一类组合数问题酌多种解法

单奕阳

我对组合数这类问题“情有独钟”，不仅因为它有着丰富的现实意义，而且其解法常常会呈现多样化的特征，能使我的数学思维更加灵活.前些天我就遇到了如下的这道证明题：

以前遇到的有关组合数的证明问题，一般都是每项的系数为1，这道题中待证等式左边的每一项的系数是呈自然數列搭配，怎样能“变”个系数出来呢？求导！

解法一先求导，再赋值，将n项的组合数问题与二项式定理连用，再利用赋值法求得结果.

将“求导”与组合数、二项式定理相结合，我以前也从未想过还可以这样操作；“变”出系数，完全出于灵光一闪，这也许就是数学中的厚积薄发吧.回头想想，其实求导不太容易想到.

方法二倒序错位法.将数列中常用的“倒序相加”与“错位相减”相融合，再嫁接到组合数问题的求解中来.

另外，我还利用我的“小资料库”中的一个结论，找到了一个简洁巧妙的办法：

当然，对于我们理科生来说，遇到有关正整数的证明问题，还得经常记得数学归纳法这位“仁兄”的威力：

方法四数学归纳法.

所以n=k+l时，结论成立.

综合①②可知：结论成立，

除了对多样方法的灵活运用外，一些常见的组合数公式也是解题的关键.

当遇到不易处理的结构时，可以设法构造出以上的常见结构，以便利用相关公式对条件式进行化简，从而使问题更加简化.解决组合数问题时，还要注意联想，比如在二项式定理、数列等中的常用方法可以进行借鉴.当然，利用组合数的原始定义——阶乘表示式对结构进行变形，得到所需也是不可忽略的重要手段.