问卷调查显示：91%的学生表示愿意教师在数学课堂上介绍相关数学文化的知识，由此可见，在数学课堂中融入数学史得到大多数学生认可.本文以“解一元二次方程——配方法”为例，说明有效融入数学史的课堂教学.

二、课例主题的选择和教学目标的确定

选择九年级上册“解一元二次方程——配方法”这一教学内容，先考察相关历史，选择适合本节课的数学史融入教学的运用方式，接着分析学生的实际需要，最终设立本节课的教学目标.

1.历史材料的整合

18世纪，古巴比伦泥板书上出现了历史上第一批一元二次方程，其中一个问题为：“一块矩形田地面积为55，长边比短边多6，问短边有多长.”

古巴比伦人的解法如图1所示：将一个长比宽多6的长方形按图1（1）中的实线折叠，得到一个正方形，和一个宽与正方形的边长相等、长为6的矩形；再将矩形沿图1（2）中的虚线剪开，将剪下的图形置于正方形的另一边；最后补一个面积为9的小正方形，便得到一个大正方形，其面积为55+9=64，边长为8，即求得短边长为8-3=5.

经分析，此数学史材料满足意大利学者Furinghetti提出的课堂需求，即数学史材料符合趣味性、科学性、有效性、可学性和新颖性.此处对有效性和可学性做出说明：有效性在于此问题的解决办法利用了数形结合这一重要的数学思想方法，培养学生以形助数的思想意识，开拓学生的思维视野；另外，此解法赋予“配方法”解某类一元二次方程的几何意义，能帮助学生从不同角度理解配方法，从而达到让学生感到“直观、好记”的作用.

图1

2.将史料用于教学的运用方式选择

对于史料的融入，我们选择的方法是“重构式”［4］：首先追溯配方法思想的历史起源，即通过几何图形的割补，构造正方形，利用面积求边长来解决部分一元二次方程的求解问题.在介绍此历史方法后，将几何问题与代数解法构建联系，自然地呈现用“配方法”解一元二次方程的过程.其目的在于通过追溯一种方法的历史起源，激发学习动机，通过呈现知识的自然发生过程，加深学生对配方法的理解，提高数学思维能力.

3.学生的实际需要

配方法是重要的解一元二次方程的方法，通过预研究发现，学生在“配方”技能上并不存在太大困难，通过让学生解决四个有关配方法的问题发现，出错的学生分别只占6.7%、11.1%、13.3%和18.5%.在此情况下，在完成“用直接开平方法解一元二次方程”的教学后，直接让学生尝试解方程：x2+6x+4=0，有近一半的学生能自觉利用转化思想将方程“配方”，进而利用直接开平方法求解.因此，若本节课仅仅把目标定在用配方法解方程和化归思想上，便过多强调了方法的总结，将不利于学生数学思维的发展，所以考虑数学史的渗透.

4.教学目标

综上分析，确定本节课的教学目标为：能用配方法解一元二次方程；经历从用几何方法解一元二次方程到用代数方法解一元二次方程的过渡，体会以形助数、数形结合的思想方法；体验从不同角度解决问题的过程，体会解决问题方法的多样性，发展创新意识；感受数学的悠久历史，感悟数学文化，通过追溯配方法的历史起源激发数学学习兴趣.

5.教学设计及实施与设计意图说明

（1）引入.

①教学设计及实施.

通过PPT展示古巴比伦的泥板书，介绍其出现时间和用途等.接下来提问：“泥板书上出现了历史上第一批一元二次方程，其中一个问题如下：一块矩形田地面积为55，长边比短边多6，问短边有多长.”

学生想到用方程解决此问题，设短边长为x，得到方程x（x+6）=55，即x2+6x=55.教师指出此问题转化成了一元二次方程的求解问题，接下来引导学生利用古巴比伦人的几何方法求解.

将具体解法的操作过程展示在PPT上，注意几个方面：引导学生思考什么图形由面积可求边长，学生给出正方形这个答案，接着追问能否把这个矩形转化成正方形，从而引导学生思考，也是对接下来的操作进行提示；在每一步操作中，提问学生面积是否变化、如何变化；在幻灯片展示结束后让学生动手操作，并明确手中图形的面积及各边的长度.

②设计意图说明.

这一设计的意义在于让学生体会到最原始的数学发展，不仅能开阔学生的眼界，使其感悟数学文化，还能让学生在追溯历史的过程中自觉思考，提高数学学习兴趣和思维能力.此外，通过以形助数，给抽象的数学问题以形象化的原形，从而给人们以形象思维的启示，产生更深刻的印象［5］.

（2）配方法解一元二次方程的探究.

①教学设计及实施.

提问：你能把刚才每一步操作的几何语言转化成代数语言吗？

接着板书完成图2，学生可以较为顺利地得到与之对应的方程.

图2

提问：“从代数角度看，这是在做什么？”学生的回答是在解一元二次方程，追问：“此解法有什么问题吗？”学生可顺利答出此解法“丢解”了.对于方程（x+3）2=64，根据平方根的意义，得到的是x+3=8或x+3=-8.教师完善板书并做出解释：①古巴比伦泥板书上的问题是以面积问题为背景出现的，不需考虑负根；②当时人们根本不承认负数的存在.紧接着，让学生把“方程两边同时加9，从而配成完全平方式”和相应的几何操作联系起来，学生的发言非常精彩.最后介绍什么是用配方法解一元二次方程，并给出两道例题让学生尝试并初步体会此方法：x2+6x=-4，x2-4x=60.

在初步体会之后，引导学生思考如下三个问题：如何用配方法解一元二次方程x2+px+q=0？一次项系数的符号对配方的过程和结果有影响吗；用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的具体步骤是什么？

②设计意图说明.

历史现象为我们从多角度理解用配方法解一元二次方程提供了丰富的素材，然而，历史现象和教学现象却不同，其差异主要体现在学生缺乏相关的历史背景知识，而他们拥有了前人未知的一些知识.因此，在实际教学中，教师需要遵循学生的认知发展规律，把历史现象转化为教学现象，采用自然的方式呈现所教的知识.

具体体现在，考虑到学生利用几何图形的割补来解决问题的经验较为缺乏，本课并没有要求学生经历自主探索，得到用几何法解一元二次方程，而是主要以教师讲授为主.另一方面，学生对于运用代数符号进行代数运算有较好的基础，因此教学设计注重此解法的归纳和落实.对于强调将代数解法和几何操作联系起来，是想赋予用配方法解一元二次方程以几何意义，从而能从不同角度理解用配方法解方程，让配方法变得“直观、好记、易理解”.

（3）巩固新知.

①教学设计及实施.

例题：用配方法解一元二次方程：

②设计意图说明.

数学史融入数学教学的目的是为教学服务，而不是让学生掌握数学史或数学史上的一些解法，不要喧宾夺主、本末倒置.落实到“配方法”这一基本方法，是本课的重点，而不是用几何法解一元二次方程，所以一定注意安排适当的练习来强化此方法.

（4）归纳小结.

教师与学生共同进行小结，尤其注重对数学史渗透这一部分的强化.

三、总结与反馈

课堂观察、学生总结、课后调查问卷和课后作业表明，本节课有如下独特优势：

1.站在更高层次理解数学

在数学教学中突出数学思想方法很有必要，而数学史是数学思想方法的重要载体，数学教科书仅仅记述了研究的最终结果，如本课例的教材中仅阐明了如何用配方法解方程，教师有必要把潜在于教材中的思想内涵提炼挖掘出来，即将长方形改造为正方形后，已知面积可求边长，并传授给学生，使学生从更高的数学思想层次俯瞰数学、理解其实质［6］.

2.提高思维能力

通过引导学生追溯用配方法解一元二次方程的历史并将其与现代的代数解法联系起来，促进学生自觉思考，并体会其中的数形结合思想，提高学生的数学思维能力.

3.培养创新意识

通过引导学生从不同角度认识配方法，深刻挖掘其内涵，从更深层次理解配方法，从而提高学生解决问题的能力和创新能力.

4.学生的积极反馈

（1）感悟数学文化，开阔视野.

学生在调查问卷中写到：“本节课其实还是以数学知识为主，此外了解一些历史知识，辅助学习”“很高兴学到了古人的智慧”等.

（2）课堂氛围轻松、有趣.

学生谈到：“很有收获，氛围轻松愉快”“很有趣，并不乏味、枯燥，还学到了知识”“知道了古巴比伦人是怎么解决方程问题的，对后面的学习挺感兴趣的”“学到了许多知识，而且第一次认为学习数学是件非常快乐与有趣的事情，这对我帮助很大”等.

（3）体验到用几何法解方程可加深对用配方法解方程的理解.

有学生提到：“这节课通过多角度来讲解，是很全面、易懂的”“用古代人的方法，使我在大脑中更深刻地记住了解一元二次方程的过程，我非常希望老师能多用这种办法帮助我们记住较难理解的知识点”等.

四、小结

数学史料作为教师教学中的工具，可以用来帮助学生理解相关知识.但是需要注意，不能仅仅限于有趣史料的介绍，更要充分挖掘历史文化的底蕴［7］，增强数学学科的人文价值，使学生能在学习过程中不但掌握必要的数学知识，还能了解数学发展的历史进程［8］，加深对数学知识的理解.