初中数学深度学习的有效引导

陈雷 朱建民

[摘 要] 深度学习是核心素养培育的重要途径. 深度学习不会自然发生，在初中数学教学中，研究学生的前概念、促进事实性知识与概念性知识的平衡、强调数学思想方法的认识与应用，并通过学习模型的建立，可以保证深度学习的发生.

[关键词] 初中数学；深度学习；有效引导

在讨论核心素养培育的过程中，深度学习得到了很多人的关注，一般认为，深度学习是培育学生学科核心素养的重要途径. 当前，对深度学习的研究视角是多元的，其中学习科学视角下的深度学习界定，是比较适合教学的. 在学习科学的视角下，深度学习被定义为“学生在学习原理的支配之下，在具体的学习情境中以核心概念为主要学习内容的理解性和创新性学习”. 对于初中数学学科教学而言，深度学习重在数学思维的参与，重在学生的先前经验在新学习情境中跟数学问题发生相互作用，进而促进学生有效信息的加工，重在问题解决过程中数学知识的综合应用. 通过这样的学习过程，学生的数学抽象能力可以直接得到培养，逻辑推理可以自然运用，数学建模会逐步成为学生的自然意识，而这三者就组成了数学学科核心素养的框架（著名数学教育专家史宁中教授就將数学学科核心素养归纳为这三点）.

需要注意到的现实是，深度学习并不会自然发生，如果没有教师的引导，可以说绝大多数学生的学习都会处于浅学习的状态. 要让学生真正进入深度学习状态，离不开教师的有效引导. 本文旨在讨论初中数学教学中如何进行有效的引导，以促进深度学习的有效发生，下面主要从以下几个方面进行讨论.

关注前概念，奠定深度学习基础

深度学习首先是有效的学习. 有效的学习是以尊重学生的前概念为基础的. 对于初中数学教学而言，前概念必须引起重视. 日常教学中的学生学习之所以出现浅学习的情形，一个重要原因是，教师在教学中更多的将思路放在基于数学逻辑的推理上，尽管数学知识的体系离不开逻辑，但对于初中生来说，如果过多地侧重于逻辑与推理，那学生的学习将失去认知基础，尤其将失去形象思维基础. 显然，忽视了前概念的利用，学生的学习必将失去生活这个重要的根基. 那么，初中数学如何有效地利用学生的前概念呢？笔者在实践的基础上总结后认为，前概念的利用主要还是应当在数学概念的建构上.

例如，在“平行四边形”的教学中，“两组对边分别平行”的认知建构并不是一个难点，但认真研究学生的思维会发现，学生所认识的平行，很大程度上就是线的平行，是抽象思维加工的结果，但同时又是以想象表象的形式存在的. 而且学生大脑中关于平行四边形的认知往往是固态的而不是动态的，这样的思维基础在平行四边形新知识学习时往往不会有太大的障碍，但在后续的问题解决中，往往会因为缺乏变化而形成障碍. 考虑到这个问题，笔者在平行四边形新知学习时，充分让学生表述自己对平行四边形的理解，并举出自己熟悉的事物来进行说明. 这样的教学环节充分调动了学生的前概念，同时让学生主动加工了自己的前概念. 如举出生活中晾衣架的例子之后，还可以借助语言，描述出在推动晾衣架的过程中，平行四边形的变化情况，进而判断出这是角的变化而非边长的变化. 而在判断角的变化过程中又想到平行线的性质，使得角度变化的判断又从定性走向定量. 在这样的变化过程中，学生对平行四边形的表象要丰富得多，前概念自然也就利用得充分得多. 如果教师在此过程中再适当引导，并注意提醒学生数学语言的应用，那这个学习过程就将学生的前概念与平行四边形知识有效地联系了起来，从而奠定了深度学习的基础.

此外，在问题解决中也有这样的前概念利用机会，尤其是当问题情境与生活素材相关且学生无法直接利用时，教师择机激活学生的前概念也非常有益. 由于其机制与概念建构大同小异，故这里不赘述.

求知识平衡，强化深度学习条件

这里所说的知识平衡，主要是指事实性知识与概念性知识的平衡. 学生在数学学习中必然会基于事实性知识建构概念性知识，这两者偏执于任何一端，学习都不能走向深度学习.

有研究者指出，事实性知识与概念性知识的平衡是一个双向过程. 如果学生的原有概念框架已经形成但运用不畅，则需要充实事实性知识，以让学生更好地理解、运用概念；如果学生的事实性知识丰富，则可以让学生在事实性知识的基础上提炼概念性知识，以使概念的形成更符合学生的认知规律，进而形成良好的认知结构.

教学“勾股定理的逆定理”时，笔者注意到学生在此前学习勾股定理的时候，已经研究了较多的直角三角形，更重要的是，在这个过程中，由于自然的逻辑思维作用，学生也已经开始思考如下问题：如果满足a2+b2=c2，那这个三角形是不是就是直角三角形了呢？笔者判断，在这样的思维中，学生的事实性知识充足而概念性知识需要补充，于是教学中就进行了这样的设计：首先，基于学生已有的经验，引出“如果满足a2+b2=c2，那这个三角形是不是就是直角三角形”这个问题，并让学生基于直觉判断“是”还是“不是”——这一步的目的是提取学生的事实性知识. 其次，让学生基于已有的勾股定理以及产生的问题，明晰“互逆命题”这个概念，并让学生判断，如果原命题正确，那其逆命题是否一定正确. 这需要学生举出此前熟悉的其他例子来佐证，从而为判断勾股定理逆命题正确与否提供更多的概念性知识. 最后，让学生证明勾股定理的逆命题是否成立. 具体的证明过程延续传统的教学思路，但在学生认同了勾股定理逆命题的正确性，并建立了互逆定理的认识之后，再让学生回过头来反思刚才的学习过程，并有意识地从事实性知识与概念性知识两个角度帮学生建立联系，以让学生认识到勾股定理逆定理的建立既需要前面丰富的直角三角形知识作为支撑，同时需要经由严密的逻辑推理来形成互逆命题，进而形成互逆定理. 事实证明，经由这样的过程，学生的思维是充分的，建立勾股定理逆定理的过程是丰富的，学生关于直角三角形中勾股定理的正反运用认识是深刻的，这是一个有效的深度学习过程.

事实性知识与概念性知识的平衡，在初中数学教学的具体演绎中是否拿捏得当，取决于教师对学生思维中两种知识的了解程度. 教师只有知道学生原有认识偏向于哪一种类型的知识，才能在教学中有效地向另一知识牵引，从而让学生在追求知识平衡的过程中实现深度学习.

重思想方法，保障深度学习发生

对于数学学科而言，数学思想方法的重要性不言而喻. 早在课程改革之初，数学思想方法就成为重点关注的对象之一，且在课程改革推进的过程中引发了各路专家的热议. 与其他讨论点不同的是，数学思想方法的重要性是公认的，而对于如何体现数学思想方法，则出现了多元主张. 在深度学习的研究视域中，思想方法与学科本质高度相关，而在初中数学教学中，思想方法的建立更与学生对数学学科本质的认识有关. 笔者以为，只有真正建立了对数学学科的科学认识，才能让数学学科核心素养的培育得到保证.

坦率地讲，当前初中生对数学学科的认识是偏颇的，他们认为数学就是套公式解题，认为数学就是为了追求计算的准确性，而这些认识又恰恰是在“刷题”的过程中形成的. 对于绝大多数一线教师来说，有效的应试手段仍然是“刷题”，这个现象无法回避，但笔者仍然认为，在初中数学概念、规律的学习中，在将数学知识应用于问题解决的过程中，要渗透数学思想，这不仅对应试有益，对于学生数学学科核心素养的培育来说，更是必要条件.

教学“勾股定理”时，教师可以给学生呈现古今中外一些勾股定理的发现、证明史实，让学生在对赵爽的“勾股圆方图”，对毕达哥拉斯研究地砖的构图中，自然调动合情推理的思维方法，并利用数形结合（拼图方法）去完成证明过程，同时在问题解决中又有从复杂图形中抽象出勾股定理数学模型的过程……在这些过程中，学生的显性任务是证明勾股定理，是利用勾股定理解題，隐性任务是对数学思想方法的体验，这个体验过程如果得到教师的有意强调，尤其是基于数学思想方法的强调，那学生就会认识到数学思想方法在这些过程中所起到的作用，从而促进深度学习的有效发生.

构学习模型，促进深度学习定型

关于初中数学中的深度学习，还需要强调一点，即学习模型的建立. 这个模型与数学建模相关，但又不完全相同，其主要是指学生在对数学学习认识的基础上，将数学学习过程本身模型化. 譬如数学概念的学习，学生进入八年级之后，必须有一个清晰的对数学概念学习模型的认识，知道一个数学概念的学习需要经历哪些过程，需要哪些素材的支撑，需要用什么样的数学语言去描述等.

例如，学习“函数”概念时，学生必须清晰地认识到，只有在具体事实中分清常量、变量、自变量等基本概念，函数的概念才能最终形成；而要准确地描述一个函数，还需要关注自变量的取值范围；函数通常都可以用图像来描述等. 这些常规性的认识，必须成为概念学习的直觉性认识，这样才能为深度学习提供学习品质保证.

综上所述，初中数学深度学习的发生，需要教师基于学生的学习心理而刻意引导. 只有这样，才能保证核心素养的培育有一个科学可行的途径.