蛋糕中的组合数

胡博

引言：把一个蛋糕切1刀最多切成2块，切2刀最多4块，那么切3刀呢？

显然，这是一条小学级别的、带一点脑筋急转弯色彩的数学题.但当年，小伙伴们的答案却是6（如图1）；而我思索了一会，美滋滋地向老师报出自己的答案：7.（如图2）

可惜，这依旧是个错误答案.但是老师给出的“8”并不能让我释怀：谁家蛋糕会横着切啊！

于是，我很自然地开始思考这样的问题：如果只限竖着切，那么n刀最多能切成几块？小学的故事到此为止，下面开始用高中的知识来解决这个问题.

以图6为例，第4刀切过了图5中的4块区域，并且将每块切成了新的两小块.仔细分析后不难得出，要使块数最多，第n刀必须与之前的n-l刀相交，这样便增加n-l+l=n块蛋糕，

可是，这不是数列问题吗！说好的组合数呢！别急，看看上面的四张图，线段与圆的交点分别是2，4，6，8……奇數去哪了？

脑袋比较灵活的同学可能已经反应过来了：你这是切蛋糕啊！为了保证块数最多必须每刀都和圆有两交点啊！是的，所以我改了下题目：在圆周上的n个点两两连线，最多可以把圆分成几份？

这和刚才有什么区别呢？

我来画张图（如图7）：

咦？似乎规律很明显呢！ 1，2，4，8，16，这串数字再熟悉不过了.似乎这题已经被解决了.

直到我又加了一点：

别数了，图8中一共31块（中间有一小块）.

等一等！不应该是32吗？

七个点时，共57块，这下彻底和2没关系了.

仿照我们之前切蛋糕的过程，我们用图9中的线段AB为例分析一下.这一条线与其他6条弦相交（不算首尾）.使7个区域一分为二变成14个.但并不是每条线都是如此，图中的AC就只切了4条线5块区域.

所以我将区域分成两种，以AB为例，起点不算，与其他弦相交6次，每次使1块区域分成2块；除此之外，AB最后还和圆相交，同样使区域+1.

由于最开始（不画线）时有圆本身，起始值就是1，

那么，区域数就是：1+线线交点十线圆交点÷2.

线线交点怎么求呢？这些点都是两个线段在圆内相交得到，我们可不可以求出线段数m，再算出交点数呢？

为什么会行不通呢？我们可不可以找出行不通的原因，再反向补全我们的思维漏洞呢？

如图10，AB与CD、AD与BC的线段显然没有交点，为什么？因为这两个线段在圆内没有交点.那么O点又是从哪来的呢？是AC与BD两线的交点.