从几何研究的基本方法出发

摘 要： 从生活情境出发引出“点和圆的位置关系”，能够增加开课阶段的一些趣味，体现数学源自生活。然而，从几何研究的基本方法或套路出发，基于图形位置关系与数量关系的对应，精心设计系列作图问题，驱动“点和圆的位置关系”的新知生成，能够关注数学内部的发展，使得教学更有“几何味”。

关键词：尺规作图 问题驱动 点和圆的位置关系 教学设计

对于“点和圆的位置关系”，不少版本的初中数学教材都是从一个生活情境（比如射击问题）出发，引出相应的性质与判定。这样可以增加开课阶段的一些趣味，体现数学源自生活。然而，我们也可以从几何研究的基本方法或套路出发，基于图形位置关系与数量关系的对应，精心设计系列作图问题，驱动新知生成，串联课堂教学。这样可以关注数学内部的发展，使得教学更有“几何味”。下面就给出这样的教学流程，以供研讨。

一、教学流程与思考

（一）“一点”出发，画图分析，引出课题

教师在“副板区”（黑板的右半部分）先画出点A，并指出“经过一点的直线有无数条”；再画出点B，连出直线AB，并指出“经过两点的直线有且仅有一条”；接着画出直线AB外一点C（如图1），并指出“在七年级我们还研究过点与直线的位置关系”。然后，教师在“主板区”（黑板的左半部分）书写留白式课题“……位置关系”。

（二）作圆活动，得到“点与圆的位置关系”

教师出示作图活动1：

作图1 过点A作圆，能作多少个圆？这些圆的分布有什么特点？

预设：学生画图发现，这样的圆有无数个，在分布上没有什么特点。教师在黑板上保留经点A的一个圆，引导学生观察平面被该圆分成的三个部分，基于圆的定义，从集合的角度来描述点在圆外、圆上、圆内（如图2）。然后，教师板书完善课题“点和圆的位置关系”，并生成新知“‘数形对应理解点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP=d，则有点P在圆外d>r；点P在圆上d=r；点P在圆内d

教师出示例1：

例1

已知矩形ABCD的四个顶点在同一圆O上，若AB=4 cm，AD=3 cm，边AB所在直线上有一点E。

（1）当OE=2 cm时，分析点E与⊙O的位置关系；

（2）当OE=2.5 cm时，分析点E与⊙O的位置关系；

（3）当OE=3 cm时，分析点E与⊙O的位置关系；

（4）设平面内有一点P，点P到圆心O的距离大于等于1.5 cm且小于等于2.5 cm时，画出点P所在的区域。

预设：本题主要用于巩固新知（点和圆的位置对应的数量关系），选择矩形作为问题背景还有一个考虑：矩形的四个顶点恰在以对角线交点为圆心（对角线长为直径）的圆上。学生不难发现，前三问分别对应着点在圆内、圆上、圆外，而最后一问则是两个同心圆形成的圆环区域。

（三）作圆活动，研究“三点共圆”问题

教师出示作图活动2：

作图2 作一个圆，使该圆能同时经过点A、B。

预设：学生先分组作图、交流，再全班展示、汇报，发现这样的圆也有无数个（如图3）。教师进一步要求学生说出这些圆的特点，即圆心分布的特点（在线段AB的垂直平分线上）。

教师出示作图活动3：

作圖3 能否作出一个圆同时经过已知的三个点？

预设：部分学生受到前面的启发，画出两条垂直平分线的交点，作为圆心，从而确定圆（如图4）。教师给予肯定，并定义三角形的外接圆与外心等概念。然后，教师启发学生继续思考：经过平面内三个点一定能确定一个圆吗？若学生没有考虑到三个点在同一直线上的情形，教师可引导学生思考之。学生能直观地看出，不可能作出同时经过同一直线上三个点的圆。这时，教师可让学生继续探究如何说理，从而引出反证法的介绍（结合图5讲解；“反证法”在课标中只作为“了解”内容，这里可以一带而过）。

教师出示例2：

例2 已知边长为23的等边三角形ABC。

（1）尺规作图作出△ABC的外接圆⊙O，并求出它的半径；

（2）若点P到△ABC的外接圆的圆心O的距离大于等于1且小于等于2，分析点P所在的区域。

预设：第（1）问训练等边三角形的外接圆的尺规作图，跟进求出半径为2；第（2）问主要巩固点到直线的位置关系，从“数”的角度分析“形”的关系。学生会画出半径分别为1、2的同心圆O（如图6），其中小圆O恰为△ABC的内切圆（后面会学到）。

（四）梳理所学，形成结构化的板书

教师引导学生梳理本课所学的内容，完善并形成结构化的板书（包括课题、新知以及图1～图5等内容），帮助学生理解本课所学内容与后续待学内容之间的关系。

教师出示跟进练习：

练习

在平面直角坐标系xOy中，⊙M经过点A（2，0）、B（2，2）、C（0，2）。

（1）尺规作图作出⊙M，并写出圆心M的坐标；

（2）试判断点D（3，1）与⊙M的位置关系，并说明理由；

（3）若点P（x，y），且x+y=2，试分析当x取何值时，点P在⊙M外、上、内？

意图：前两问主要训练本课教学重点，第（3）问适度拓展与关联一次函数图像（直线）与圆的交点（恰在坐标轴上），并且为后续研究的直线和圆的位置关系提供知识生长点。

二、教学立意的进一步阐释

（一）基于作圆活动，驱动课堂进程

如何构思一个好的问题情境或者高度相关的数学活动驱动整节课的教学进程，是不少教师教学设计时反复思考的。教材中，“点和圆的位置关系”“三点共圆”“反证法”等新知比较零散地出现，关联度不强。于是，笔者构思了系列作图活动。开课时，依次画出一个点、两个点（确定一条直线）、三个点（点在直线外），这三个图形既复习了几何研究的最初对象（从点到线），也复习了几何的研究角度（图形的形状与位置），更重要的是，为后续的系列作图活动提供了三个“生成性教学情境”（由之前的教学活动保留下来的背景，可以作为后续教学环节中一些新知探究的生长点）。具体来说，一个点的图形为后面“经过一点作圆”的作图探究提供了“生成性教学情境”；两个点的图形为后面“经过两点作圆”的作图探究提供了“生成性教学情境”；三个点的图形为后面“三点共圆”的作图探究以及三角形外接圆、反证法等新知的探究提供了“生成性教学情境”。

（二）圆的定义出发，归纳生成新知

通过对教材内容的分析，本课新知探究的生长点是“圆的定义”。圆的定义中有两个关键元素：圆心、半径。圆心半径确定圆的位置，圆的半径确定圆的大小。从圆的定义出发，可以把平面内的点分成三类：点在圆外、点在圆上、点在圆内。从圆的定义出发，分别经过一点、两点、三点（不在同一直线上）作圆，并追问圆是如何作出来，画出的圆是否唯一确定（圆心能否被确定，半径能否被确定等）。在不同教学环节中，通过互动与对话，反复引导学生回到圆的定义来说理，也是一种数学研究或解题方法的渗透：回到概念去理解或思考。

（三）精心设计例题，突出内容效度

数学课堂教学离不开例题与习题，怎样选编一些好的例题与习题也是需要我们在备课时认真思考的。本课中，一共安排了3道例题或习题。例1主要训练点与圆的位置关系的性质与判定（数形对应），选用矩形作为问题背景是因为之前《圆的定义》一课中，学生已经证明过命题“矩形的四个顶点在同一个圆上”。例2关注的是等边三角形的外接圆作法，并且递进形成同心圆问题，训练学生聚焦等边三角形的外接圆与内切圆，以及基本图形中边角之间的关系。最后一道习题将正方形放置在平面直角坐标系中，其中的最后一问适度关联直线与圆的交点问题，但是本质上还是运用点和圆的位置关系的性质与判定进行解答。

参考文献：

[1] 郑毓信.“问题意识”与数学教师的专业成长[J].数学教育学报，2017（5）.

[2] 史宁中.数学思想概论（第2辑）——图形与图形关系的抽象[M].长春：东北师范大学出版社，2009.

[3] 刘东升.我们需要怎样的“问题”驱动课堂——由美国莎维女士执教的函数图像课说起[J].教育研究与评论（课堂观察），2016（11）.

[4] 刘东升.辨别学段特征：初中几何教学的用力点——以“圆（第1课时）”教学为例[J].中学数学教学参考（中旬），2015（3）.